2024-2025学年重庆市九龙坡区杨家坪中学九年级（上）期中数学试卷 含详解

2024-2025学年重庆市九龙坡区杨家坪中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑。1．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）A． B． C． D．2．（4分）下列方程为一元二次方程的是（　　）A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣2x﹣3y＝0 C．2x2＝0 D．xy+1＝03．（4分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，连接BD，CD．若∠D＝32°，则∠OAB的度数为（　　）A．26° B．32° C．58° D．64°4．（4分）估计的值应该在（　　）A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间5．（4分）如图，下列图形均是由完全相同的小圆点按照一定规律所组成的，第①个图形中一共有5个小圆点，第②个图形中一共有8个小圆点，第③个图形中一共有11个小圆点，⋯，按此规律排列下去，第⑩个图形中小圆点的个数是（　　）A．30 B．31 C．32 D．336．（4分）在同一坐标系中一次函数y＝ax+b（a≠0）和二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象可能为（　　）A． B． C． D．7．（4分）如图，张老汉想用长为75米的棚栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为720平方米的矩形羊圈ABCD，并在边CD上留一个5米宽的门（门用其他材料）．设AB的长为x米，则下面所列方程正确的是（　　）A．x（75﹣x）＝720 B．x（80﹣2x）＝720 C．x（75﹣2x）＝720 D．x（80﹣x）＝7208．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③3a+c＞0；④am2+bm≥a+b（m为任意实数）；⑤若（﹣5，y1），（﹣2，y2），（3，y3）是抛物线上三点，则y1＞y2＞y3；⑥关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；其中正确的个数是（　　）A．6 B．5 C．4 D．39．（4分）如图：正方形ABCD中，点E、F分别是CD、CB边上的点，连接AE，DF交于点N，∠ADF的角平分线DM交AB于M，过点M作MQ∥AE分别交DF于点H，交BC于点Q，连接DQ，若DE＝CF，∠AMG＝a，则用含a的代数式表示∠DQC为（　　）A．135°﹣a B． C．45°+a D．10．（4分）对于两个多项式，，若满足下列两种情形之一：（1）p1≠0，p2＝0；（2）p1＝p2，q1＞q2；则称多项式A为“较大”多项式，多项式B为“较小”多项式．对于两个多项式和，若将A1和A2中“较大”多项式和“较小”多项式的差记作A3，则称这样的操作为一次“优选作差”操作；再对A2和A3进行“优选作差”操作得到A4，……，以此类推，经过n次操作后得到的序列A1，A2，A3，…，An称为“优选作差”序列{An}．现对，A2＝x+1进行n次“优选作差”操作得到“优选作差”序列{An}，则下列说法：①A2024＝x+1；②；③当n＝2024时，“优选作差”序列{An}中满足Ak﹣Ak+1＝Ak+2的正整数k有1350个．其中正确的个数是（　　）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。11．（4分）计算＝　 　．12．（4分）若关于x的方程x2﹣6x+m+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　 　．13．（4分）如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB'的度数为 　 　．14．（4分）如图，已知⊙O的直径AB＝2，点P是弦BC上一点，连接OP，∠OPB＝45°，PC＝1，则弦BC的长为 　 　．15．（4分）如图，在矩形ABCD中，，AD＝2cm，以点D为圆心，AD长为半径画弧，交BC于点E，交DC的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为 　 　cm2．16．