2024-2025学年广东省汕头市金平区汕樟中学八年级（上）期中数学试卷 含详解

2024-2025学年广东省汕头市金平区汕樟中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）A．1，2，3 B．2，2，4 C．2，3，4 D．2，4，82．（3分）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（　　）A． B． C． D．3．（3分）如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（　　）A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短4．（3分）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，连接AO，则图中一共有（　　）对全等三角形．A．2 B．3 C．4 D．55．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，BD＝2，则AB的长为（　　）A．4 B．6 C．8 D．106．（3分）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝40°，∠A＝70°，则∠ACD＝（　　）A．100° B．110° C．115° D．120°7．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，BC＝3，连接AC，AC⊥CD，垂足为C，并且∠ACB＝∠D，点E是AD边上一动点，则CE的最小值是（　　）A．1.5 B．3 C．3.5 D．48．（3分）等腰三角形周长为15cm，其中一边长为3cm，则该三角形的底边长为（　　）A．3cm B．6cm C．9cm D．3cm或9cm9．（3分）如图，在△ABC中，AD，BE分别为BC，AC边上的高，AD，BE相交于点F，AD＝BD，连接CF，则下列结论：①BF＝AC；②CF⊥AB；③若BF＝2EC，则△FDC周长等于AB的长；④∠FCD＝∠DAC．其中正确的有（　　）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是（0，2），以OA为边在其右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在其右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在其右侧作等边三角形O2A2A3，…，按此规律继续作下去，得到等边三角形O2023A2023A2024，则点A2024的纵坐标为（　　）A． B． C． D．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）十八边形的外角和为 　 　度．12．（3分）如图，在△ABC中，∠B与∠C互余，∠C＝60°，AD是高，AE是角平分线，则∠1的度数是　 　．13．（3分）若点A（2，5）与点C关于x轴对称，则C点的坐标为　 　，若点A与点B关于y轴对称，则B点的坐标为　 　．则A，B两点间的距离为　 　．14．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC＝　 　．15．（3分）如图，CA⊥BC，垂足为C，AC＝3cm，BC＝9cm，射线BM⊥BQ，垂足为B，动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN＝AB，随着P点运动而运动，当点P运动 　 　秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等．三、解答题（一）（本大题共3小题，每题6分，共18分）16．（6分）如图，B是AD的中点，BC∥DE，BC＝DE．求证：∠C＝∠E．17．（6分）在各个内角都相等的多边形中，一个内角是一个外角的4倍，则这个多边形是几边形？这个多边形的内角和是多少度？18．（6分）如图，已知△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为8，12，10．（1）在三角形中求作点P，使点P到△ABC的三条边距离相等；（2）若点P到BC的距离为5，求△ABC的面积．四、解答题（二）（本大题共3小题，第19题7分，第20题8分，第21题8分，共23分）19．（7分）已知a、b、c是一个三角形的三边长．（1）填空：a+b﹣c 　 　0，a﹣b+c 　 　0，a﹣b﹣c 　 　0．（填“＞”“＜”或“＝”）（2）化简：|a+b﹣c|﹣|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|．20．（8分）某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，求：（1）此时轮船与小岛P的距离BP是多少海里．（2）小岛点P方圆3海里内有暗礁，如果轮船继续向东行驶，请问轮船有没有触礁的危险？