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    2024-2025学年广东省珠海市香洲区凤凰中学九年级(上)期中数学试卷 含详解

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    2024-2025学年广东省珠海市香洲区凤凰中学九年级(上)期中数学试卷一.选择题,本大题共10小题,每小题3分,共30分。1.(3分)下列四个银行标志中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是(  )A. B. C. D.2.(3分)抛物线y=x2通过平移,得到抛物线y=x2+1,则该平移方式正确的是(  )A.向上平移1个单位 B.向下平移1个单位 C.向左平移1个单位 D.向右平移1个单位3.(3分)在一次篮球比赛中,每两个班级进行一场比赛,如果一共进行55场,则参加篮球比赛的班级数为(  )A.9个 B.10个 C.11个 D.12个4.(3分)如图,在⊙O中,弦AB=4,圆心O到AB的距离OC=1,则⊙O的半径长为(  )A.2 B.2 C. D.5.(3分)若关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣1=0有一个根是0,则m的值为(  )A.1 B.﹣1 C.2 D.06.(3分)李师傅从市场上买了一块长100cm、宽60cm的矩形铁皮,准备制作一个工具箱.如图,他将铁皮的四个角各剪掉一个边长x cm的正方形后,剩余部分刚好能焊接成一个底面积为3200cm2的无盖工具箱,根据题意可列方程为(  )A.100×60﹣4x2=3200 B.100×60﹣4x2﹣(100+60)x=3200 C.(100﹣x)(60﹣x)=3200 D.(100﹣2x)(60﹣2x)=32007.(3分)如图,抛物线与直线y2=mx+n相交于点(3,0)和(0,3),若ax2+bx+c<mx+n,则x的取值范围是(  )A.0<x<3 B.x<0或x>3 C.1<x<3 D.x<1或x>38.(3分)半径等于12的圆中,垂直平分半径的弦长为(  )A. B. C.8 D.9.(3分)如图,PA、PB、CD是⊙O的切线,点A、B、E是切点,CD分别交PA、PB于C、D两点,若∠APB=60°,则∠COD的度数(  )A.60° B.45° C.70° D.90°10.(3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1,下列结论:①abc>0;②b2﹣4ac>0;③16a+c<0;④a+b+c>0,正确的有(  )A.4个 B.3个 C.2个 D.1个二.填空题:本大题共5小题,每小题3分,共15分。11.(3分)求抛物线y=x2﹣2x+1与y轴的交点坐标为   .12.(3分)若a,b是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根,则ab=   .13.(3分)一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系,其函数关系式为y=﹣,当水面离桥拱顶的高度OC是4m时,水面的宽度AB为    m.14.(3分)如图,△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′,若∠BAC=90°,AB=AC=,则图中阴影部分的面积等于   .15.(3分)如图,小球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下,速度每秒增加1.6m.则小球滚动的距离s(单位:m)关于滚动的时间t(单位:s)的函数解析式为    .(提示:本题中,距离=平均速度时间t,,其中,v0是开始时的速度,vt是t秒时的速度.)三.解答题(一):本大题共3小题,每小题7分,共21分。16.(7分)解下列方程:(1)2x2+1=3x;(2)x2﹣2x﹣3=0.17.