2024-2025学年浙江省宁波市鄞州区十二校联考九年级（上）期中数学试卷 含详解

2024-2025学年浙江省宁波市鄞州区十二校联考九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（3分）若，则的值为（　　）A． B． C． D．2．（3分）不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，恰好是红球的概率为（　　）A． B． C． D．13．（3分）平面内有两点P、O，已知⊙O的半径为5，PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（　　）A．P在圆内 B．P在圆上 C．P在圆外 D．P在圆上或圆外4．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，AE＝9，AC＝6，BD＝4，则BF的长是（　　）A．5 B．6 C．7 D．85．（3分）将抛物线y＝﹣（x﹣3）2+5向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度平移后的抛物线的函数表达式为（　　）A．y＝﹣（x﹣5）2﹣1 B．y＝﹣（x﹣1）2﹣1 C．y＝﹣（x﹣5）2+11 D．y＝﹣（x﹣1）2+116．（3分）如图是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，C为上一点，OC⊥AB于D点，若，CD＝3，则的长为（　　）A．6π B．4π C．3π D．7．（3分）若二次函数y＝﹣x2+6x+c的图象经过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系正确的为（　　）A．y1＞y3＞y2 B．y2＞y3＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y28．（3分）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为5m，若在坡比为i＝1：2.5的山坡种树，也要求株距为5m，那么相邻两棵树间的坡面距离为（　　）A．2.5m B．5m C． D．10m9．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如表所示：则方程ax2+bx+2.39＝0的解是（　　）A．0或6 B．或 C．或6 D．无实数解10．（3分）在一次课题学习中，某学习小组受赵爽弦图的启发，将正方形改编成矩形，如图所示，由两对全等的直角三角形（△AHD≌△CFB，△ABE≌△CDG）和矩形EFGH拼成大矩形ABCD．连结CH，设∠CHG＝α，∠CDG＝β．若BC＝2AB，tanβ＝tan2α，则矩形EFGH与矩形ABCD的面积比为（　　）A． B． C． D．二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）线段和的比例中项是 　 　．12．（4分）如表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果．根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为　 　．13．（4分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BOC＝120°，则∠A＝　 　．14．（4分）飞机着陆后滑行的距离s（米）与滑行时间t（秒）的关系满足．当滑行时间为10秒时，滑行距离为450米，则飞机从着陆到停止，滑行的时间是 　 　秒．15．（4分）如图，已知线段AB＝13．①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，Q；②画直线PQ交AB于点O，以O为圆心，OA为半径画圆；③在⊙O上取一点C，连接BC交PQ于点D，连接AC，AD．当时，△ACD的周长是 　 　．16．（4分）如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，将△ABD沿BD翻折得到△EBD，BE与AC交于点F，设AF＝x，EF＝y．（1）当BE⊥AC，x＝9，y＝3时，AD的长是 　 　；（2）当BD＝BF，2x＝7y时，△DEF与△ABD的面积之比是 　 　．