新疆乌鲁木齐市米东区2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份新疆乌鲁木齐市米东区2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷，共16页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．笛卡尔心形线B．阿基米德螺旋线
C．科克曲线D．赵爽弦图
2．（3分）用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝2B．（x﹣1）2＝4C．（x+1）2＝2D．（x+1）2＝4
3．（3分）关于二次函数y＝（x﹣1）2+3，以下说法正确的是（ ）
A．其图象开口向下
B．其顶点坐标为（﹣1，3）
C．其图象的对称轴为直线x＝1
D．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大
4．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞2B．k≥2C．k＜2D．k≤2
5．（3分）某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意得方程为（ ）
A．50（1+x）2＝175
B．50+50（1+x）2＝175
C．50（1+x）+50（1+x）2＝175
D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝175
6．（3分）将抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得到的抛物线解析式为（ ）
A．y＝2（x+1）2﹣2B．y＝2（x+1）2+1
C．y＝2（x﹣1）2﹣2D．y＝2（x﹣1）2+4
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ面积的最小值为（ ）
A．19cm2B．16cm2C．15cm2D．12cm2
8．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b2＜（a+c）2；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；①a+b＞m（am+b）（m≠1），其中正确的是（ ）
A．①②③B．③④C．③④⑤D．②③⑤
二、填空题(共5小题，每小题3分，满分15分)
9．（3分）在直角坐标系中，若点A（1，a），点B（b，﹣2）关于原点中心对称，则a+b＝ ．
10．（3分）菱形ABCD的一条对角线长为8，边AB的长是方程x2﹣8x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为 ．
11．（3分）如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若AC＝，∠B＝60°，则CD的长为 ．
12．（3分）点A（2，m），B（﹣1，n）是抛物线y＝x2﹣1上的两点，直线y＝kx+b经过A、B两点，不等式x2﹣1＞kx+b的解集为 ．
13．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝2时，该函数取最大值12．设该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为x1，若x1＜0，则a的取值范围是 ．
三、解答题（共6小题，满分61分）
14．（8分）解下列方程：
（1）2x2+4x﹣1＝0．
（2）x（x﹣1）＝2﹣2x．
15．（10分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）四边形CBC1B1为 四边形；
（3）点P为平面内一点，若以点A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有满足条件的点P坐标．
16．（10分）某商场销售某款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利81元，平均每天可售出20件．
（1）求平均每次降价盈利减少的百分率；
（2）为尽快减少库存，商场决定再次降价．每件上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？
17．（10分）已知，如图抛物线y＝x2+bx+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，点B的坐标为（1，0），OC＝3OB．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点M是抛物线对称轴l上的一个动点，当MB+MC的值最小时，求点M的坐标．
18．（11分）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为60m），其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位）
（1）若设车棚宽度AB为x m，则车棚长度BC为 m；
（2）若车棚面积为285m2，试求出自行车车棚的长和宽．
（3）若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为450m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
19．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．
（1）操作发现
如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为 ；线段BD、AB、EB的数量关系为 ；
（2）猜想论证
当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；
（3）拓展延伸
若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．
2024-2025学年新疆乌鲁木齐市米东区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）每题选项中只有一项符合要求。
1．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：∵x2+2x﹣3＝0
∴x2+2x＝3
∴x2+2x+1＝1+3
∴（x+1）2＝4
故选：D．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
3．【分析】根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：A．二次函数y＝（x﹣1）2+3中的a＝1＞0，则其图象开口向上，故A不符合题意；
B．二次函数y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标是（1，3），故B不符合题意；
C．二次函数y＝（x﹣1）2+3的对称轴是直线x＝1，故C符合题意；
D．二次函数y＝（x﹣1）2+3的对称轴是直线x＝1，其图象开口向上，则当x＞1时，y随x的增大而增大，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的图象，顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h，熟练掌握相关知识是解题的关键．