请说明理由．21．（8分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥CB，F是BD的中点．（1）求证：△BDE是等腰三角形．（2）若∠ABC＝50°，求∠DEF的度数．五、解答题（二）（本大题共3小题，第22题9分，第23题12分，第24题13分，共34分）22．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，AB＝5cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为2cm/s，设运动的时间为t s．（1）当t＝　 　时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分；（2）当t为何值时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分？（3）当P在AC上运动，t为何值时，△BCP的面积为4cm2？23．（12分）（1）如图①，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，把三角尺的直角顶点放在OC上任意一点P处，并使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F，PE与PF相等吗？请说明理由；（2）如图②，已知∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，P是OC上一点，∠EPF＝60°，PE边与OA边相交于点E，PF边与射线OB的反向延长线相交于点F，PE与PF相等吗？请说明理由．24．（13分）[问题情境]某次数学课上，老师组织同学们利用直角三角形纸片来进行拼图探究活动．[试验探究]（1）1号小组将一张含30°角的直角三角形纸片和一张等腰直角三角形纸片按图①所示的方式摆放，则图中∠1＝ 　 　．（2）2号小组将两张等腰直角三角形纸片ABC和DEF按如图②所示的方式摆放，点A与点D重合，且点B，C，E在同一条直线上，连接CF交DE于点G，小组同学测量发现CF⊥BE，请尝试证明此结论．[拓展探究]（3）3号小组将两张等腰直角三角形纸片ABC和DEF按如图③所示的方式摆放，点A与点D重合，连接CE，BF交于点G．求证：BF⊥CE．2024-2025学年广东省汕头市金平区汕樟中学八年级（上）期中数学试卷参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．【解答】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得A中，1+2＝3，不能组成三角形；B中，2+2＜4，不能组成三角形；C中，3+2＞4，能够组成三角形；D中，2+4＜8，不能组成三角形．故选：C．2．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；故选：C．3．【解答】解：根据三角形的稳定性可固定窗户．故选：A．4．【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，OB＝OC，∴∠ADO＝∠AEO＝90°，∠DOB＝∠EOC，∵BO＝CO，∴△DOB≌△EOC；∴OD＝OE，BD＝CE；∵OA＝OA，OD＝OE，∠ADO＝∠AEO＝90°，∴△ADO≌△AEO；∴AD＝AE，∠DAO＝∠EAO；∵AB＝AC，∠DAO＝∠EAO，OA＝OA，∴△ABO≌△ACO；∵AD＝AE，AC＝AB，∠BAE＝∠CAD，∴△ADC≌△ABE（SSS）．所以共有四对全等三角形．故选：C．5．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠BCD＝90°﹣∠B＝30°，∵BD＝2，∴BC＝2DB＝4，∴AB＝2BC＝8，故选：C．6．【解答】解：∵∠ACD是△ABC的外角，∠B＝40°，∠A＝70°，∴∠ACD＝∠A+∠B＝110°，故选：B．7．【解答】解：过点C作CH⊥AD交AD于点H，如图所示：∵AC⊥DC，∴∠ACD＝90°，又∵∠D+∠ACD+∠CAD＝180°，∠ACB+∠B+∠BAC＝180°，∠ACB＝∠D，∠ACD＝∠B＝90°，∴∠BAC＝∠DAC，∴AC是∠BAD的角平分线，又∵BC⊥BA，CH⊥AD，∴BC＝CH，又∵BC＝3，∴CH＝3，又∴点C是直线AD外一点，∴当点E在AD上运动时，点E运动到与点H重合时CE最短，其长度为CH长等于3，即CE长的最小值为3．故选：B．8．【解答】解：由题意知，应分两种情况：（1）当腰长为3cm时，则另一腰也为3cm，底边为15﹣2×3＝9cm，边长分别为3cm，3cm，9cm，不能构成三角形；（2）当底边长为3cm时，腰的长＝（15﹣3）÷2＝6cm，∴边长为6cm，6cm，3cm，能构成三角形．故选：A．9．