三、解答题（第17°19题各6分，第20，21题各8分，第22，23题各10分，第24题12分，共66分）17．（6分）计算：2sin60°+cos230°﹣tan60°+tan45°．18．（6分）为响应国家“双减”政策，大力推行课后服务，丰富学生课后生活，某校开设A班剪纸、B班戏曲、C班武术、D班围棋四门特色课程，甲、乙两位同学各需选择一门课程学习．（1）求甲同学选择A班剪纸课的概率．（2）利用树状图或列表法，求甲、乙两人选择同一门课程的概率．19．（6分）如图是8×6的正方形网格，已知格点△ABC（顶点在小正方形顶点处的三角形称为格点三角形），请按下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论）．（1）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△AB1C1，请在图1中作出△AB1C1（点B1与点B是对应点）．（2）在图2中，仅用无刻度直尺在线段AB找一点P，使．20．（8分）如图①为我们常见的马扎，马扎上层是可以折叠但不能伸缩的帆布，图②是马扎撑开后的侧面示意图，其中腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点，AB＝60cm，AD＝41cm，当有人坐在马扎上时，马扎侧面示意图变成图③（假设AE与DE都是线段），且AE＝DE，点E离地面BC的距离即马扎实际支撑的高度．若某人坐在马扎上时测得∠AOD＝83.6°，他要求实际支撑高度为40cm，请问这款马扎能否符合他的要求？（参考数据：sin41.8°≈，cos41.8°≈）21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠D＝∠CAE．（1）求证：△ABD∽△ECA；（2）若AC＝6，CE＝4，求BD的长度．22．（10分）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离AB＝L称跨度，桥面最高点到AB的距离CD＝h称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度L＝20米，拱高h＝5米．（1）如图1，若设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求此函数表达式；（2）如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；（3）现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由.23．（10分）已知，二次函数y＝x2+4mx+2m﹣3（m为常数）．（1）若m＝1，判断点P（﹣1，﹣4）是否在此函数的图象上；（2）若此函数图象经过点（m2，2m﹣3），求m的值；（3）若此函数图象经过点M（a，c），N（2m﹣4+a，c），求证：．24．（12分）如图1，以Rt△ABC的直角边AB为直径画⊙O，过A作斜边AC的垂线交⊙O于点D，连结CD，交⊙O于点E，交AB于点F，连结BE．（1）求证：∠ACD＝∠EBC．（2）如图2，当△ABC是等腰直角三角形时．①求∠BCD的正切值；②求的值．（3）若AB＝1，设CD＝x，＝y，求y关于x的函数表达式．2024-2025学年浙江省宁波市鄞州区十二校联考九年级（上）期中数学试卷详细答案一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．【解答】解：∵，∴b＝3a，∴＝＝．故选：A．2．【解答】解：∵袋子中共有3个小球，其中红球有1个，∴摸出一个球是红球的概率是，故选：A．3．【解答】解：∵⊙O的半径为5，若PO＝4，∴4＜5，∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，故选：A．4．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴，即，∴BF＝6．故选：B．5．【解答】解：将抛物线y＝﹣（x﹣3）2+5向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度平移后的抛物线的函数表达式为：y＝﹣（x﹣3﹣2）2+5﹣6，即y＝﹣（x﹣5）2﹣1．