(7分)如图所示的正方形网格中,△ABC的顶点均在格点上,请在所给直角坐标系中按要求画图(1)以A点为旋转中心,将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1,画出△AB1C1;(2)作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2.18.(7分)某农场计划建造一个矩形养殖场,为充分利用现有资源,该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10m),另外三面用栅栏围成,中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形,已知栅栏的总长度为24m,设较小矩形的宽为x m(如图).(1)若矩形养殖场的总面积为36m2,求此时x的值;(2)当x为多少时,矩形养殖场的总面积最大?最大值为多少?四.解答题(二):大题共3小题,每小题9分,共27分。19.(9分)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC为⊙O的直径,.(1)求∠ADB的度数.(2)若AB=2,,求AD的长度.20.(9分)阅读以下信息,探索完成任务.21.(9分)小明同学进行探究学习以下内容:“一个点把一条线段分为两段,如果其中较长的一段与整个线段的比等于较短一段与较长一段的比,我们就说这个点是这条线段的黄金分割点,较长的一段与整个线段的比值(或较短一段与较长一段的比值)叫做黄金分割数≈0.618.”探究发现:在现实生活中,黄金分割无处不在;如图1,我国国旗上的正五角星也存在黄金分割数,如:.问题解决:(1)如图2,已知线段AB的长为1,线段AB上的点A1,满足关系式=A1B•AB.请你计算AA1的长度,并判断AA1的长度是否为黄金分割数.(2)如图2,若在线段AA1上再取一个点A2,满足=A2A1•AA1;在线段AA2上取一点A3,=A3A2•AA2,…以此类推,在线段AAn﹣1上取一点An满足=AnAn﹣1•AAn﹣1.请你直接写出AAn的长度.五.解答题(三):本大题共2小题,第22题13分,第23题14分,共27分。22.(13分)【知识技能】(1)如图1,点E是正方形ABCD中CD边上一点,以点A为中心,把△ADE顺时针旋转90°得到△ABF,若正方形边长为3,DE=1,求EF的长.【数学理解】(2)如图2,点E是正方形ABCD内部一点,连接BE,CE,将△BCE绕点B逆时针方向旋转90度得到△BAF,延长CE交AF于点H,连接BH,请证明:.【拓展探索】(3)如图3,正方形ABCD的边长为3,BE=1,将△BCE绕点B逆时针旋转一周,当∠AEB=45°时,求AE的长度.23.(14分)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(0,2),在x轴上任取一点M,完成以下作图步骤:①连接AM,作AM的垂直平分线l1,过点M作x轴的垂线l2,记l1,l2的交点为P;②在x轴上多次改变M点的位置,用①的方法得到相应的点P.(1)小明在图1按要求已完成了①的作图,并确定了M1,M2,M3的位置,请你帮他完成余下的作图步骤,描出对应的P1,P2,P3,…并把这些点用平滑的曲线连接起来,观察画出的曲线L,猜想:曲线L的形状是    .(2)对于曲线L上的任意一点P,线段PA与PM有什么关系?设点P的坐标是(x,y),试求出x,y满足的函数关系式.(3)点F坐标为(1,0),点G是曲线L上的一动点.问在x轴上是否存在点N,使得以A、F、G、N为顶点的四边形是平行四边形.若存在,求出所有满足条件的点N的坐标;若不存在,请说明理由.(4)如图2,点,,点D为曲线L上任意一点,且∠BDC<30°,直接写出点D的纵坐标y的取值范围. 2024-2025学年广东省珠海市香洲区凤凰中学九年级(上)期中数学试卷参考答案一.选择题,本大题共10小题,每小题3分,共30分。1.【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;C、既是轴对称图形,也是中心对称图形,故本选项正确;D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误.故选:C.2.【解答】解:抛物线y=x2向上平移1个单位即可得到抛物线y=x2+1.故选:A.3.