【解答】解：如图，延长CF交AB于H，∵AD，BE分别为BC，AC边上的高，∴∠BDF＝∠ADC＝∠BEA＝∠BEC＝90°，∵AD＝BD，∴∠ABD＝45°＝∠BAD＝45°，∵∠DAC+∠ACB＝∠DBF+∠ACB＝90°，∴∠DAC＝∠DBF，在△DBF和△DAC中，，∴△DBF≌△DAC（ASA），∴BF＝AC，DF＝DC，故①符合题意；∵∠ABC＝45°，∠FCD＝45°，∴∠BHC＝180°﹣∠ABC﹣∠FCD＝90°，∴CF⊥AB，故②符合题意；∵BF＝2EC，BF＝AC，∴AC＝2EC，∴AE＝EC，∵BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF＝CF，BA＝BC，∴△FDC的周长＝FD+FC+DC＝FD+AF+DC＝AD+DC＝BD+DC＝BC＝AB，故③符合题意；∵∠FDC＝90°，∴∠DFC＝∠FCD＝45°，∵∠DFC＞∠DAC，∴∠FCD＞∠DAC，故④不符合题意；∴正确的有①②③．故选：A．10．【解答】解：∵点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边△OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，∴∠A1OO1＝90°﹣60°＝30°，OA1＝OA＝2，∴，点A1纵坐标是 ，∵以A1O1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，∴∠A2O1O2＝90°﹣60°＝30°，，∴，∴点A2纵坐标是 ，即，∵以A2O2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，同理，得点A3纵坐标是 ，按此规律继续作下去，得：点A2024的纵坐标是，即．故选：C．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．【解答】解：十八边形的外角和为360度，故答案为：360．12．【解答】解：∵∠B与∠C互余，∴∠B+∠C＝90°，∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣90°＝90°，又∵AE是角平分线，∴∠CAE＝∠BAC＝×90°＝45°，∵AD是高，∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°，∴∠1＝∠CAE﹣∠CAD＝45°﹣30°＝15°，故答案为：15°．13．【解答】解：由条件可知：点C的坐标为（2，﹣5），B点的坐标为（﹣2，5），∴A，B两点间的距离为|2﹣（﹣2）|＝4，故答案为：（2，﹣5），（﹣2，5），4．14．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠EBA＝∠A＝40°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝50°﹣40°＝10°，故答案为：10°．15．【解答】解：①当P在线段BC上，AC＝BP时，△ACB与△PBN全等，∵AC＝3cm，∴BP＝3cm，∴CP＝9﹣3＝6cm，∴点P的运动时间为6÷1＝6（秒）；②当P在线段BC上，AC＝BN时，△ACB与△NBP全等，这时BC＝PB＝9cm，CP＝0，因此时间为0秒；③当P在BQ上，AC＝BP时，△ACB与△PBN全等，∵AC＝3cm，∴BP＝3cm，∴CP＝3+9＝12cm，∴点P的运动时间为12÷1＝12（秒）；④当P在BQ上，AC＝NB时，△ACB与△NBP全等，∵BC＝9cm，∴BP＝9cm，∴CP＝9+9＝18，点P的运动时间为18÷1＝18（秒），故答案为：0或6或12或18．三、解答题（一）（本大题共3小题，每题6分，共18分）16．【解答】证明：∵B是AD的中点，∴AB＝BD，∵BC∥DE，∴∠ABC＝∠D，在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE（SAS），∴∠C＝∠E．17．【解答】解：设多边形的边数为n，180（n﹣2）＝360×4，解得：n＝10，这个多边形的内角和＝（10﹣2）×180＝1440（度）．答：这个多边形是10边形，这个多边形的内角和是1440度．18．【解答】解：（1）如图，点P即为所求；（2）∵点P到BC的距离为5，∴点P到AB，AC的距离均为5，已知△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为8，12，10．设点P到△ABC的三条边距离为h，∴S△ABC＝S△ABP+S△CBP+S△CAP＝＝＝75．四、解答题（二）（本大题共3小题，第19题7分，第20题8分，第21题8分，共23分）19．【解答】解：（1）∵a、b、c是一个三角形的三边长，∴a+b＞c，a+c＞b，a＜b+c，∴a+b﹣c＞0，a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，故答案为：＞，＞，＜；（2）原式＝a+b﹣c﹣（a﹣b+c）+b+c﹣a＝a+b﹣c﹣a+b﹣c+b+c﹣a＝﹣a+3b﹣c．20．【解答】解：（1）过P作PD⊥AB于点D，∵∠PBD＝90°﹣60°＝30°且∠PBD＝∠PAB+∠APB，∠PAB＝90﹣75＝15°∴∠PAB＝∠APB，∴BP＝AB＝7（海里）．