2024-2025学年江苏省无锡市滨湖区九年级（上）期中数学试卷 含详解

2024-2025学年江苏省无锡市滨湖区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（　　）A．x2+2x+3＝x2 B．y2+x+1＝0 C．x2﹣2＝0 D．2．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+2＝0，配方后得到的方程，正确的是（　　）A．（x+4）2＝4 B．（x﹣4）2＝4 C．（x+2）2＝2 D．（x﹣2）2＝23．（3分）下列四组线段中，是成比例线段的是（　　）A．5cm，15cm，2cm，6cm B．4cm，6cm，3cm，5cm C．1cm，2cm，3cm，4cm D．3cm，4cm，2cm，5cm4．（3分）已知⊙O的直径为10cm，若线段OA的长为6cm，则点A与⊙O的位置关系是（　　）A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．无法确定5．（3分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CDB＝68°，则∠ABC度数为（　　）A．22° B．30° C．32° D．68°6．（3分）下列说法正确的是（　　）A．直径所对的角是直角 B．同弧所对的圆心角是圆周角的2倍 C．三点确定一个圆 D．相等的圆心角所对的弧相等7．（3分）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（3，0）．以点O为位似中心，在第一象限内把△AOB按相似比2：1放大，得到△A′OB′，则A′，B′的坐标是（　　）A．， B．（4，5），（5，0） C．（4，6），（6，0） D．（6，9），（9，0）8．（3分）如图，等边△ABC沿DE折叠，点A的对应点A′恰好落在BC上（端点除外）．下列结论，一定成立的是（　　）A．AD＝BD B．△BDA′∽△A′ED C． D．9．（3分）如图，AB，CD相交于点E，点A，B，C，D都在格点上，则的值为（　　）A． B． C． D．10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，点D为BC的中点，连接AD，过点C作CE⊥AD，垂足为点E，线段CE的延长线交AB于点F，连接BE，DF．如下结论：①DB2＝DE•DA；②BE平分∠DEF；③；④S△BDF：S△AEF＝2：3．其中正确结论为（　　）A．①③ B．②③ C．①②④ D．①②③二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11．（3分）在比例尺为1：36000的无锡旅游地图上，某条道路的长为10cm，则这条道路的实际长度为 　 　km．12．（3分）如果α、β是关于x的一元二次方程x2﹣4x+n＝0的两个实数根，那么α+β＝ 　 　．13．（3分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率相同，则这个百分率为 　 　．14．（3分）学校报告厅舞台的宽AB为10m，小明作为新选任的主持人，想利用学过的黄金分割知识选持合适的位置站立，则他选择的位置离A点 　 　m．（写出所有可能，精确到0.1m）15．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠AOC＝150°，则∠B＝ 　 　．16．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，点O为△ABC的重心，连接OC，则OC＝ 　 　．17．（3分）如图，△ABC中，AB＝7，AC＝4，BC上的高AD＝3．则△ABC外接圆的半径长为 　 　．18．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，BD，若∠CBD＝2∠CDB＝60°，则AC长度的最大值为 　 　．三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）解方程：（1）x2﹣3x﹣2＝0；（2）（x+3）2＝x+3．20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0（k为常数）．