（4分）若关于x的不等式组有解且至多有4个整数解，关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数m的和为 　 　．17．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝45°，AB＝6 BC＝12．E为BC边上一点，且满足CE＝AE，作∠CEA的平分线EF交AD于点F，则EF的长度为 　 　．18．（4分）如果一个四位自然数M各数位上的数字互不相等，若千位上的数字与个位上的数字之差等于十位上的数字与百位上的数字之和，则称这样的四位数为“和差数”．若将M的千位上的数字与个位上的数字对调，百位上的数字与十位上的数字对调，组成一个新的四位数记为M′，则F（M）＝．若为“和差数”，且，则m+n＝　 　．若将M的千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，组成一个新的四位数记为M″，并规定G（M）＝．若“和差数”M＝，且满足为整数，则满足条件的M的最大值为 　 　．三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，其余每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。19．（8分）按要求解下列一元二次方程：（1）2x2﹣4x﹣2＝0（配方法）；（2）（x﹣2）2＝5（2﹣x）（因式分解法）．20．（10分）某数学兴趣小组同学定期进行课外扩展讨论，并发现了一些有趣的结论．其中他们发现，任意一个△ABC（三边均不相等），以一边的端点B为顶点在三角形外作角∠CBF，使其等于这条边另一端点C为顶点的三角形的内角∠ACB，射线BF与这条边上的中线AD的延长线相交于一点E，则以A、B、C、E四个点为顶点的四边形是平行四边形．基本思路就是利用三角形全等和平行四边形平行线的判定加以解决．请根据这个思路完成作图和填空．如图，在△ABC中，点D为BC边上的中点，连接AD．（1）尺规作图：在BC下方作射线BF，使得∠CBF＝∠ACB，且射线BF交AD的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）所作的图中，连接CE，求证：四边形ABEC是平行四边形．（请补全下面的证明过程）证明：∵点D为BC边上的中点，∴①　 　，在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌②　 　（ASA），∴AC＝③　 　，∵∠CBF＝∠ACB，∴④　 　．∴四边形ABEC是平行四边形．兴趣小组进一步研究发现，作了上述的相等角之后，当三角形有两边相等时，必然会形成一个特殊的四边形，请根据这个发现完成以下命题：以等腰三角形底边的一个端点为顶点向外作角，使其等于底角，且与底边上中线的延长线相交于一点，则以该点和三角形的三个顶点为顶点的特殊四边形是⑤　 　．21．（10分）百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意x＜70，比较满意70≤x＜80，满意80≤x＜90，非常满意x≥90），下面给出了部分信息：抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89；抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100．抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；（2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）在此次测验中，有240人对A款AI聊天机器人进行评分、300人对B款AI聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有多少人？22．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点F是线段CD的中点．动点P从点A出发，沿射线AB方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点B出发沿折线B→C→F方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点Q到达点F时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，△PBQ的面积为y．