2024-2025学年浙江省温州市永嘉县五校联考九年级（上）期中数学试卷 含详解

这是一份2024-2025学年浙江省温州市永嘉县五校联考九年级（上）期中数学试卷 含详解，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）如图为各个城市的轨道交通标志，将其按顺时针方向旋转180°后得到的图形不变的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）二次函数y＝3x2﹣5x+1的一次项系数是（ ）
A．﹣5B．1C．3D．5
3．（3分）下列二次函数图象经过原点的是（ ）
A．y＝x2+1B．y＝x2﹣3x
C．y＝（x+1）2D．y＝﹣x2﹣3x+1
4．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，已知∠B＝30°，则∠AOC的度数是（ ）
A．30°B．50°C．40°D．60°
5．（3分）小明从盒子里摸球，每次摸出一个后再放回盒中，他连续摸5次，每次摸到的都是红球，下面说法正确的是（ ）
A．盒子里一定都是红球
B．他第6次摸到的一定还是红球
C．他第6次摸到的可能还是红球
D．盒子里一定还有其他颜色的球
6．（3分）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2﹣1向左平移2个单位，所得函数的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2+1B．y＝（x+2）2﹣1
C．y＝x2﹣3D．y＝（x+2）2﹣3
7．（3分）校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在这个三角形花坛的（ ）
A．外心B．垂心C．重心D．内心
8．（3分）如图，以量角器的直径AC为斜边作Rt△ABC，过点B作BD⊥AC交半圆弧于点D，点D对应的读数为104°，则∠BAC的度数为（ ）
A．38°B．76°C．52°D．40°
9．（3分）已知A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝2（x﹣1）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y1
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．则以下说法错误的是（ ）
A．abc＜0
B．当﹣1≤a＜0时，关于x的方程ax2+bx+c＝8必无实数根
C．a+c＝b
D．直线y＝﹣ax+5a与该函数必有两个交点
二、填空题（本题有6题，每小题3分，共18分）
11．（3分）二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的顶点坐标是 ．
12．（3分），0，π这三个数中随机选择一个数，则这个数为无理数的概率为 ．
13．（3分）如图，三角形OAB绕点O逆时针旋转75°到三角形OCD的位置，已知∠AOB＝45°，则∠AOD＝ ．
14．（3分）同一平面内，⊙O内一点P到圆上的最大距离为6cm，最小距离为2cm，则⊙O的半径为 cm．
15．（3分）如图所示，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的对称轴为直线x＝1，且OD＝OB＝3OA，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为 ．
16．（3分）如图以AB为直径的半圆上，，点C是半圆弧上的任意点，F为弧AC上的中点，连结BF交AC于点E，作OD⊥BF于点D，连结AD，若AD为∠ODF的角平分线，则BF＝ ；AC＝ ．
三、解答题（本题有8小题，17-21题每小题8分，22-23题10分，24题12分，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（8分）已知函数y＝ax2﹣2x+1（a≠0）．
（1）若点（﹣1，2）在此函数图象上，求该二次函数表达式及函数图象的开口方向；
（2）在（1）的条件下，判断点（1，2）是否在此函数图象上．
18．（8分）近期教育局将要举办“文学名著阅读分享大赛”，某校要从男生小明、小强和女生小慧、小红中共选取2人参加全区比赛，规定其中女生选n名．
（1）当n＝ 时，“男生小明参加”是必然事件．
（2）当n＝1时，小明和小慧同时参加比赛的概率是多少？（要求列出树状图或者表格）
19．（8分）如图，AB是⊙O的弦，点D是AB的中点，连接OD并反向延长交⊙O于点C．若AB＝CD＝16，求⊙O的半径．