故选：A．6．【解答】解：因为点O为圆心，且OC⊥AB，所以点D为AB的中点，所以AD＝．令⊙O的半径为r，在Rt△ADO中，AD2+DO2＝AO2，即，解得r＝6．则sin∠AOD＝，所以∠AOD＝60°，则∠AOB＝2∠AOD＝120°．所以的长为：．故选：B．7．【解答】解：当x＝﹣1时，y1＝﹣x2+6x+c＝﹣1﹣6+c＝﹣7+c；当x＝2时，y2＝﹣x2+6x+c＝﹣4+12+c＝8+c；当x＝5时，y3＝﹣x2+6x+c＝﹣25+30+c＝5+c，所以y2＞y3＞y1．故选：B．8．【解答】解：∵水平距离为5m，坡比为i＝1：2.5，∴铅直高度为5÷2.5＝2（m）．根据勾股定理可得：坡面相邻两株树间的坡面距离为＝（m）．故选：C．9．【解答】解：由抛物线经过点（0，0.39）得到c＝0.39，因为抛物线经过点（0，0.39）、（6，0.39），所以抛物线的对称轴为直线x＝3，而抛物线经过点（，﹣2），所以抛物线经过点（6﹣，﹣2），所以二次函数解析式为y＝ax2+bx+0.39，方程ax2+bx+2.39＝0变形为ax2+bx+0.39＝﹣2，所以方程ax2+bx+0.39＝﹣2的根理解为函数值为﹣2所对应的自变量的值，所以方程ax2+bx+2.32＝0的根为x1＝，x2＝6﹣．故选：B．10．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，BC＝2AB，∴AB＝CD，AD＝BC，∴AD＝2CD，设CG＝x，HG＝y，∵△AHD≌△CFB，△ABE≌△CDG，且这四个三角形均为直角三角形，∴∠AHD＝∠DGC＝90°，∴∠DAH+∠ADH＝∠ADH+∠CDG＝90°，∴∠CDG＝∠DAH，∴△ADH∽△DCG，∴＝2，∴DH＝2x，∴DG＝2x+y，AH＝4x+2y，EH＝3x+2y，∵∠CHG＝α，∠CDG＝β，tanβ＝tan2α，∴，即2x2+xy＝y2，∴y2﹣xy﹣2x2＝0，∴（y﹣2x）（y+x）＝0，∵y+x≠0，∴y＝2x，∴DG＝4x，DC＝x，EH＝3x+2y＝7x，∴AD＝2x，∴＝＝，故选：B．二、填空题（每小题4分，共24分）11．【解答】解：设比例中项是x，∴x2＝×＝1，∴x＝1或﹣1（舍去）．故答案为：1．12．【解答】解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右，∴该植物的种子发芽的概率为0.9，故答案为：0.9．13．【解答】解：∵∠BOC＝120°，∴∠1＝360°﹣120°＝240°，∵，∴∠A＝120°，故答案为：120°．14．【解答】解：由题意，∵，又t＝10s，s＝450m，∴450＝﹣×102+10b．∴b＝60．∴函数关系式为s＝﹣t2+60t．又s＝﹣t2+60t＝﹣（t2﹣40t+400）+600＝﹣（t﹣20）2+600，∴当t＝20时，飞机着陆后滑行600米停下．故答案为：20．15．【解答】解：∵AB是直径；∴∠C＝90°；∵；∴设AC＝5x；则BC＝12x；在Rt△ABC中，AB＝13，由勾股定理得；AC2+BC2＝AB2；即（5x）2+（12x）2＝132；解得：x＝1；∴AC＝5，BC＝12；由题意得PQ是线段AB的线段垂直平分线；∴AD＝BD；∴△ACD的周长＝AC+AD+DC＝AC+BD+DC＝AC+BC＝5+12＝17；故答案为：17．16．【解答】解：（1）当BE⊥AC，x＝9，y＝3时，得∠EFD＝90°，AF＝9，EF＝3，设AD＝a，则DF＝9﹣a，由题意可得DE＝AD＝a，∴在Rt△EFD中，由勾股定理可得，DF2+EF2＝DE2，即（9﹣a）2+32＝a2，解得：a＝5，故AD＝5；（2）当BD＝BF，2x＝7y时；∵BD＝BF；∴∠BDF＝∠BFD，又∵∠ADB＝180°﹣∠BDF，∠EFD＝180°﹣∠BFD，∴∠ADB＝∠EFD，由题意可得∠A＝∠E，∴△EDF∽△ABD，∴，∵2x＝7y，∴，∴，∴设EF＝2n，DF＝mn，AF＝7n，则AD＝ED＝（7﹣m）n，∴，∴，∴，整理得：2m2﹣21m+45＝0，解得：（不符合题意，舍去），m2＝3，∴ED＝4n，AB＝8n，∴，故△DEF与△ABD的面积之比是：．三、解答题（第17°19题各6分，第20，21题各8分，第22，23题各10分，第24题12分，共66分）17．