（1）请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（面积不为0）；（2）在给定的平面直角坐标系内画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，写出△PBQ的面积为1时x的值（保留一位小数，误差不得超过0.2）．23．（10分）世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于12元．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？24．（10分）某景区有A、B、C、D四个景点，景点C在景点D的正东方向，景点A在景点D的东北方向，景点B在景点C的北偏东30°方向，已知景点A到CD的距离AE＝1600米，景点B到CD的距离BF＝600米．AB＝2600米．（参考数据：≈1.32，≈1.414）（1）求景点C、D的距离（结果保留根号）；（2）小东和小明在景点D游览后，小东准备乘坐观光车，从景点D到景点A到再到景点B，小明则步行从景点D到景点C再到景点B，小明出发5分钟后，小东才搭上观光车出发，已知小明步行的平均速度为每分钟60米，观光车的速度为每分钟300米，观光车和小明中途不停歇，后到的人能在先到的人到达后的3分钟内到达吗？请说明理由．25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+9与x轴交于点、，与y轴交于点C．已知点D为y轴上一点，且．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，作∠DAO的角平分线交y轴于点M，点P为直线AD上方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥AD交直线AM于点F，过点P作PE∥y轴交直线AM于点E，求的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）如图2，将原抛物线沿x轴向左平移个单位得到新抛物线y′，新抛物线y′交x轴于点A′、B′，点N为新抛物线y′的对称轴与x轴的交点，点G为新抛物线y′上一动点，使得∠GND+∠A′DN＝60°，请直接写出所有满足条件的点G的坐标．26．（10分）在等边△ABC中，点E是AC上一点，点D是BC上一点，BE与AD交于点F，且∠AFE＝60°．（1）如图1，若，求AD的长度；（2）如图2，延长BE至点G，使得∠BGC＝60°，连接CG，点H为AC中点，连接GH，FC，求证：FC＝2GH；（3）如图3，，点D为BC中点，将△ABC沿AC折叠得到四边形ABCQ，动点P在线段CQ上运动（包括端点），连接AP、BP，将AP绕点P顺时针旋转60°得到PA′，将BP绕点P逆时针旋转120°得到PB′，连接．A′B′，点M为A′B′的中点，求MF的取值范围．2024-2025学年重庆市九龙坡区杨家坪中学九年级（上）期中数学试卷参考答案一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑。1．【解答】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：A．2．【解答】解：根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的次数是2的等式是一元二次方程，故ax2+bx+c＝0，其中（a≠0），原式不是一元二次方程，选项A错误，不符合题意；x2﹣2x﹣3y＝0含有两个未知数，不是一元二次方程，选项B错误，不符合题意；2x2＝0是一元二次方程，选项C正确，符合题意；xy+1＝0含有两个未知数，不是一元二次方程，选项D错误，不符合题意；故选：C．3．【解答】解：∵∠D＝32°，∴∠BOC＝2∠D＝64°．∵OC⊥AB，∴点C为的中点，∴，∴∠AOC＝∠BOC＝64°，∴∠AOB＝2×64°＝128°．∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝＝26°，故选：A．4．【解答】解：＝，∵，∴，∴，故选：B．5．【解答】解：第①个图形中一共有5＝5+3×0个小圆点， 第②个图形中一共有8＝5+3×1个小圆点， 第③个图形中一共有11＝5+3×2个小圆点， 第④个图形中一共有14＝5+3×3个小圆点，⋯，∴第ⓝ个图形一共有5+3（n﹣1）＝（3n+2）个小圆点，∴当n＝10时，第⑩个图形中小圆点的个数是3×10+2＝32； 故选：C．6．