（1）求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根．21．（10分）如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD＝∠C．（1）求证：△ABD∽△ACB；（2）若AB＝5，CD＝4，求AD的长．22．（10分）如图，已知．（1）在上求作点C，使与的长度比为1：3；（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）连接AB，若AB＝8，上的点到AB的大距离为2，求所在圆的半径长．（如果需要图形，请使用备用图）23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E．（1）若∠B＝28°，求的度数；（2）若BE＝EC＝4，求AD的长．24．（10分）某服装大卖场以每件60元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量m（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系为m＝300﹣3x．（1）当每天的销售量为45件时，求销售这种服装的毛利润；（2）如果商场想销售这种服装每天获得900元的毛利润，同时又考虑薄利多销，那么每件服装的销售价应定为多少元？25．（10分）如图，平直的公路旁有一灯杆AB，在灯光下，小明在D处测得自己的影长DH＝2m，在F处测得自己的影长FG＝3m．小明身高1.5m．（1）若测出BD＝a m，求灯杆AB的长；（用含a的代数式表示）（2）若测出FH＝1m，求灯杆AB的长．26．（10分）先阅读下列例题，再按要求解答问题：例题：求代数式x2+4x+5的最小值．解：x2+4x+5＝（x2+4x+4）+1＝（x+2）2+1．∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．∴x2+4x+5的最小值是1．（1）求代数式﹣2x2+12x+15的最大值；（2）某商场将进价为2000元的某品牌电视机以2500元售出，平均每天能售出8台．为了促销，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出2台．试问商场每天最多盈利多少元？27．（10分）【探究活动】如图，BE是△ABC的中线，点D在BC上，BE交AD于点F．（1）当时，求的值；（2）当时，则＝ 　 　；（用含n的代数式表示）【解决问题】请利用探究活动的经验或结论解决问题：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE是△ABC的中线，点D在直线BC上，射线BE交AD于点F．若CD＝2，BD＝6，AC＝4时，求BF的值．28．（10分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝3cm，动点P以1cm/s的速度沿着折线AB，BC运动到点C时停止．已知△PA′D与△PAD关于直线PD对称，连接AA′．设运动时间为t s．（1）当点A′落在对角线BD上时，t＝ 　 　；（2）当点P在BC上运动时，点A，P，A′能否在同一条直线上？如果能，请求出t的值；如果不能，请说明理由，并求出△APA′的面积的最小值；（3）连接BA′，若△ABA′是直角三角形，请直接写出t的值．2024-2025学年江苏省无锡市滨湖区九年级（上）期中数学试卷参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）1．【解答】解：A．∵原方程可整理得2x+3＝0，未知数的最高次数是1，∴方程x2+2x+3＝x2不是一元二次方程，选项A不符合题意；B．∵方程y2+x+1＝0含有两个未知数，∴方程y2+x+1＝0不是一元二次方程，选项B不符合题意；C．方程x2﹣2＝0是一元二次方程，选项C符合题意；D．∵方程x﹣＝0不是整式方程，∴方程x﹣＝0不是一元二次方程，选项D不符合题意．故选：C．2．【解答】解：x2﹣4x+2＝0，x2﹣4x＝﹣2，x2﹣4x+4＝2，（x﹣2）2＝2，故选：D．3．【解答】解：A、∵5：15＝2：6，∴这一组线段成比例．B、∵4：6≠3：5，∴这一组线段不成比例．