20．（8分）2024巴黎奥运会，郑钦文获得了网球女单的冠军，创造了历史时刻，也在国内掀起一股网球热．某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明的爸爸买到一张门票，但小明和妹妹都想去，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的2x个红球与3x个白球的袋子，让爸爸摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，小明去听讲座．
（1）爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因；
（2）若爸爸发现将袋子里的2个白球换成红球，然后用小明提出的办法来确定谁去听讲座就是公平的，问袋子中原来有红球和白球各有几个？
21．（8分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0），若将该函数向先左平移1个单位，再向上平移9个单位，顶点恰好落在原点上．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）若有一直线l与抛物线交于点A（﹣3，m），B（R，16），且n＞0．若点P在抛物线上且在直线l下方，且点P不与点A，B重合，分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围．
22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，△ADC内接于⊙O，∠ADC＝30°，CD交AB于点E．
（1）求∠BAC的度数；
（2）若E为OB的中点，CE＝7，求直径AB的长．
23．（10分）某企业生产甲、乙两种产品，根据市场调查与预测，甲产品的利润y1与投资金额成正比；乙产品的利润y2与投资金额成二次函数关系，其关系如图，其中点A、B、C的坐标分别为（4，﹣2），（10，﹣1.25），（8，2）．
（1）分别求出甲，乙两种产品的利润与投资之间的关系式．
（2）若该企业将资金全力投入乙产品的生产，至少要投入多少资金才能使企业获利．
（3）该企业准备筹集a万元投入甲，乙两种产品的生产，且该企业计划两种产品最小利润不低于资金额的20%，那么该企业至少要筹集到多少资金？
24．（12分）已知，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，点D，E分别为弧AC，弧BC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，点D，G关于直径AB对称，连结DG．
（1）求弧DE的度数．
（2）若EG为⊙O的直径，请猜想DE与OF的数量关系，并给出证明．
（3）设EG＝x，△OEF的面积为S，若⊙O的半径为1，求S关于x的函数解析式．
2024-2025学年浙江省温州市永嘉县五校联考九年级（上）期中数学试卷
参考答案
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．【解答】解：A、本选项中轨道交通标志，将其按顺时针方向旋转180°后得到的图形发生变化，不符合题意；
B、本选项中轨道交通标志，将其按顺时针方向旋转180°后得到的图形发生变化，不符合题意；
C、本选项中轨道交通标志，将其按顺时针方向旋转180°后得到的图形不变，符合题意；
D、本选项中轨道交通标志，将其按顺时针方向旋转180°后得到的图形发生变化，不符合题意；
故选：C．
2．【解答】解：二次函数y＝3x2﹣5x+1的一次项系数是﹣5，
故选：A．
3．【解答】解：A、将x＝0代入y＝x2+1可得y＝1，故不经过原点，不符合题意；
B、将x＝0代入y＝x2﹣3x可得y＝0，故经过原点，符合题意；
C、将x＝0代入y＝（x+1）2可得y＝1，故不经过原点，不符合题意；
D、将x＝0代入y＝﹣x2﹣3x+1可得y＝1，故不经过原点，不符合题意；
故选：B．
4．【解答】解：∵∠B与∠AOC是同弧所对的圆周角与圆心角，∠B＝30°，
∴∠AOC＝2∠B＝2×30°＝60°．
故选：D．
5．【解答】解：A、盒子里一定都是红球，故不符合题意；
B、他第6次摸到的不一定还是红球，故不符合题意；
C、他第6次摸到的可能还是红球，故符合题意；
D、盒子里可能还有其他颜色的球，故不符合题意；
故选：C．
6．【解答】解：将二次函数y＝x2﹣1向左平移2个单位，所得函数的解析式为y＝（x+2）2﹣1．
故选：B．
7．【解答】解：∵喷泉到花坛三个顶点的距离相等，
∴喷泉为三角形的花坛三边的垂直平分线的交点，即外心，
故选：A．
8．【解答】解：设半圆弧的圆点为O，BD⊥AC于点E，连接BO，如图所示，
∵点D对应的读数为104°，
∴∠AOD＝104°．
∵以量角器的直径AC为斜边作Rt△ABC，
∴点B在⊙O上，
∴∠ABD＝∠AOD＝×104°＝52°．
∵BD⊥AC于点E，
∴∠AEB＝90°．
在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠ABE＝52°，
∴∠BAC＝180°﹣90°﹣∠ABD＝180°﹣90°﹣52°＝38°．
