2024-2025学年浙江省杭州中学八年级（上）期中数学试卷 含详解

2024-2025学年浙江省杭州中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，中国取得金牌榜第一名的好成绩，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（　　）A． B． C． D．2．（3分）若三角形的三边长分别是4、9、a，则a的取值可能是（　　）A．3 B．4 C．5 D．63．（3分）如图，已知∠1＝∠2，则下列条件中，不能使△ABC≌△DCB成立的是（　　）A．AB＝CD B．AC＝BD C．∠A＝∠D D．∠ABC＝∠DCB4．（3分）下列各图中，作△ABC边AC边上的高，正确的是（　　）A． B． C． D．5．（3分）若a＜b，则下列结论正确的是（　　）A．a+1＜b+1 B．a﹣2＞b﹣2 C．﹣3a＜﹣3b D．6．（3分）如图，P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，垂足分别为D，E，若PD＝2，则PE的长是（　　）A．2 B．3 C． D．47．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图得到射线BD，BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝4，则△EFC的周长为（　　）A． B．4 C． D．8．（3分）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm．若按相同的方式将30°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为（　　）cm．A．4cm B．3.5cm C． D．9．（3分）如图，把纸片△ABC的∠A沿DE折叠，点A落在四边形CBDE外，则∠1，∠2与∠A的关系是（　　）A．∠2﹣∠1＝2∠A B．∠2﹣∠A＝2∠1 C．∠1+∠2＝2∠A D．∠1+∠A＝2∠210．（3分）如图，等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，AM的延长线交BC于点N，连接DM，下列结论：①∠AEB＝67.5°；②AE＝AF；③△ADN≌△BDF；④BF＝2AM；⑤DM平分∠BMN，其中正确结论有（　　）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）x与3的和不大于2，用不等式表示为 　 　．12．（3分）如图，已知△AOB≌△COD，∠B＝95°，∠C＝50°，则∠COD＝ 　 　°．13．（3分）不等式3x﹣3a≤﹣2a的正整数解为1，2，则a的取值范围是　 　．14．（3分）直角三角形的两条边为6和8，则斜边上的中线长是 　 　．15．（3分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝10，BC＝6，则BD的长为 　 　．16．（3分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为 　 　时，能使DE＝CD？三、解答题（共8小题，共72分）17．（6分）解下列不等式（组）（1）求不等式的解2（3x+2）﹣2x＜0；（2）解不等式组．18．（6分）在△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的角平分线，求∠DCE的度数．19．（8分）如图，已知△ABC，∠C＝90°，AC＜BC．（1）用直尺和圆规作出∠BAC的角平分线交BC于点D，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的基础上，若∠B＝36°，求∠CDA的度数．20．（8分）如图，在所给网格图（每小格均是边长为1的正方形）中完成下面各题：（1）作△ABC关于直线DE对称的图形△A1B1C1；（2）求△ABC的面积．21．（10分）如图，△ADC与△EDG均为等腰直角三角形，连接AG，CE，相交于点H．（1）求证：AG＝CE；（2）求∠AHE的大小．22．（10分）某厂租用A、B两种型号的车给零售商运送货物．已知用2辆A型车和1辆B型车装满可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨；厂家现有21吨货物需要配送，计划租用A、B两种型号车6辆一次配送完货物，且A车至少1辆．根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？（2）请你帮助厂家设计租车方案完成一次配送完21吨货物；（3）若A型车每辆需租金80元每次，B型车每辆需租金100元每次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．23．（12分）定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么这条线段称为原三角形的“和谐分割线”，例如：如图1，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线”．（1）判断命题真假：等边三角形存在“和谐分割线”是 　 　命题；（填“真”或“假”）（2）如图2，在Rt△ABC中，，试探索Rt△ABC是否存在“和谐分割线”？若存在，求出“和谐分割线”的长度；若不存在，请说明理由；（3）如图3，在△ABC中，A＝42°，若线段CD是△ABC的“和谐分割线”，且△BCD是等腰三角形，求出所有符合条件的∠B的度数．24．（12分）如图，在Rt△ABC中，AB＝10，BC⊥AC，P为线段AC上一点，点Q，P关于直线BC对称，QD⊥AB于点D，DQ与BC交于点E，连结DP，设AP＝m．（1）若BC＝8，求AC的长，并用含m的代数式表示PQ的长；（2）在（1）的条件下，若AP＝PD，求CP的长；（3）连结PE，若∠A＝60°，△PCE与△PDE的面积之比为1：2，求m的值．