4．【分析】先计算根的判别式，根据一元二次方程解的情况得不等式，求解即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×2k＝16﹣8k≥0，
∴k≤2．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式，掌握“Δ＝b2﹣4ac”及根的判别式与一元二次方程解的情况是解决本题的关键．
5．【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．
【解答】解：设平均每月的增长率为x，则二月份的产值为：50（1+x），三月份的产值为：50（1+x）（1+x）＝50（1+x）2，
根据题意得：50+50（1+x）+50（1+x）2＝175．
故选：D．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
6．【分析】把抛物线y＝2x2+1向左平移两个单位得到抛物线y＝2（x+1）2+1的图象，再向下平移3个单位得到抛物线y＝2（x+1）2+1﹣3的图象．
【解答】解：把抛物线y＝2x2+1向左平移两个单位得到抛物线y＝2（x+1）2+1的图象，
再向下平移3个单位得到抛物线y＝2（x+1）2+1﹣3＝2（x+1）2﹣2的图象，
故选：A．
【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
7．【分析】先根据题意列出函数关系式，再求其最值．
【解答】解：设点P的运动时间为x，四边形PABQ面积为y，
则AP＝x，CQ＝2x，
在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴CA＝＝6cm，
∴CP＝6﹣x，
∴y＝×6×8﹣×2t（6﹣t）＝（t﹣3）2+15，
∴当t＝3时，y有最小值15，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的应用，列函数关系式是解题的关键．
8．【分析】依据题意，由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，当x＝1时，y＝a+b+c＞0，故（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，从而（a+c）2﹣b2＜0，进而b2＞（a+c）2，故可判断②，由抛物线对称性及x＝0时y＞0可判断③，由a与b的数量关系及a﹣b+c＜0可得a与c的数量关系，从而判断④，由x＝1时y取最大值可判断⑤．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1．
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，①错误．
由图可得，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，当x＝1时，y＝a+b+c＞0，
∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0．
∴（a+c）2﹣b2＜0．
∴b2＞（a+c）2，故②错误．∵抛物线对称轴为直线x＝1，x＝0时y＞0，
∴x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，③正确．
∵b＝﹣2a，
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＜0，
∴c＜﹣3a，
∵2c﹣3b＜﹣6a+6a＝0，
∴2c＜3b，④正确．
∵x＝1时y取最大值，
∴a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），即a+b＞m（am+b）（m≠1），⑤正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
二、填空题(共5小题，每小题3分，满分15分)
9．【分析】直接利用关于原点对称点的性质，得出a，b的值，即可得出答案．
【解答】解：根据题意可知，在直角坐标系中，点A（1，a），点B（b，﹣2）关于原点中心对称，
∴b＝﹣1，a＝2，
则a+b＝﹣1+2＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了关于原点对称点的性质，掌握横纵坐标的符号关系是解题的关键．
10．【分析】解方程得出x＝2，或x＝6，分两种情况：①当AB＝AD＝2时，2+2＜8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，即可得出菱形ABCD的周长．
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵x2﹣8x+12＝0，
因式分解得：（x﹣2）（x﹣6）＝0，
解得：x＝2，或x＝6，
分两种情况：
①当AB＝AD＝2时，2+2＜8，不能构成三角形；
②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝24．
故答案为：24．
【点评】本题考查了菱形的性质、一元二次方程的解法、三角形的三边关系；熟练掌握菱形的性质，由三角形的三边关系得出AB是解决问题的关键．
11．【分析】在直角三角形ABC中利用三角函数首先求得AB和BC的长，然后证明△ABD是等边三角形，根据CD＝BC﹣BD即可求解．
【解答】解：∵直角△ABC中，AC＝，∠B＝60°，
∴AB＝＝＝1，BC＝＝＝2，
又∵AD＝AB，∠B＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝1，
∴CD＝BC﹣BD＝2﹣1＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了三角函数和旋转的性质，正确证明△ABD是等边三角形是关键．
12．【分析】根据点A、B的坐标，再找出抛物线图象在直线图象上方的部分的x的取值范围即可得解．
【解答】解：∵点A（2，m），B（﹣1，n）是抛物线y＝x2﹣1上的两点，
∴当x＜﹣1或x＞2时，抛物线图象在直线图象上方，
故不等式x2﹣1＞kx+b的解集为x＜﹣1或x＞2．
故答案为：x＜﹣1或x＞2．
【点评】本题考查了二次函数与不等式组，根据图象的上下方关系确定不等式的解集与x的取值范围是解题的关键，数形结合是数学中的重要思想之一．
13．【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝2时，该函数取最大值12，可以写出该函数的顶点式，得到a＜0，再根据该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为x1，x1＞4，可知，当x＝4时，y＞0，即可得到a的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝2时，该函数取最大值12，
∴a＜0，该函数解析式可以写成y＝a（x﹣2）2+12，
∵设该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为x1，若x1＜0，
∴当x＝0时，y＞0，
即a（0﹣2）2+12＞0，解得，a＞﹣3，
∴a的取值范围是﹣3＜a＜0，
