广东省揭西县上砂中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省揭西县上砂中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了 下列各数是无理数的是， 下列计算中，正确的是， 下列说法正确是， 下列各组数是勾股数的是， 若，则的值为， 若，则的值是， 如图，点C所表示的数是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（每道3分，3x10=30分）
1. 下列各数是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是无理数的定义，算术平方根和立方根，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．根据无理数的定义解答即可．
【详解】解：A．，是有理数，故本选项不符合题意；
B．是有限小数，是有理数，故本选项不符合题意；
C．是无理数，故本选项符合题意；
D．是分数，是有理数，故本选项不符合题意；
故选：C．
2. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的计算公式及完全平方公式，平方差公式计算每一项即可．
【详解】解：A选项：不是同类二次根式无法合并，故错误；
B选项：，故错误；
C选项：，故错误；
D选项：，正确；
故选D．
【点睛】本题主要考查二次根式的计算，能够熟练根据公式计算二次根式是解题关键．
3. 下列说法正确是（ ）
A. 4的算术平方根是B. 3的平方根是
C. 27的立方根是D. 的平方根是
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了求一个数的平方根，算术平方根和立方根，根据平方根、立方根的概念逐项判断即可，正确理解概念是解题的关键．
【详解】解：A、4的算术平方根是，故该选项错误；
B、3的平方根是，故该选项错误；
C、因为，，则27的立方根是3，该选项错误；
D、，因为，则4的平方根为，故该选项正确；
故选：D．
4. 下列各组数是勾股数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查勾股数，根据勾股数是满足的三个正整数逐项判断即可．
【详解】解：A、∵，∴不是勾股数，不符合题意；
B、∵，∴不是勾股数，不符合题意；
C、∵都不是整数，∴不是勾股数，不符合题意；
D、∵，∴是勾股数，符合题意；
故选：D．
5. 下列各数中，与的乘积是有理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用平方差公式特征赛选即可．
【详解】A．是有理数；
B． 不是有理数；
C．不是有理数；
D．不是有理数．
故选择：A．
【点睛】本题考查无理数的有理化因式问题，掌握有理化因式，会用公式进行有理化计算是解题的关键．
6. 若，则的值为（ ）
A. 3B. 7C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出接近无理数的整数是解题关键．根据题意得出，进而求出，然后代入即可得出答案．
【详解】∵
∴
∵
∴
∴．
故选：B．
7. 若，则的值是（ ）
A. 10B. C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了绝对值、平方、算术平方根的非负性，熟练掌握绝对值、平方、算术平方根的非负性是解题的关键．
根据绝对值、平方、二算术平方根的非负性，可得，再代入，即可求解．
【详解】解：，
，
，
解得：，
，
故选：A．
8. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）

A. 3.4mB. 5mC. 4mD. 5.5m
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设的长为，则故，在直角中利用勾股定理即可求解，找到直角三角形，利用勾股定理是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，
，
设的长为，则
∴
在直角中，
又∵
解得：
故选：A．
9. 如图，点C所表示的数是（ ）

A. B. ﹣C. 1﹣D. ﹣
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理求出AB的长为，根据弧的半径相等得AC＝AB＝，根据两点之间的距离求得点C表示的数．
【详解】解：根据勾股定理得：，
∴AC＝AB＝，
∴点C表示的数是1﹣．
故选：C．
【点睛】本题考查了实数与数轴，体现了数形结合的数学思想，解题的关键是根据勾股定理求得AB的长．
10. 如图，已知矩形中，，，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的长为（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，则，首先得到，然后利用勾股定理求解即可．
此题考查了矩形和折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点．
【详解】解：设，则
由折叠可得，
∵四边形是矩形
∴
∴，即
解得
∴的长为4．
故选：B．
二．填空题（每道3分，3x6=30分）
11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，首先根据二次根式有意义的条件，可得；然后根据一元一次不等式的解法，求出的取值范围是多少即可．
【详解】解：式子在实数范围内有意义，
∴，
解得，
即的取值范围是．
故答案为：．
12. ______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式的除法运算．直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案．
【详解】解：．
故答案为：．
13. 中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法，若一个正数的平方根分别是和，则a的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查平方根的性质及解一元一次方程，正确理解一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解决本题的关键．
根据平方根的性质列方程求解即可．
【详解】∵一个正数的平方根分别是和，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接AB、，则的度数为 ________．
【答案】##45度
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB，，的长度，继而可得出的度数．
【详解】解：连接，
根据勾股定理可以得到：，，
∵，即，
∴是等腰直角三角形．
∴．
故答案为：．
15. 若一个直角三角形的周长为56，斜边长为25，则该直角三角形的面积为______．
【答案】84
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，完全平方公式，根据题意，得到，利用完全平方公式，求出的值即可得出结果．
【详解】解：设两条直角边为，
由题意，得：，
∴，
∴，
∴该直角三角形的面积为；