【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故选项不符合题意；B、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，故选项不符合题意；C、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，故选项符合题意；D、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＜0，故选项不符合题意．故选：C．7．【解答】解：设AB的长为x米，则BC的长为BC＝75﹣2x+5＝（80﹣2x）米，∵借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为720平方米的矩形羊圈ABCD，∴x（80﹣2x）＝720，故选：B．8．【解答】解：①由图象可知，a＞0，对称轴为直线x＝1，即b＝﹣2a＜0，当x＝1时，y最小＝a+b+c，当x＝0时，y＝c＜0，∴abc＞0，①正确，故符合要求；②当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，②正确，故符合要求；③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＜0，③错误，故不符合要求；④由am2+bm+c≥a+b+c可知am2+bm≥a+b（m为任意实数），④正确，故符合要求；⑤∵﹣5＜﹣2＜﹣1＜1，∴y1＞y2＞y3，⑤正确，故符合要求；⑥由题意知，关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；⑥正确，故符合要求．故选：B．9．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ADC＝∠BCD＝∠ABC＝90°，AD＝CD，又DE＝CF，∴△ADE＝△DCF（SAS），∴∠DAE＝∠CDF，∵∠DAE+∠ADF＝∠CDF+∠ADF＝∠ADE＝90°，∴∠DNA＝∠DNE＝90°，∵MQ∥AE，∴∠MHN＝∠DNA＝90°，∵DM是∠ADF的角平分线，∴∠ADM＝∠HDM，又∵MD＝MD，∴△ADM≌△HDM（AAS），∴∠HMD＝∠AMG＝α，AD＝DH＝DC，又∵DQ＝DQ，∠DHQ＝∠C＝90°，∴Rt△DHQ≌Rt△DCQ（HL），∴∠DQC＝∠DQH，∵∠BMQ＝180°﹣∠AMG﹣∠HMD＝180°﹣2α，∴∠MQC＝∠BMQ+∠ABC＝180°﹣2α+90°＝270°﹣2α，∴，故选：A．10．【解答】解：∵A1＝x2，A2＝x+1，∴A3＝x2﹣x﹣1，A4＝x2﹣2x﹣2，A5＝x+1，A6＝x2﹣3x﹣3，A7＝x2﹣4x﹣4，A8＝x+1，A9＝x2﹣5x﹣5，A10＝x2﹣6x﹣6，A11＝x+1，A12＝x2﹣7x﹣7，A13＝x2﹣8x﹣8，A14＝x+1∴A2、A5、A8、A11多项式为x+1，即A3m﹣1＝x+1，m＝1，2，3•••当m＝675时，A675×3﹣1＝A2024＝x+1，故①正确；A1+A2+••••••+A11＝4（x+1）+7x2+（﹣1﹣2•••﹣6）x+（﹣1﹣2•••﹣6）＝7x2﹣17x﹣17，故②错误；当k＝1时，A1﹣A2＝x2﹣（x+1）＝x2﹣x﹣1＝A3，当k＝2时，A2﹣A3＝x+1﹣（x2﹣x﹣1）＝﹣x2+2x+2≠A4，当k＝3时，A3﹣A4＝（x2﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣2）＝x+1＝A5，当k＝4时，A4﹣A5＝（x2﹣2x﹣2）﹣（x+1）＝x2﹣3x﹣3＝A6，当k＝5时，A5﹣A6＝（x+1）﹣（x2﹣3x﹣3）＝﹣x2+4x+4≠A7，∴当k＝2，5，8，•••，即：k＝3m﹣1，m＝1，2.3，•••时，Ak﹣Ak+1≠Ak+2，当m＝675时，k＝3×675﹣1＝2024，k+2＝2024+2＝2026，当m＝674时，k＝3×674﹣1＝2021，∴在序列{An}中，只有2022个等式，即k的可能取值为1～2022，因此共有1348个k值使得Ak﹣Ak+1＝Ak+2，③错误在序列{An}中，只有2022个等式，即k的可能取值为1～2022，因此共有1349个k值使得Ak﹣Ak+1＝Ak+2，故③错误，综上所述①正确，个数为1．故选：B．二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。11．【解答】解：原式＝1﹣﹣1＝﹣．故答案为：．12．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣4×1×（m+1）＞0，解得m＜8．故答案为：m＜8．13．