C、∵1：2≠3：4，∴这一组线段不成比例．D、∵3：4≠2：5，∴这一组线段不成比例．故选：A．4．【解答】解：∵⊙O的直径为10cm，∴⊙O的半径为5cm，∵OA＝6cm＞5cm，∴点A在⊙O外．故选：B．5．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CDB＝68°，∴∠BAC＝68°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝22°．故选：A．6．【解答】解：A、直径所对的圆周角是直角，故本选项说法错误，不符合题意；B、同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，说法正确，符合题意；C、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项说法错误，不符合题意；D、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项说法错误，不符合题意；故选：B．7．【解答】解：∵以点O为位似中心，在第一象限内把△AOB按相似比2：1放大，得到△A′OB′，而点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（3，0），∴点A′的坐标为（2×2，2×3），点B′的坐标为（3×2，0×2），即点A′的坐标为（4，6），点B′的坐标为（6，0），故选：C．8．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，由折叠的性质可得：∠ADE＝∠A′DE，AD＝A′D，∵点A的对应点A′恰好落在BC上（端点除外），∴AD不一定等于BD，故A不符合题意；∵∠B＝∠DA′E＝∠C＝60°，∴∠BDA′+∠BA′D＝∠BA′D+∠CA′E＝120°，∴∠BDA′＝∠CA′E，∴△BDA′∽△CA′E，故B不符合题意；∴＝，故C不符合题意，∴△BDA′的周长：△CA′E的周长＝DA′：A′E，故D符合题意；故选：D．9．【解答】解：延长CD到F点使DF＝CD，DF与格线交于点G，连接AC、BG，则AC＝3，BG＝2.5，∵AC∥BG，∴△ACE∽△BGE，∴＝＝＝．故选：C．10．【解答】解：①∵∠ACB＝90°，CE⊥AD，∴∠DEC＝∠ACB＝90°，又∵∠CDE＝∠ADC，∴△DCE∽△DAC，∴CD：DA＝DE：CD，∴CD2＝DE•DA，∵点D为BC的中点，∴CD＝DB，∴DB2＝DE•DA，故结论①正确；②∵DB2＝DE•DA，∴DB：DA＝DE：DB，又∵∠BDE＝∠ADB，∴△DBE∽△DAB，∴∠DEB＝∠ABC，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∴∠DEB＝∠ABC＝45°，∵CE⊥AD，∴∠DEF＝90°，∴∠FEB＝∠DEF﹣∠DEB＝90°﹣45°＝45°，∴∠FEB＝∠DEB＝45°，∴BE平分∠DEF，故结论②正确；③过点E作EH⊥BC于H，FK⊥BC于K，如图所示：则EH∥FK，∵AC＝BC＝1，点D为BC的中点，∴CD＝BD＝，在Rt△ACD中，由勾股定理得：DA＝，∴CD2＝DE•DA，∴，∴DE＝，∴AE＝DA﹣DE＝，∵EH⊥BC，∠ACB＝90°，∴EH∥AC，∴△DEH∽△DAC，∴EH：AC＝DH：CD＝DE：DA，∴，∴EH＝，DH＝，∴CH＝CD﹣DH＝＝，∵∠ABC＝45°，FK⊥BC，∴△BFK是等腰直角三角形，∴设BK＝FK＝a，则CK＝BC﹣BK＝1﹣a，由勾股定理得：BF＝，∵EH∥FK，∴△CEH∽△CFK，∴EH：FK＝CH：CK，∴，∴a＝，∴BF＝＝，故结论③正确；④∵FK＝a＝，∴S△BDF＝BD•FK＝，∵S△ACD＝DA•CE＝AC•CD，∴，∴CE＝，∵△CEH∽△CFK，∴CE：CF＝EH：FK，∴√，∴CF＝，∴EF＝CF﹣CE＝，∴S△AEF＝AE•EF＝，∴S△BDF：S△AEF＝＝5：8，故结论④不正确．综上所述：正确的结论是①②③．故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11．【解答】解：根据题意得：10÷＝360000（cm），360000cm＝3.6km．故答案为：3.6．