故答案为：84．
16. 如图1，四个全等直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图1中的直角三角形的长直角边为5，大正方形的面积为29，连接图2中四条线段得到如图3的新图案，求图3中阴影部分的面积______
【答案】21
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型．利用勾股定理，求出，从而得到，再由阴影部分的面积等于大正方形的面积减去空白部分面积，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得：，，，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为．
故答案：21
三．解答题（共9小题）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）3．
【解析】
【分析】此题考查了实数的混合运算和二次根式的混合运算．
（1）利用零指数幂、绝对值、立方根和算术平方根计算即可；
（2）利用平方差公式和二次根式的乘法进行计算，再进行加减法即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 一个正数x的两个不同的平方根分别是与．
（1）求x和m的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查平方根定义与性质、相反数性质．
（1）根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可得到答案；
（2）由（1）中，，代入，利用平方根定义求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意可得，解得，
∴；
【小问2详解】
解：将，代入中，得．
∵36的平方根是，
∴的平方根是．
19. 如图，在中，是边上的一点，且，若，，求证：是直角三角形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查中垂线的判定和性质，勾股定理逆定理，连接，易得：，进而得到，进而推出，得到，即可得出结论．
【详解】证明：如图，连接．
，，
．
，
．
，
，
是直角三角形，，
是直角三角形．
20. 如图，是一个数值转换器，原理如图所示．
（1）当输入的x值为16时，求输出的y值；
（2）是否存在输入的x值后，始终输不出y值？如果存在，请直接写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由．
（3）输入一个两位数x，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，则 ．
【答案】（1）
（2）存在，或1或负数
（3）25或36或49或64
【解析】
【分析】此题考查了算术平方根的计算和性质．
（1）按照程序依次计算即可得到答案；
（2）或1时，它们的算术平方根是本身，是有理数，不是无理数，负数没有算术平方根，据此即可进行解答；
（3）根据平方根的性质进行解答即可．
【小问1详解】
解：由题意可得，，，
则；
【小问2详解】
存在，
当或1，它们的算术平方根是本身，是有理数，不是无理数；负数没有算术平方根，
∴当或1或负数时，始终输不出值，
综上所述，或1或负数．
小问3详解】
或或或．
则两位数或36或49或64，
故答案为：25或36或49或64
21. 根据平方差公式：，由此得到，由此我们可以得到下面的规律，请根据规律解答后面的问题：
第1式，第2式，第3式，
第4式．
（1）根据规律填空：第5式______________；
（2）若，求的值；
【答案】（1）
（2）80
【解析】
【分析】本题主要考查分母有理化：
（1）根据题意得出第5个式子即可；
（2）先总结出规律，再求出n的值即可．
【小问1详解】
解：第1式，
第2式，
第3式，
第4式，
所以，第5个式子为：，
故答案为：
【小问2详解】
解：由（1）可得：
∴
，
∴
解得，，
经检验，符合题意，
所以：．
22. 为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，，，，且．该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，
（1）求证：是直角三角形．
（2）若每种植花卉需要花费100元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？
【答案】（1）见解析 （2）3600元
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理以及勾股逆定理，等腰三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）由，，且．得，结合勾股逆定理即可作答．
（2）过作于点，结合等腰三角形的性质得，运用勾股定理计算，再运用割补法进行求面积，即可作答．
【小问1详解】
解：∵，，且．
∴，
即，
∴，
∴是直角三角形．
【小问2详解】
解：如图，过作于点，
，，过作于点
，
在中，
由勾股定理得：，
由（1）得，是直角三角形，
，
（元）．
答：此块空地全部种植花卉共需花费3600元．
23. 【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分．
结合以上材料，回答下列问题：
（1）的小数部分是______，的整数部分是____；
（2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
（3）已知，其中是整数，且，请直接写出的平方根．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根，熟练掌握无理数的估算方法是解此题的关键．
（1）先估算出的范围，即可得其的小数部分；估算出的范围，进而估算出的范围，即可得其整数部分；
（2）先估算出、的范围，求出、的值，再代入所求式子计算即可；
（3）先估算出的范围，进而估算出的范围，求出、的值，再代入所求式子计算即可．
【小问1详解】
解：，
，
的整数部分是，
的小数部分是；
，
，
，
，
的整数部分是；
故答案为：，；
【小问2详解】
，
，
的小数部分为，即，
，
，
的整数部分为，即，
；
【小问3详解】
，
，
，
，其中是整数，且，
，，
，
的平方根为．
24. 综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为，，，，显然．
（1）请用，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理．
（2）【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为______．
（3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证；
（2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高；
（3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可；
【小问1详解】
证明：∵，，，
∴
∴
∴
【小问2详解】
，
，
，
即AB边上的高是
【小问3详解】
解：中，由勾股定理得
∵，
∴
在中，由勾股定理得
∴，
∴