【解答】解：∵C′C∥AB，∴∠C'CA＝∠CAB＝65°，∵将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，∴AC＝AC'，∠BAB'＝∠CAC'，∴∠ACC'＝∠AC'C＝65°，∴∠BAB'＝∠CAC'＝180°﹣65°×2＝50°，故答案为：50°．14．【解答】解：过O作OD⊥BC于D，则∠ODP＝∠ODB＝90°，∵∠OPB＝45°，∴∠POD＝∠OPB＝45°，∴PD＝OD，设PD＝OD＝x，∵直径AB＝2，∴OB＝OA＝，∵OD⊥BC，OD过圆心O，∴BD＝CD，∵PC＝1，∴BD＝CD＝x+1，在Rt△ODB中，由勾股定理得：BD2+OD2＝OB2，即（x+1）2+x2＝（）2，解得：x1＝2，x2＝﹣3（不符合题意，舍去），即BD＝CD＝2+1＝3，即BC＝3+3＝6，故答案为：6．15．【解答】解：连接DE，在矩形ABCD中，，AD＝2cm，∴CD＝AB＝cm，DE＝AD＝2cm（扇形的半径），∴cos∠EDC＝，∴∠CDE＝30°，∴CE＝DE＝1cm，∠ADE＝90°﹣30°＝60°，∴阴影FCE的面积S1＝S扇形DEF﹣S△CDE＝﹣＝（﹣）cm2．阴影ADE的面积S2＝S矩形﹣S△CDE﹣S扇形ADE＝2×﹣×﹣＝（﹣π）cm2，则图中阴影部分的面积为＝﹣+﹣π＝（﹣π）cm2．故答案为：（﹣π）．16．【解答】解：解关于x的不等式组得：，∵不等式组有解且至多有4个整数解，∴0＜＜5，解得：﹣1＜m＜7，解关于y的分式方程得：y＝，∵y﹣3≠0，∴≠3，∴m≠6，∵为整数，且m为整数，﹣1＜m＜7，∴m＝0或2或4，∴所有满足条件的整数m的和为0+2+4＝6．故答案为：6．17．【解答】解：连接AC交EF于点O，连接CF，过点A作AH⊥CB交CB的延长线于H，如图所示：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，CD∥AB，∴∠2＝∠3，∵EF平分∠CEA，∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠1，∴AF＝AE，∵CE＝AE，∴AF＝CE，∴四边形AECF为平行四边形，∵CE＝AE，∴平行四边形AECF为菱形，∴EF⊥AC，OE＝OF，OA＝OC，∵CD∥AB，∠DCB＝45°，∴∠ABH＝∠DCB＝45°，在Rt△ABH中，AB＝，∴sin∠ABH＝，cos∠ABH＝，∴AH＝AB•sin∠ABH＝×sin45°＝6，BH＝AB•cos∠ABH＝×cos45°＝6，∴CH＝BC+BH＝12+6＝18，在Rt△ACH中，由勾股定理得：AC＝＝，∴OC＝OA＝AC＝，∴∠COE＝∠H＝90°，∠EOC＝∠ACH，∴△COE∽△CHA，∴OE：AH＝OC：CH，即OE：6＝：18，∴OE＝，∴EF＝2OE＝．故答案为：．18．【解答】解：①∵M＝＝1000m+100+10n+5＝1000m+10n+105，∴M′＝＝5000+100n+10+m＝5010+100n+m，∴F（M）＝＝＝＝111m﹣10n﹣545，∵F（mln5）＝323，∴11lm﹣10n﹣545＝323，∴11lm﹣10n＝868，∵为“和差数”，∴m﹣5＝1+n，∴m＝6+n，把m＝6+n代入11lm﹣10n＝868，解得：n＝2，∴m＝8，∴m+n＝10；②∵M＝＝1000a+100b+10c+d，M′＝＝1000d+100c+10b+a，M″＝＝1000c+100d+10a+b，∴F（M）＝＝＝111a+10b﹣10c+111d，G（M）＝＝＝10a+b+10c+d，∴＝＝＝12a+b﹣11d+为整数，∴为整数，∴a+b＝10，∵M要尽量大，∴a＝9，b＝1，又∵M是“和差数”，∴a﹣d＝b+c，∴c+d＝8，∵M各数位不相同且均不为0，∴c＝6，d＝2，∴Mmax＝9162．故答室为：10，9162．三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，其余每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。19．【解答】解：（1）解移项，得x2﹣2x﹣1＝0，∴x2﹣2x＝1，∴x2﹣2x+1＝2，∴（x﹣1）2＝2，∴，解得；（2解移项，得∴（x﹣2）2+5（x﹣2）＝0，∴（x﹣2）（x﹣2+5）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣2+5＝0，解得x1＝﹣3，x2＝2．20．【解答】（1）解：射线BF为所求，如图，（2）证明：∵点D是BC的中点，∴DB＝DC，在△ADC和△EDB中，，∴ADC≌△EDB（ASA），∴BE＝AC，∵∠ACB＝∠CBF，∴AC∥BE∴四边形ABEC为平行四边形；以等腰三角形底边的一个端点为顶点向外作角，使其等于底角，且与底边上中线的延长线相交于一点，以则该点和三角形的三个顶点为顶点的特殊四边形是菱形．