故选：A．
9．【解答】解：当x＝﹣1时，y1＝2×（﹣1﹣1）2+k＝8+k；
当x＝1时，y2＝2×（1﹣1）2+k＝k；
当x＝4时，y3＝2×（4﹣1）2+k＝18+k．
∵k＜8+k＜18+k，
∴y2＜y1＜y3．
故选：B．
10．【解答】解：由图象可知，抛物线开口向下，故a＜0，
对称轴在y轴右侧，故b＞0，与y轴交于正半轴，故c＞0，
故abc＜0，A选项不合题意；
该函数图象经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，故该函数图象必过点（5，0），
故该抛物线表达式为y＝a（x+1）（x﹣5），当x＝2时，ymax＝﹣9a，
当﹣1≤a＜0时，
∴0＜﹣9a≤9，
则关于x的方程ax2+bx+c＝8有可能有实根，故B选项符合题意；
该函数图象经过点（﹣1，0），故y＝a﹣b+c＝0，即a+c＝b，
故C选项不合题意；
∵直线y＝﹣ax+5a恒过点（5，0），又a＜0，
∴﹣a＞0，故直线y＝﹣ax+5a从左至右是上升的，
因此，直线y＝﹣ax+5a与抛物线必有两个交点，
D选项不合题意．
故选：B．
二、填空题（本题有6题，每小题3分，共18分）
11．【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2﹣3的顶点坐标是（1，﹣3）．
故答案为：（1，﹣3）．
12．【解答】解：∵，0，π这三个数中，，π是无理数，
∴这三个数中随机选择一个数，这个数为无理数的概率是，
故答案为：．
13．【解答】解：∵三角形OAB绕点O逆时针旋转75°到三角形OCD的位置，∠AOB＝45°，
∴∠AOC＝75°，∠COD＝∠AOB＝45°，
∴∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝75°﹣45°＝30°，
故答案为：30°．
14．【解答】解：设⊙O的半径为r cm，
∵⊙O内一点P到圆上的最大距离为6cm，最小距离为2cm，
∴r＝＝4（cm），
故答案为：4．
15．【解答】解：设OA＝t，则OB＝OD＝3t，
∴A（﹣t，0），B（3t，0），D（0，﹣3t），
∴抛物线的对称轴为直线x＝t，
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴t＝1，
∴OA＝1，OB＝OD＝3，
连接AC、BC，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴OC⊥AB，
∴OC2＝OA•OB＝1×3，
∴OC＝，
∴CD＝OC+OD＝+3．
故答案为：+3．
16．【解答】解：连接AF，OF，设OF于AC交于点P，过点F作FH⊥AB于P，如图所示：
∵AB是半圆的直径，点F是弧AC上的中点，
∴∠AFB＝90°，
∵OD⊥BF，
∴OD∥AF，∠ODB＝∠ODF＝90°，
又∵OA＝OB，
∴OD是△BAF的中位线，
∴BD＝DF，
∵AD为∠ODF的角平分线，
∴∠1＝∠ODF＝45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴AF＝DF，
∴BD＝DF＝AF，
即BD＝2AF，
在Rt△ABF中，AB＝，
由勾股定理得：AB＝＝AF＝，
∴AF＝2，
∴BF＝2AF＝4；
∵S△ABF＝FH•AB＝AF•BF，
∴FH＝＝＝，
∵点F是弧AC上的中点，
根据垂径定理得：OF⊥AC，AP＝PC，
∴AC＝2AP，
∵S△OAF＝AP•OF＝OA•FH，OF＝OA，
∴AP＝FH＝，
∴AC＝2AP＝．
故答案为：4；．
三、解答题（本题有8小题，17-21题每小题8分，22-23题10分，24题12分，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．【解答】解：（1）由题意，∵点（﹣1，2）在函数y＝ax2﹣2x+1图象上，
∴a+2+1＝2．
∴a＝﹣1．
∴函数为y＝﹣x2﹣2x+1．
∴函数图象的开口向下．
（2）由题意，∵抛物线为y＝﹣x2﹣2x+1，
∴当x＝1时，y＝0．
∴点（1，2）不在此函数图象上．
18．【解答】解：（1）当n＝0时，“男生小明参加”是必然事件，
故答案为：0；
（2）列表如下：
得到含有1名女生的所有等可能的情况有8种，其中小明和小慧同时参加比赛的有2种结果，
所以小明和小慧同时参加比赛的概率为＝．
19．【解答】解：连接OA，如图所示：
∵点D是AB的中点，AB＝16，
∴OD⊥AB，AD＝AB＝8，
设⊙O的半径为r，则OA＝OC＝r，
∵CD＝16，
∴OD＝16﹣r，
在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA2＝OD2+AD2，
即r2＝（16﹣r）2+82，
解得：r＝10，
即⊙O的半径为10．
20．【解答】解：（1）∵红球有2x个，白球有3x个，