故答案为：﹣3＜a＜0．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
三、解答题（共6小题，满分61分）
14．【分析】（1）方程利用公式法求出解即可；
（2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：（1）这里a＝2，b＝4，c＝﹣1，
∵△＝16+8＝24，
∴x＝＝；
（2）方程整理得：x2+x﹣2＝0，即（x﹣1）（x+2）＝0，
解得：x＝1或x＝﹣2．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
15．【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）根据平行四边形的判定即为判定．
（3）画出符合条件的平行四边形即可解决问题．
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示．
（2）连接CB1，BC1，
∵BC＝B′C′，BC∥B′C′，
∴四边形CBC1B1为平行四边形，
故答案为平行．
（3）如图所示，满足条件的点P的坐标为（2，﹣1），（6，5），（0，3）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平行四边形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．【分析】（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得：100（1﹣a）2＝81，即可求解；
（2）设每件应涨价x元，由题意得方程，进而求解．
【解答】解：（1）设盈利减少的平均百分率为a，
根据题意，得：100（1﹣a）2＝81，
解得：a＝1.9（舍）或a＝0.1＝10%，
答：平均每次降价盈利减少的百分率为10%；
（2）设每件应降价x元，
根据题意，得（81﹣x）（20+2x）＝2940，
解得：x1＝60，x2＝11，
∵尽快减少库存，
∴x＝60，
答：若商场每天要盈利2940元，每件应降价60元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17．【分析】（1）先确定C点坐标，然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）先把一般式配成顶点式得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，通过解方程x2+2x﹣3＝0得到A（﹣3，0），连接AC交直线x＝﹣1于点M，连接MB，如图，利用两点之间线段最短判断此时MB+MC的值最小，接着利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，然后计算自变量为﹣1对应的一次函数值得到M点的坐标．
【解答】解：（1）∵点B的坐标为（1，0），
∴OB＝1，
∴OC＝3OB＝3，
∴C点坐标为（0，﹣3），
把B（1，0），C（0，﹣3）分别代入y＝x2+bx+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
连接AC交直线x＝﹣1于点M，连接MB，如图，
∵MA＝MB，
∴PM+MC＝MA+MC＝AC，
∴此时MB+MC的值最小，
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
把A（﹣3，0），C（0，3）分别代入得，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，
当x＝﹣1时，y＝﹣x﹣3＝﹣2，
∴当MB+MC的值最小时，点M的坐标为（﹣1，﹣2）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路线问题．
18．【分析】（1）由题意即可得出结论；
（2）设车棚宽度AB的长为x m，则车棚长度BC为（72﹣3x）m，根据车棚面积为285m2，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（3）设车棚宽度AB的长为y m，则车棚长度BC为（72﹣3y）m，根据围成面积为450m2的自行车车棚，列出一元二次方程，然后根据根的判别式即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意可知，BC＝70﹣2（x﹣1）﹣x＝（72﹣3x）（m），
故答案为：（72﹣3x）；
（2）设车棚宽度AB的长为x m，则车棚长度BC为（72﹣3x）m，
由题意得：x（72﹣3x）＝285，
整理得：x2﹣24x+95＝0，
解得：x1＝5，x2＝19（不符合题意，舍去），
∴72﹣3x＝72﹣3×5＝57，
答：自行车车棚的长为57m，宽为5m；
（3）不能围成面积为450m2的自行车车棚，理由如下：
设车棚宽度AB的长为y m，则车棚长度BC为（72﹣3y）m，
由题意得：y（72﹣3y）＝450，
整理得：y2﹣24y+150＝0，
∵Δ＝（﹣24）2﹣4×1×150＝﹣24＜0，
∴原方程无解，
∴不能围成面积为450m2的自行车车棚．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19．【分析】（1）证明△ACD≌△BCE（SAS）利用全等三角形的性质可得结论．
（2）分两种情形，在图2和图3中，利用全等三角形的性质证明即可．
（3）分两种情形，在图2和图3中，利用全等三角形的性质以及三角形的面积解决问题即可．
【解答】解：（1）如图1中，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵CA＝CB，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠CBE＝∠A，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠CBA＝45°，
∴∠CBE＝∠A＝45°，
∴∠ABE＝90°，
∴AB⊥BE，
∵AB＝AD+BD，AD＝BE，
∴AB＝BD+BE，
故答案为AB⊥BE，AB＝BD+BE．
（2）①如图2中，结论：BE＝AB+BD．
理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵CA＝CB，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，
∵AD＝AB+BD，AD＝BE，
∴BE＝AB+BD．
②如图3中，结论：BD＝AB+BE．
理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵CA＝CB，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴AD＝BE，
∵BD＝AB+AD，AD＝BE，
∴BD＝AB+BE．
（3）如图2中，∵AB＝5，BD＝7，
∴BE＝AD＝5+7＝12，
∵BE⊥AD，
∴S△AED＝•AD•EB＝×12×12＝72．
如图3中，∵AB＝5，BD＝7，
∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2，
∵BE⊥AD，
∴S△AED＝•AD•EB＝×2×2＝2．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．