理由：∵AB＝AC，四边形ABEC为平行四边形，∴四边形ABEC是菱形．故答案为：DC＝DB，△EDB，BE，AC∥BE，菱形．21．【解答】解：（1）由题意得：a%＝1﹣10%﹣45%﹣×100%＝15%，即a＝15，∵A款的评分非常满意有20×45%＝9（个），“满意”的数据为84、86、86、87、88、89，∴把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89，∴中位数b＝＝88.5，在B款的评分数据中，98出现的次数最多，∴众数c＝98；故答案为：15，88.5，98；（2）A款AI聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：因为两款的评分数据的平均数相同都是88，但A款评分数据的中位数为88比B款的中位数87高，所以A款AI聊天机器人更受用户喜爱（答案不唯一）；（3）＝69（人），答：估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的大约共有69人．22．【解答】解：（1）P从A到B所需时间为4÷2＝2（秒），Q从B到C所需时间为2÷1＝2（秒），Q从C到F所需时间为2÷1＝2（秒）；当0＜x＜2时，y＝x（4﹣2x）＝﹣x2+2x；当2＜x≤4时，y＝×2（2x﹣4）＝2x﹣4；∴y＝；（2）y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，抛物线对称轴为直线x＝1，顶点为（1，1）；y＝2x﹣4过（2，0）和（4，4），如图：当P在AB上时，△PBQ的面积最大为1；当2＜x≤4时，△PBQ的面积随x的增大而增大（答案不唯一）；（3）由图象可得，x＝1或x＝2.5时，△PBQ的面积为1．23．【解答】解：（1）由题意得，y＝300﹣10（x﹣44），即：y＝﹣10x+740．∵销售单价不低于44元，且获利不高于12，∴最高价为52元，即x≤52，故：44≤x≤52．∴y＝﹣10x+740（44≤x≤52）；（2）由题意可得：（x﹣40）（﹣10x+740）＝2400，∴x1＝50，x2＝64．又结合（1）44≤x≤52，∴x＝50．答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；（3）由题意，商店每天销售纪念册获得的利润为w＝（x﹣40）（﹣10x+740）＝﹣10x2+1140x﹣29600＝﹣10（x﹣57）2+2890，又∵a＝﹣10＜0，图象开口向下，∴当x＜57时，w随x的增大而增大．又∵44≤x≤52，∴当x＝52时，w有最大值，最大值为﹣10（52﹣57）2+2890＝2640．∴将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w最大，最大利润是2640元．24．【解答】解：（1）过点B作BG⊥AE于点G，∴四边形BFEG是矩形，∴BF＝GE＝600（米），BG＝EF，由题意可知：∠ADE＝45°，∠BCF＝60°，AE＝1600（米），AB＝2600（米），∴AG＝AE﹣GE＝1000（米），AE＝ED＝1600（米），在Rt△ABG中，由勾股定理可知：BG＝＝2400（米），∴EF＝BG＝2400（米），在Rt△BCF中，tan60°＝，∴CF＝200（米），∴CD＝EF﹣ED﹣CF＝（800﹣200）（米）．答：景点C、D的距离是（800﹣200）（米）．（2）在Rt△BCF中，∠BCF＝60°，∴BC＝2CF＝400（米），在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，∴AD＝1600（米），小明所用时间为：＝（分），小东所用时间为：＝（分），两人时间差为：﹣﹣5≈3.47＞3，答：故后到的人不能在先到的人到达后的3分钟内到达．25．