【解答】解：2sin60°+cos230°﹣tan60°+tan45°＝2×+（）2﹣+1＝+﹣+1＝．18．【解答】解：（1）由题意得，甲同学选择A班剪纸课的概率为．（2）画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人选择同一门课程的结果有4种，∴甲、乙两人选择同一门课程的概率为＝．19．【解答】解：（1）如图1中，△AB1C1即为所求；（2）图2中，点P即为所求．20．【解答】解：连接AD，过O作BC的垂线交BC于H，交AD于F，根据题意可得AB＝CD＝60cm，∠AOD＝83.6°．OD＝OC＝OA＝OB＝30cm，∴AE＝ED＝cm，∴FH是AD的垂直平分线，∵AE＝DE．∴点E在FH上，∴∠AOF＝∠DOF＝41.8°，∴∠AOD＝∠BOC，∴△AOD≌△BOC， OF＝OH＝cos41.8×AO≈30×＝cm，∴AF＝sin41.8°•40≈30×＝20cm，∴AE＝ED＝cm∴EF＝＝cm，EH＝20F﹣EF＝40.5cm≠40cm，故这款马扎不能符合他的要求．21．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠D＝∠CAE．∴△ABD∽△ECA；（2）解：∵AB＝AC，AC＝6，∴AB＝AC＝6，∵△ABD∽△ECA，∴，∴，∴BD＝9．22．【解答】解：（1）∵AB＝20，∴A（﹣10，0），B（10，0），∵h＝5，∴C（0，5），设抛物线的解析式为y＝a（x+10）（x﹣10），∴﹣100a＝5，解得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5；（2）设圆心为O，连接OC交AB于E点，连接AO，∵AB＝20，∴AE＝10，∵h＝5，∴CE＝5，在Rt△AEO中，AO2＝AE2+OE2，∴AO2＝100+（OA﹣5）2，解得AO＝12.5，∴该圆弧所在圆的半径12.5米；（3）抛物线型方案货船不能顺利通过该桥；圆弧型方案货船能顺利通过该桥；理由如下：①在抛物线型上时，当x＝7.5时，y≈2.19，∵2.19米＜2.2米，∴货船不能顺利通过该桥；②在圆弧型时，设EG＝7.5米，过点G作FH⊥AB交弧BC于点F，过点O作OH⊥FH交于H点，连接OF，∴OH＝EG＝7.5米，在Rt△OHF中，OF2＝OH2+FH2，∴12.52＝7.52+FH2，∴FH＝10米，∵GH＝OE＝12.5﹣5＝7.5（米），∴FG＝2.5米，∵2.5米＞2.2米，∴货船能顺利通过该桥．23．【解答】（1）解：若m＝1，则二次函数为y＝x2+4x﹣1，当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2+4×（﹣1）﹣1＝﹣4，∴点P（﹣1，﹣4）在此函数的图象上；（2）解：∵此函数图象经过点（m2，2m﹣3），∴2m﹣3＝m4+4m3+2m﹣3，∴m4+4m3＝0，解得m＝0或m＝﹣4．（3）证明：∵此函数图象经过点M（a，c），N（2m﹣4+a，c），∴＝﹣，即a+m﹣2＝﹣2m，∴a＝2﹣3m，∴N（﹣2﹣m，c），∴c＝（﹣2﹣m）2+4m（﹣2﹣m）+2m﹣3＝﹣3m2﹣2m+1＝﹣3（m+）2+，∴c≤．24．【解答】（1）证明：∵＝，∴∠D＝∠ABE，∵∠ABC＝90°，AD⊥AC，∴∠D+∠ACD＝∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC；（2）解：①过点D作DG⊥BC交延长线于点G，连接OD，设圆的半径为r，∵△ABC是等腰直角三角形，∠DAC＝90°，∴△AOD是等腰直角三角形，∴四边形BODG是正方形，∴DG＝BG＝r，BC＝2r，∴tan∠BCD＝；②设圆的半径为r，则AD＝r，AC＝2r，过E点作EH⊥BC交于H点，∴tan∠EBC＝tan∠ACD＝，∴BH＝2EH，BE＝EH，∵tan∠BCD＝，∴HC＝3EH，CE＝EH，∴＝；（3）连接AE，∵AB是圆的直径，∴∠AEB＝90°＝∠DAC，∵∠ADC＝∠ABE，∴△ABE∽△CDA，∴＝x，∵∠FAE＝∠FCA，∠AFE＝∠CFA，∴△FAE∽△FCA，∴＝＝＝x，∴＝＝x2，∴y＝＝x2﹣1．x…06…y…0.39﹣20.39…种子个数100400900150025004000发芽种子个数92352818133622513601发芽种子频率0.920.880.910.890.900.90