∴P（红球）＝＝，P（白球）＝＝，
∴P（红球）＜P（白球），
∴这个办法不公平；
（2）∵2个白球换成红球后，红球有（2x+2）个，白球有（3x﹣2）个，
∴P（红球）＝，P（白球）＝，x为正整数，
∵用小明提出的办法来确定谁去听讲座就是公平的，
∴2x+2＝3x﹣2，
解得x＝4，
∴袋子中原来有红球8个，白球12个．
21．【解答】解：（1）y＝ax2﹣2ax﹣8＝a（x﹣1）2﹣a﹣8，
∴将该函数向先左平移1个单位，再向上平移9个单位得到y＝ax2﹣a+1，
∵顶点恰好落在原点上，
∴﹣a+1＝0，
∴a＝1，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣8，
∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，
∴顶点坐标为（1，﹣9）；
（2）把x＝﹣3代入y＝x2﹣2x﹣8得y＝7，
∴m＝7，
把y＝16代入函数解析式得16＝n2﹣2n﹣8，
解得n＝6或n＝﹣4，
∵n＞0，
∴n＝6，
∴点A坐标为（﹣3，7），点B坐标为（6，16），
∵抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣9），
∴抛物线顶点在AB下方，
∴﹣3＜xP＜6，﹣9≤yP＜16．
22．【解答】解：（1）连接OC，过点C作CF⊥AB于F，如图所示：
∵∠ADC＝30°，
∴∠AOD＝2∠ADC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°；
（2）设OF＝a，
∵△OAC是等边三角形，CF⊥AB，
∴AF＝OF＝a，
∴AC＝OA＝OC＝OB＝2a，
在Rt△OCF中，由勾股定理得：CF＝＝，
∵E为OB的中点，
∴OE＝BE＝a，
∴EF＝OE+OF＝2a，
在Rt△CEF中，CE＝7，
由勾股定理得：CF2+EF2＝CE2，
∴（，
解得：，或（不符合题意，舍去）
∴OA＝OB＝2a＝，
∴AB＝2OA＝．
23．【解答】解：（1）由题意，设甲产品的利润为：y1＝kx（k≠0），
∵C（8，2）在函数图象上，
∴2＝8k，
∴k＝，
∴甲产品的利润与投资之间的关系式为y1＝x；
设乙产品的利润y2与投资金额x的函数关系为：y2＝ax2+bx（a≠0），
∵二次函数的图象过A（4，﹣2），B（10，﹣1.25），
∴，
解得：，
∴y2＝0.0625x2﹣0.75x；
（2）当y2＝0时，
0.0625x2﹣0.75x＝0，
解得：x1＝0，x2＝12．
∴该企业将资金全力投入乙产品的生产，至少要投入超过12万元资金才能使企业获利；
（3）设该企业准备筹集x万元投入乙两种产品的生产，则投入甲种产品的资金为（a﹣x）万元，
设总利润为y万元，
则y＝y1+y2＝0.0625x2﹣0.75x+（a﹣x）＝0.0625x2﹣x+0.25a，
函数y的对称轴为直线x＝8，
当x＝8时，ymin＝0.0625x2﹣x+0.25a＝0.25a﹣4，
则0.25a﹣4≥20%a，
解得：a≥80，
即该企业至少要筹集到80万元资金．
24．【解答】解：（1）如图，连接OC、OD，
∵点D，E分别为弧AC，弧BC的中点，
∴∠DOC＝∠AOC，∠COE＝∠BOC，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠DOC+∠COE＝（∠AOC+∠BOC）＝90°，
∴∠DOE＝90°，
∴弧DE的度数为90°；
（2）DE＝2OF，理由如下，
∵EG是直径，
∴∠GDE＝90°，
设GD与AB交于点H，
∵D、G关于AB对称，
∴DH⊥AB，即∠DHB＝90°，GH＝DH，
∵EF⊥AB，
∴∠EFA＝90°，
∴四边形DHEF是矩形，
∴DE＝FH，DH＝EF，
∴GH＝EF，
∵∠COH＝∠EOF，∠GHO＝EFO，
∴△GOH≌△EOF（AAS），
∴OF＝OH，
∴FH＝2OF，
∴DE＝2OF；
（3）过E作EM⊥GD于点M，
由（1）知∠DOE＝90°，
∴∠DGE＝45°，
∴△EMG是等腰直角三角形，
∴EM＝EG＝x，
∵∠GMH＝∠MHF＝∠EFH＝90°，
∴四边形EMHF是矩形，
∴EM＝FH＝x，
∵∠DOH＝∠OEF＝90°﹣∠EOF，DOD＝OE，
∴△ODH≌△EOF（AAS）
∴OH＝EF，
设OH＝EF＝a，则OF＝FH﹣OH＝x﹣a，
在Rt△OEF中，OF2+EF2＝OE2，
即（x﹣a）2+a2＝1，
整理得2a2﹣xa+x2﹣1＝0，
解得a＝或（舍去），
∴S＝OF•EF
＝（x﹣a）a
＝xa﹣a2
＝x•﹣•（）2
＝﹣
＝x2﹣．
∴S关于x的函数解析式为S＝x2﹣．

小明
小强
小慧
小红
小明
（小强，小明）
（小慧，小明）
（小红，小明）
小强
（小明，小强）
（小慧，小强）
（小红，小强）
小慧
（小明，小慧）
（小强，小慧）
（小红，小慧）
小红
（小明，小红）
（小强，小红）
（小慧，小红）