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx+9得：，解得，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+9；（2）∵，A（﹣2，0），∴OD＝6，∴AD＝＝4，∴OA＝AD，∴∠ADO＝30°，∠DAO＝60°，∵AM平分∠DAO，∴∠DAM＝∠MAO＝30°，∵PE∥y轴，∴∠AMO＝∠DMF＝∠PEF＝60°，∵PF⊥AD，∴∠PFA＝60°，∴△PEF是等边三角形，∴PE＝PF，∴PE+PF＝PE，∵∠MAO＝30°，OA＝2，∴OM＝＝2，∴M（0，2），由A（﹣2，0），M（0，2）得直线AM函数表达式为y＝x+2，设P（m，﹣m2+m+9），则E（m，m+2），∴PE＝﹣m2+m+9﹣（m+2）＝﹣m2+m+7，∴PE+PF＝PE＝﹣m2+m+＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴当m＝时，PE+PF取最大值，此时﹣m2+m+9＝﹣×+×+9＝，∴的最大值为，此时点P的坐标为（，）；（3）当G在AD上方时，设A'D交GN于K，如图：将抛物线y＝﹣x2+x+9＝﹣（x﹣2）2+12沿x轴向左平移个单位得到新抛物线y′＝﹣（x+2）2+12，∴新抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，∴N（﹣2，0），在y′＝﹣（x+2）2+12中，令y'＝0得0＝﹣（x+2）2+12，解得x＝﹣6或x＝2，∴A'（﹣6，0），∴OA'＝6，∵OD＝6，∴A'D＝＝12，∴OD＝A'D，∴∠DA'O＝30°，∵∠GND+∠A′DN＝60°，∴∠A'KN＝60°，∴∠A'NK＝90°，∴GN⊥A'N，∴G为新抛物线y′＝﹣（x+2）2+12的顶点，∴G的坐标为（﹣2，12）；当G在AD下方时，如图：∵A'（﹣6，0），D（0，6），N（﹣2，0），∴DN＝A'N＝4，∴∠DA'N＝∠A'DN＝30°，∵∠GND+∠A′DN＝60°，∴∠GND＝30°，∴∠GND＝∠A'DN，∴A'D∥NG，由A'（﹣6，0），D（0，6）得直线A'D函数表达式为y＝x+6，设直线NG的函数表达式为y＝x+t，将N（﹣2，0）代入得：0＝﹣2+t，解得t＝2，∴直线NG的函数表达式为y＝x+2；联立，解得或（在第三象限，舍去），∴G（，）；综上所述，G的坐标为（﹣2，12）或（，）．26．【解答】（1）解：如图所示，过点A作AT⊥BC于点T，∵等边△ABC中，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∵∠AFE＝∠BFD＝∠BAF+∠ABF＝60°，又∵∠ABF+∠EBC＝∠ABC＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD，△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（ASA），∴，在Rt△ABT中，，，∴，在Rt△ADT中，；（2）证明：如图所示，延长AF至M，使得FM＝BF，连接BM，∵∠BFM＝∠AFE＝60°，∴△BMF是等边三角形，∴BF＝FM＝BM，设∠BAD＝α，由（1）可得∠GBC＝∠BAM＝α，∴∠ABM＝180°﹣α﹣60°＝120°﹣α，又∵∠BGC＝60°，∴∠BCG＝120°﹣α，∴∠ABM＝∠BCG，在△ABM，△BCG中，，∴△ABM≌△BCG（ASA），∴AM＝BG，又∵BF＝FM，∴AF＝FG，∵∠AFG＝60°∴△AFG是等边三角形，∴AG＝FG，∠AGF＝60°，延长CG至N，使得GN＝CG，∴∠AGN＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠AGN＝∠FGC，在△AGN，△FGC中，，，∴△AGN≌△FGC（SAS），∴AN＝FC，∵AH＝HC，GN＝GC，∴，∴；（3）解：如图所示，连接PM，将PB绕点P逆时针旋转60°得到PB″，连接B′B″则△PB′B″是等边三角形，∵将△ABC沿AC折叠得到四边形ABCQ，∴四边形ABCQ是菱形，依题意，B′，P，B″三点共线，且PB′＝PB″，又PA′＝PA，PB′＝PB，∠A′PB″＝∠APB＝60°∴△A′PB″≌△APB（SAS），∴，∵M为A′B′的中点，∴，PM∥A′B″，∵∠A′B″P＝∠ABP，∴∠A′B″P+∠PBC＝∠ABP+∠PBC＝60°，∴∠A′B″B+∠B″BC＝∠A′B″P+∠PBC+∠PB″B+∠PBB″＝60°+60°+60°＝180°，∴A′B″∥BC，∵AQ∥BC，∴A′B″∥AQ，∴PM∥BC，∴M的轨迹为平行于BC的一条线段，且，∵，点 D为BC中点，则AD⊥BC，由（1）可得CE＝BD，则E为AC的中点，则FB＝FC＝AF，在Rt△ABD中，，∴AD＝3，∵，∴，∴DF＝1，AF＝2，如图所示，当P，Q重合时，FM取得最大值，此时如图所示，∵AA′＝AB，∠BAQ＝120°，∠QAA＝60°，则B，A，A′共线，∴，在Rt△AFM中，，如图所示，当C，P重合时，FM最小，在Rt△FDM中，，∴，∴．设备平均数中位数众数“非常满意”所占百分比A88b9645%B8887c40%