（2）作PD⊥AB于D，∵A处测得小岛P在北偏东75°方向，∴∠PAB＝15°，∵在B处测得小岛P在北偏东60°方向，∴∠APB＝15°，∴AB＝PB＝7海里，∵∠PBD＝30°，∴PD＝PB＝3.5＞3，∴该船继续向东航行，没有触礁的危险．21．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵DE∥CB，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠EDB，∴EB＝ED，∴△EBD是等腰三角形；（2）解：∵DE∥CB，∴∠DEB＝180°﹣∠ABC＝130°，∵EB＝ED，F是BD的中点，∴∠DEF＝∠DEB＝65°，∴∠DEF的度数为65°．五、解答题（二）（本大题共3小题，第22题9分，第23题12分，第24题13分，共34分）22．【解答】解：（1）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，AB＝5cm，∴△ABC的周长为5+4+3＝12（cm），∵CP把△ABC的周长分成相等的两部分，∴CA+AP＝×12＝6（cm），∵动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，速度为2cm/s，设运动的时间为t s，∴当t＝6÷2＝3时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分，故答案为：3；（2）当CP把△ABC的面积分成相等的两部分时，点P为AB的中点，∴点P运动的路程为4+＝（cm），∴t＝÷2＝，∴当t＝时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分；（3）当P在AC上时，∵△BCP的面积为4cm2，∴S△BCP＝BC•CP＝×3×2t＝4（cm2），解得：t＝，∴当t＝时，△BCP的面积为4cm2．23．【解答】（1）PE＝PF；证明：∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，如图1，过点P 作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．∴∠PNO＝∠PMO＝90°，∠PON＝∠POM，在△PNO和△PMO中，，∴△PNO≌△PMO（AAS），∴PN＝PM，∵∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，∴∠MPN＝360°﹣3×90°＝90°．∵∠MPN＝∠EPF＝90°，∴∠MPF＝∠NPE，在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA），∴PF＝PE；（2）PE＝PF；理由如下：已知∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，P是OC上一点，∠EPF＝60°，如图2，过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N，∴∠PNO＝∠PMO＝90°，∠POM＝∠PON，在△POM和△PON中，，∴△POM≌△PON（AAS），∴PM＝PN，∵∠MON＝120°，∴∠MPN＝360°﹣2×90°﹣120°＝60°，∵∠MPN＝∠EPF＝60°，∴∠MPF＝∠NPE，在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA），∴PF＝PE．24．【解答】（1）解：如图①，由题意，得：△ABC是等腰直角三角形，△DEF是含30°角的直角三角形，AB＝AC，AE⊥BC，∠D＝30°，∠BAC＝90°，∴∠CAE＝∠BAC＝45°，∵∠CAE＝∠1+∠D，∴∠1＝∠CAE﹣∠D＝15°；故答案为：15°；（2）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，△DEF是含30°角的直角三角形，∴AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∠BAE＝∠CAF＝90°+∠CAE，在△ACF和△ABE中，，∴△ACF≌△ABE（SAS），∴∠ACF＝∠B＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，∴CF⊥BE；（3）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，△DEF是含30°角的直角三角形，∴AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°，∴∠BAF＝∠CAE＝90°+∠FAC，在△ACE和△ABF中，，∴△ACE≌△ABF（SAS），∴∠ACE＝∠ABF，设AC，BF交于点H，如图③，则：∠BHC＝∠ABF+∠BAC＝∠ACE+∠BGC，∴∠BGC＝∠BAC＝90°，∴BF⊥CE．