【解答】解:设参加篮球比赛的班级数为x个,由题意得:x(x﹣1)=55,整理得:x2﹣x﹣110=0,解得:x1=11,x2=﹣10(不符合题意,舍去),即参加篮球比赛的班级数为11个,故选:C.4.【解答】解:根据题意,OC⊥AB,∴∠ACO=90°,AC=BC=AB=2,在Rt△AOC中,OA===,即⊙O的半径长为.故选:C.5.【解答】解:把x=0代入x2+2x+m﹣1=0得m﹣1=0,解得m=1,即m的值为1.故选:A.6.【解答】解:根据题意得,裁剪后的底面的长为(100﹣2x)cm,宽为(60﹣2x)cm,∴(100﹣2x)(60﹣2x)=3200.故选:D.7.【解答】解:∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n相交于点(3,0)和(0,3),∴当0<x<3时,ax2+bx+c<mx+n.故选:A.8.【解答】解:如图,AB垂直平分OC,连接OA,∵AB平分OC,∴OH=OC=6,∴AH===6,∵OC⊥AB,∴AB=2AH=12,∴垂半径等于12的圆中,直平分半径的弦长为12,故选:D.9.【解答】解:连接AO,BO,OE,∵PA、PB是⊙O的切线,∴∠PAO=∠PBO=90°,∵∠APB=60°,∴∠AOB=360°﹣2×90°﹣60°=120°,∵PA、PB、CD是⊙O的切线,∴∠ACO=∠ECO,∠BDO=∠EDO,∴∠AOC=∠EOC,∠EOD=∠BOD,∴∠COD=∠COE+∠EOD=∠AOB=60°.故选:A.10.【解答】解:①抛物线对称轴在y轴左侧,则ab<0,而c>0,故abc<0,故①错误,不符合题意;②抛物线和x轴有两个交点,故b2﹣4ac>0正确,符合题意;③抛物线的对称轴为直线x=1=﹣,则b=﹣2a,当x=4时,y=ax2+bx+c=16a+4b+c=16a﹣8a+c=8a+c<0,∵a<0,故16a+c<0正确,符合题意;④当x=1时,y=ax2+bx+c=a+b+c>0,正确,符合题意,故选:B.二.填空题:本大题共5小题,每小题3分,共15分。11.【解答】解:把x=0代入y=x2﹣2x+1得y=1,所以抛物线与y轴的交点坐标为(0,1);故答案为(0,1).12.【解答】解:∵a,b是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根,∴ab=﹣3,故答案为:﹣3.13.【解答】解:根据题意B的纵坐标为﹣4,把y=﹣4代入y=﹣x2,得x=±8,∴A(﹣8,﹣4),B(8,﹣4),∴AB=16m.即水面宽度AB为16m.故答案为:16.14.【解答】解:∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′,∠BAC=90°,AB=AC=,∴BC=2,∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45°,∴AD⊥BC,B′C′⊥AB,∴AD=BC=1,AF=FC′=sin45°AC′=AC′=1,∴图中阴影部分的面积等于:S△AFC′﹣S△DEC′=×1×1﹣×(﹣1)2=﹣1.故答案为:﹣1.15.【解答】解:由已知得vt=0+1.6t=1.6t,∴,∴,故答案为:s=0.8t2.三.解答题(一):本大题共3小题,每小题7分,共21分。16.【解答】解:(1)2x2+2=3x,2x2﹣3x+2=0,(2x+1)(x﹣2)=0,2x+1=0或x﹣2=0,∴x1=﹣,x2=2;(2)x2﹣2x﹣3=0,(x﹣3)(x+1)=0,x﹣3=0或x+1=0,∴x1=3,x2=﹣1.17.【解答】解:(1)△AB 1C 1如图所示;(2)△A 2B 2C 2如图所示.18.【解答】解:(1)根据题意知:较大矩形的宽为2x m,长为=(8﹣x) m,∴(x+2x)×(8﹣x)=36,解得x=2或x=6,经检验,x=6时,3x=18>10不符合题意,舍去,∴x=2,答:此时x的值为2;(2)设矩形养殖场的总面积是y m2,∵墙的长度为10m,∴0<x≤,根据题意得:y=(x+2x)×(8﹣x)=﹣3x2+24x=﹣3(x﹣4)2+48,∵﹣3<0,∴当x=时,y取最大值,最大值为﹣3×(﹣4)2+48=(m2),答:当x=时,矩形养殖场的总面积最大,最大值为m2.四.