2024-2025学年浙江省杭州中学八年级（上）期中数学试卷详细答案一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．【解答】解：A．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；B．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；C．该图形是轴对称称图形，故此选项符合题意；D．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：C．2．【解答】解：∵三角形的三边长分别是4、9、a，∴9﹣4＜a＜9+4，即5＜a＜13．故选：D．3．【解答】解：A、∵BC＝CB，∠1＝∠2，AB＝CD，∴△ABC和△DCB不一定全等，故A符合题意；B、∵BC＝CB，∠1＝∠2，AC＝BD，∴△ABC≌△DCB（SAS），故B不符合题意；C、∵BC＝CB，∠1＝∠2，∠A＝∠D，∴△ABC≌△DCB（AAS），故C不符合题意；D、∵BC＝CB，∠1＝∠2，∠ABC＝∠DCB，∴△ABC≌△DCB（ASA），故D不符合题意；故选：A．4．【解答】解；A、图中BE不是△ABC边AC边上的高，本选项不符合题意；B、图中BE不是△ABC边AC边上的高，本选项不符合题意；C、图中BE不是△ABC边AC边上的高，本选项不符合题意；D、图中BE是△ABC边AC边上的高，本选项符合题意；故选：D．5．【解答】解：A、由a＜b，得a+1＜b+1，原变形正确，故此选项符合题意；B、由a＜b，得a﹣2＜b﹣2，原变形错误，故此选项不符合题意；C、由a＜b，得﹣3a＞﹣3b，原变形错误，故此选项不符合题意；D、由a＜b，得＜，原变形错误，故此选项不符合题意；故选：A．6．【解答】解：∵P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE＝PD，∵PD＝2，∴PE＝2．故选：A．7．【解答】解：由题意得，BE为∠ABC的平分线，∵AB＝BC，∴BE⊥AC，，由勾股定理得，，∵点F为BC的中点，∴，，∴△EFC的周长为，故选：C．8．【解答】解：如图，作BD⊥OA于D，CE⊥OA于E，∵∠AOB＝45°，∴△BOD是等腰直角三角形，∴BD＝OD＝2cm，∴CE＝BD＝2cm，∵∠AOC＝30°，∴OC＝2CE＝4cm，∴在Rt△COE中，OE＝＝＝2（cm）．故选：D．9．【解答】解：如图：分别延长CE、BD交于A′点，∴∠2＝∠EA′A+∠EAA′，∠1＝∠DA′A+∠DAA′，而根据折叠可以得到∠EA′A＝∠EAA′，∠DA′A＝∠DAA′，∴∠2﹣∠1＝2（∠EAA′﹣∠DAA′）＝2∠EAD．故选：A．10．【解答】解：∵等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠C＝∠ABC＝45°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝22.5°，∴∠AEB＝∠CBE+∠C＝22.5°+45°＝67.5°，故①正确；∵∠AFE＝∠FBA+∠BAF＝22.5°+45°＝67.5°，由①知∠AEB＝67.5°，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，故②正确；∵∠BAC＝90°，AC＝AB，AD⊥BC，∴∠ABC＝∠C＝45°，AD＝BD＝CD，∠ADN＝∠ADB＝90°，∵AE＝AF，M为EF的中点，∴AM⊥BE，∴∠AMF＝90°，∴∠AMF＝∠BDF＝90°，∵∠AMF+∠AFM+∠DAN＝180°，∠BDF+∠BFD+∠FBD＝180°，∠AFM＝∠BFD，∴∠FBD＝∠DAN；在△ADN和△BDF中，，∴△ADN≌△BDF（ASA），故③正确；在△BAM和△BNM中，，∴△BAM≌△BNM（ASA），∴AM＝MN＝AN，由③知△ADN≌△BDF，∴BF＝AN＝2AM，故④正确；过点D作DQ⊥AN，DP⊥BE．在△BDP和△ADQ中，，∴△BDP≌△ADQ（AAS），∴DP＝DQ，∴DM平分∠BMN，故⑤正确．故选：A．二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．【解答】解：x与3的和为x+3，由题意得，x+3≤2．故答案为：x+3≤2．12．【解答】解：∵△AOB≌△COD，∴∠D＝∠B＝95°，∴∠COD＝180°﹣∠D﹣∠C＝35°，故答案为：35．13．【解答】解：3x﹣3a≤﹣2a，移项得：3x≤﹣2a+3a，合并同类项得：3x≤a，∴不等式的解集是x≤，∵不等式3x﹣3a≤﹣2a的正整数解为1，2，∴2≤＜3，解得：6≤a＜9．故答案为：6≤a＜9．14．【解答】解：分两种情况：当8为直角三角形的斜边时，∴斜边上的中线长＝×8＝4；当6和8为直角三角形的两条直角边时，∴斜边长＝＝10，∴斜边上的中线长＝×10＝5；综上所述：斜边上的中线长是4或5，故答案为：4或5．15．【解答】解：延长BD交AC于点E，如图所示：∵∠A＝∠ABD，∴BE＝AE，∵BD⊥CD，∴∠CDB＝∠CDE＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ECD，在△BCD和△ECD中，，∴△BCD≌△ECD（ASA），∴BC＝CE＝6，BD＝DE，∴AE＝AC﹣CE＝10﹣6＝4，∴BE＝AE＝4，∴BD＝DE＝BE＝2．故答案为：2．16．