12．【解答】解：根据根与系数的关系得α+β＝4．故答案为：4．13．【解答】解：降价的百分率为x，根据题意列方程得100×（1﹣x）2＝81解得x1＝0.1，x2＝1.9（不符合题意，舍去）．所以降价的百分率为0.1，即10%．故答案为：10%．14．【解答】解：设他选择的位置离A点x m，则离B点（10﹣x）m，由题意得：≈0.618或≈0.618，解得：x＝6.18≈6.2或x＝3.82≈3.8，∴他选择的位置离A点6.2或3.8m，故答案为：6.2或3.8．15．【解答】解：由圆周角定理得：∠D＝∠AOC＝×150°＝75°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D+∠B＝180°，∴∠B＝180°﹣75°＝105°，故答案为：105°．16．【解答】解：如图，延长CO交AB于D，∵点O为△ABC的重心，∴CD是△ACB的中线，OC＝CD，∵∠ACB＝90°，∴CD＝AB＝×6＝3，∴OC＝CD＝2．故答案为：2．17．【解答】解：作△ABC的外接圆，设圆心为O，过点A作直径AD交⊙O于D，连接CD，如图所示：则∠B＝∠D，∠ACD＝90°，∵AD是△ABC的高，∴在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝7，∴sinB＝，∴sinD＝sinB＝，在Rt△ACD中，AC＝4，sinD＝＝∴，∴AD＝，∴OA＝OD＝AD＝．即△ABC外接圆的半径长为．故答案为：．18．【解答】解：以B为顶点，在BA下方作∠ABH＝60°，过A作AH⊥BH于H，如图：∴∠BAH＝30°，∴BH＝AB＝，AH＝BH＝，∵∠CBD＝2∠CDB＝60°，∴∠CDB＝30°，∠BCD＝90°，∴BC＝BD，∠CBH＝60°﹣∠DBH＝∠ABD，∴＝＝，∴△BCH∽△BDA，∴＝＝，∵AD＝4，∴CH＝2，∵AC≤AH+CH，∴AC≤+2，∴AC长度的最大值为+2，故答案为：+2．三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．【解答】解：（1）x2﹣3x﹣2＝0，∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝9+8＝17＞0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．（2）（x+3）2＝x+3，（x+3）2﹣（x+3）＝0，（x+3）（x+3﹣1）＝0，∴x+3＝0或x+2＝0，∴x1＝﹣3，x2＝﹣2．20．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4（2k﹣1）\＝k2+4k+4﹣8k+4＝k2﹣4k+4+4＝（k﹣2）2+4，∵（k﹣2）2≥0，∴Δ＞0，∴该方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵方程的一个根为3，∴9﹣3（k+2）+2k﹣1＝0，∴k＝2，∴方程为x2﹣4x+3＝0，∴x1＝3，x1＝1，∴另一个根为1，k＝2．21．【解答】（1）证明：∵∠ABD＝∠C，∠BAD＝∠CAB，∴△ABD∽△ACB；（2）设AD＝x，∵AB＝5，CD＝4，∴AC＝AD+CD＝x+4，∵△ABD∽△ACB，∴AB：AC＝AD：AB，∴AB2＝AD•AC，∴52＝x（x+4），整理得：x2+4x﹣25＝0，解得：x＝，x＝（不合题意，舍去），∴AD＝x＝．22．【解答】解：（1）如图1中，点C即为所求；（2）如图2中，设圆心为O，半径OC⊥AB于点D，设OA＝OC＝r，∵OC⊥AB，∴AD＝DB＝4，在Rt△ADO中，r2＝42+（r﹣2）2，解得r＝5．∴所在圆的半径为5．23．【解答】解：（1）如图，连接CD．∵∠C＝90°，∠B＝28°，∴∠A＝90°﹣∠B＝62°，∵CA＝CD，∴∠ADC＝∠A＝62°，∴∠BCD＝∠ADC﹣∠B＝62°﹣28°＝34°，∴的度数是34°．（2）延长BC交圆C于点F．∵BE＝EC＝4，∴BC＝BE+EC＝8，CF＝AC＝EC＝4，∴BF＝BC+CF＝12，在Rt△ABC中利用勾股定理，得AB＝＝＝4，设AD＝x，则BD＝AB﹣AD＝4﹣x，根据切割线定理，得BD•AB＝BE•BF，∴4（4﹣x）＝4×12，∴x＝，∴AD的长为．