解答题(二):大题共3小题,每小题9分,共27分。19.【解答】解:(1)∵AC为⊙O的直径,∴∠ADC=90°,∵=,∴∠ADB=∠CDB=45°;(2)∵AC为⊙O的直径,∴∠ABC=90°,∵=,∴AB=BC=2,∴AC==2,∴AD==.20.【解答】解:任务1:设手工作品9月份到11月份生产数量的平均增长率为x,根据题意得:100(1+x)2=144,解得:x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(不符合题意,舍去).答:手工作品9月份到11月份生产数量的平均增长率为20%;任务2:设该手工作品应该定价为y元,则每件的销售利润为(y﹣30)元,月销售量为600﹣10(y﹣40)=(1000﹣10y),根据题意得:(y﹣30)(1000﹣10y)=10000,整理得:y2﹣130y+4000=0,解得:y1=50,y2=80,又∵要尽可能让更多的人能够献出爱心,∴y=50.答:该手工作品应该定价为50元.21.【解答】解:(1)∵线段AB的长为1,线段AB上的点A1,满足关系式=A1B•AB,设AA1=x,则A1B=1﹣x,∴x2=(1﹣x)×1,解得或(舍去),∴AA1的长度为黄金分割数;(2)由(1)可得AA2的长是AA1的长的一个黄金分割数,即,AA3的长是AA2 的长的 一个黄金分割数,即,……以此类推,,由(1)可得,∴AAn=.五.解答题(三):本大题共2小题,第22题13分,第23题14分,共27分。22.【解答】(1)解:∵四边形ABCD是正方形,正方形边长为3,∴BC=CD=AB=3,∠ABC=∠D=∠C=90°,根据旋转可得∠ABF=∠D=90°,DE=BF=1,∴∠ABF+∠ABC=180°,CE=3﹣1=2,∴点F,B,C三点共线,∴FC=4,∴;(2)证明:如图,在CE上截取CG=AH,连接BG,根据旋转可得△AFB≌△CEB,∴∠1=∠2,∵AH=CG,∠1=∠2,AB=CB,∴△HAB≌△GCB(SAS),∴BH=BG,∠3=∠4,∴∠ABC=∠ABG+∠3=∠ABG+∠4=90°,∴△HBG是等腰直角三角形,∴,∴CH=HG+CG=; (3)解:∵BE=1,将△BCE绕点B逆时针旋转一周,∴点E在以点B为圆心,1为半径的圆上运动,当∠AEB=45°时,如图,过点B作BH⊥AE,则∠AEB=∠EBH=45°,∴,∴,∴,当∠AE'B=45°时,过点B作BH'⊥AE',则∠AE'B=∠E'BH'=45°,∴,∴AH′===,∴.综上,AE=.23.【解答】解:(1)如图所示,曲线L的形状是抛物线,故答案为:抛物线;(2)∵l是AM的垂直平分线,∴PA=PM,∵点P的坐标为(x,y)且PA=PM,∴x2+(y﹣2)2=(y﹣0)2,整理得:;(3)如图1所示,∵点F、N都在x轴上,∴当AG∥FN并且AG=FN时,点A、F、G、N可以构成平行四边形,此时AG∥x轴,∵点A的坐标是(0,2),∴点G的纵坐标为2,∴,解得x1=2,x2=﹣2,∴AG=2,∴FN=2,∵点F的坐标是(1,0),设点N的坐标为(n,0),则有|n﹣1|=2,解得:n=3或n=﹣1,∴点N的坐标为(3,0)或 (﹣1,0);(4)如图2所示,∵点C(1,﹣),∴BC=2,连接OB、OC,则有OB=OC==2,∴△OBC是等边三角形,∠BOC=60°,以点O为圆心OB为半径画⊙O,交抛物线于点D,则∠BDC=30°,此时OD=2,设点D的坐标为,则有,整理得:,∴,∴,∴,∴或(舍),∴,∴当∠BDC<30°时,点D纵坐标y的取值范围是. 凤凰快讯1“乐学雷锋好榜样,爱心义卖暖人心”凤凰中学每月举行义卖活动,同学们用自己的手工制作表达爱心,随着同学们的技术变得娴熟,该手工作品9月份生产100个,11月份生产144个.凤凰快讯2该手工作品的生产成本为30元/个,义卖一段时间后发现,当义卖价格为40元/个时,月销售量为600个,若在此基础上义卖价格每上涨1元,则月销售量将减少10个.问题解决任务1求手工作品9月份到11月份生产数量的平均增长率;任务2若该月捐出善款(去除成本后)10000元,而且尽可能让更多的人能够献出爱心,请问该手工作品应该定价为多少元?

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