【解答】解：①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图1所示：则∠AED＝∠PED＝90°，∴∠PED＝∠ACB＝90°，∴PD平分∠APC，∴∠EPD＝∠CPD，又∵PD＝PD，∴△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣2t，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣2t）2＝（20﹣2t）2，解得：t＝5；②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示：同①得：△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣16，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣16＝2t﹣12，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2，解得：t＝11．综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使DE＝CD．三、解答题（共8小题，共72分）17．【解答】解：（1）去括号得：6x+4﹣2x＜0，移项合并得：4x＜﹣4，系数化为1得：x＜﹣1，∴不等式的解集为x＜﹣1；（2），由①得：x≥﹣1，由②得：x＜3，∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3．18．【解答】解：∵∠A＝∠B＝∠ACB，∴∠B＝2∠A，∠ACB＝3∠A，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴∠A+2∠A+3∠A＝180°，解得∠A＝30°，∴∠ACB＝90°，∵CD是△ABC的高，∴∠ACD＝90°﹣30°＝60°，∵CE是∠ACB的角平分线，∴∠ACE＝×90°＝45°，∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝60°﹣45°＝15°．19．【解答】解：（1）作∠BAC的角平分线交BC于点D，如图，点D即为所作；（2）已知△ABC，∠C＝90°，AC＜BC．∠B＝36°，∴∠BAC＝∠B＝90°﹣36°＝54°，∵AD平分∠BAC，∴，∴∠CDA＝∠BAD+∠B＝27°+36°＝63°，∴∠CDA的度数63°．20．【解答】解：（1）如图，分别作出点A，B，C关于DE的对称点A1，B1，C1，连接A1B1，A1C1，B1C1，则△A1B1C1就是求作的图形；（2）S△ABC＝2×3﹣＝2.5．21．【解答】（1）证明：∵△ADC与△EDG均为等腰直角三角形，∴AD＝CD，DG＝DE，∠ADC＝∠GDE＝90°，∴∠ADC+∠CDG＝∠GDE+∠CDG，即∠ADG＝∠CDE，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴AG＝CE；（2）解：设AG与CD交于点B，∵△ADG≌△CDE，∴∠DAG＝∠DCE，又∵∠ABD＝∠CBH，∴∠CHB＝∠ADB＝90°；∴∠AHE＝90°．22．【解答】解：（1）设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，依题意得：，解得：．答：1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货4吨．（2）设租用m辆A型车，则租用（6﹣m）辆B型车，依题意得：，解得：1≤m≤3．∵m为正整数，∴m可以取1，2，3，∴共有3种租车方案，方案1：租用A型车1辆，B型车5辆；方案2：租用A型车2辆，B型车4辆；方案3：租用A型车3辆，B型车3辆．（3）选择方案1的租车费为1×80+100×5＝580（元）；选择方案2的租车费为2×80+100×4＝560（元）；选择方案3的租车费为3×80+100×3＝540（元）．∵580＞560＞540，∴方案3最省钱，即租用A型车3辆，B型车3辆，最少租车费为540元．23．【解答】解：（1）等边三角形过一个顶点的线段不能分成一个等边三角形和一个等腰三角形，∴等边三角形存在“和谐分割线”是 假命题．故答案为：假．（2）存在“和谐分割线”，理由如下：作∠CAB的平分线AD交BC于点D，如图2：∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∴∠CAD＝∠DAB＝30°，在Rt△ACD中，∠ADC＝60°，∴△ACD的三个内角与△ABC的三个内角相等，∵∠DAB＝∠B＝30°，∴△ABD是等腰三角形，∴AD是“和谐分割线”；过点D作DE⊥AB交于E，∴DE＝CD，∵AC＝，∠CAD＝30°，∴＝，∴AD＝2．（3）①当DC＝DB时，∴∠B＝∠DCB，根据“和谐分割线”的概念可知，∠B＝∠ACD，∴∠B＝∠ACD＝∠DCB，∴∠ADC＝2∠B，∴∠B+2∠B+42°＝180°，解得∠B＝46°；②当BC＝BD时，∴∠BDC＝∠BCD，根据“和谐分割线”的概念可知，∠B＝∠ACD，∴∠BDC＝∠BCD＝42°+∠ACD＝42°+∠B，∴42°+∠B+42°+∠B+∠B＝180°，解得∠B＝32°；综上所述：∠B的值为32°或46°．24．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝＝6，∵P，Q关于BC对称，∴PC＝CQ＝6﹣m，∴PQ＝2PC＝12﹣2m；（2）当AP＝PD时，∠A＝∠PDA，∵QD⊥AB，∴∠ADQ＝90°，∴∠PDQ+∠ADP＝90°，∠Q+∠A＝90°，∴∠Q＝∠PDQ，∴PD＝PQ，∴PA＝PQ，∴m＝12﹣2m，∴m＝4，∴CP＝AC﹣AP＝6﹣4＝2；（3）∴CP＝CQ，∴S△PEC＝S△ECQ，∵S△PDE＝2S△PEC，∴S△PDE＝S△PEQ，∴DE＝QE，设DE＝EQ＝x，∵∠A＝60°，∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣60°＝30°，∴BE＝2x，∵∠ADQ＝90°，∴∠Q＝90°﹣60°＝30°，∴EC＝EQ＝x，∵BC＝AB•＝5，∴2x+x＝5，∴x＝2，∴DQ＝2x＝4，CQ＝PC＝EQ•＝3，∵AQ＝5+3＝8，∴m＝AP＝AQ﹣PQ＝8﹣6＝2．