24．【解答】解：（1）当m＝45时，45＝300﹣3x，解得：x＝85，∴45×（85﹣60）＝1125（元），答：当每天的销售量为45件时，销售这种服装的毛利润为1125元；（2）设每件服装的销售价应定为x元，由题意得：（x﹣60）（300﹣3x）＝900，整理得：x2﹣160x+6300＝0，解得：x1＝70，x2＝90，（不符合题意，舍去），答：每件服装的销售价应定为70元．25．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴△ABH∽△CDH，∴＝，∵CD＝1.5m，DH＝2m，BD＝a m，∴＝，∴AB＝（a+）m；（2）∵EF∥AB，∴△GEF∽△GAB，∴＝，∵CD∥AB，∴△HCD∽△HAB，∴＝，∵CD＝EF，∴＝，∴＝，∴BH＝8，∴＝，∴AB＝6m．26．【解答】解：（1）﹣2x2+12x+15＝﹣2（x﹣3）2+33≤33，即代数式﹣2x2+12x+15的最大值为33；（2）设降低x元时，盈利w最大，由题意得：w＝（2500﹣200﹣x）（8+x）＝﹣（x﹣150）2+4900≤4900（元），故商场每天最多盈利4900元．27．【解答】解：（1）如图，过点D作DG∥AC交BE于点G，则∠ADG＝∠DAC，∠BGD＝∠BEC，∵∠AFE＝∠DFG，∴△AFE∽△DFG，∴，∵∠DBG＝∠CBE，∴△BDG∽△BCD，∴，∵＝，∴，∴＝，∵BE是中线，∴AE＝CE，∴，∴＝，（2）如图，过点D作DG∥AC交BE于点G，同（1）中方法可知＝＝，∵，∴，∴＝，故答案为：；【解决问题】分两种情况，①当点D在线段BC上时，如图所示，∵BD＝6，CD＝2，∴＝，由前述结论可知＝，∴，过F作FH⊥BC于点H，则∠BHF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠BHF，∵∠FDH＝∠ADC，∴△FDH∽△ADC，∴＝＝＝，∴DH＝，FH＝，∴BH＝BD+DH＝，在Rt△BFH中，BF＝＝；②当点D在线段BC延长线上时，如图所示，同（1）中方法，可求得＝，∴＝，过F作FH⊥BC于点H，则∠BHF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠BHF，∵∠FDH＝∠ADC，∴△FDH∽△ADC，∴＝＝＝，∴，FH＝，∴BH＝BD﹣DH＝，在Rt△BFH中，BF＝＝．综上，BF的值为或．28．【解答】解：（1）如图1，连接BD，∵四边形ABCD是矩形，AD＝4cm，AB＝3cm，∴∠BAD＝90°，在Rt△ABD中，BD＝＝＝5（cm），由题意得PA＝t cm，∴PB＝（3﹣t）cm，∵△PA′D与△PAD关于直线PD对称，且点A′落在对角线BD上，∴DA′＝AD＝4cm，PA′＝PA＝t cm，∠DA′P＝∠DAP＝90°，∴A′B＝BD﹣DA′＝5﹣4＝1（cm），∵∠PA′B＝180°﹣∠DA′P＝90°，∴PA′2+A′B2＝PB2，即t2+12＝（3﹣t）2，解得：t＝，故答案为：；（2）∵△PA′D与△PAD关于直线PD对称，∴AA′⊥DP，AE＝A′E，∴∠AED＝90°，∴S△APA′＝2S△APE，当S△APA′最小时，S△APE最小，∵S△APD＝S矩形ABCD＝×4×3＝6，∴S△ADE＝6﹣S△APE为最大值，∵AD＝4cm，∴当∠DAE＝45°时，S△ADE最大，如图2，过点E作EF⊥AD于点F，则F为AD的中点，∴EF＝AD＝2（cm），∴S△ADE＝AD•EF＝×4×2＝4（cm2），∴S△APE＝6﹣4＝2（cm2），∴S△APA′的最大值＝4cm2；（3）连接A′B，如图3，当∠AA′B＝90°时，则∠AA′B＝∠AEP＝90°，∴DP∥A′B，∴△APE∽△ABA′，∴＝＝，∴AP＝AB＝cm，∴t＝；当∠ABA′＝90°时，如图4，由题意得：A′P＝AP＝t cm，PB＝（3﹣t）cm，∵∠AED＝∠DAB＝∠B＝90°，∴∠ADP+∠DAE＝∠DAE+∠BAA′＝90°，∴∠ADP＝∠BAA′，∴△ADP∽△BAA′，∴＝，即＝，∴A′B＝t，∵PB2+A′B2＝A′P2，∴（3﹣t）2+（t）2＝t2，解得：t＝或t＝（舍去）；当∠BAA′＝90°时，如图5，∵A、A′关于DP对称，∴点P与点C重合，∴t＝7；综上所述，当△ABA′是直角三角形时，t的值为或或7．