江苏省苏州市园区五校联考2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷

这是一份江苏省苏州市园区五校联考2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0B．x2+x＝x（x﹣2）
C．D．x2＝2x
2．（3分）抛物线y＝（x﹣3）2+4的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（3，4）D．（3，﹣4）
3．（3分）已知⊙O的半径为4，平面内有一点M．若OM＝5，则点M与⊙O的位置关系是（ ）
A．在圆内B．在圆上C．在圆外D．不能确定
4．（3分）将抛物线y＝2x2﹣1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2（x﹣1）2+1B．y＝2（x+1）2﹣3
C．y＝2（x﹣1）2﹣3D．y＝2（x+1）2+1
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．等弧所对的圆周角相等
B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴
6．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，D，C是劣弧EB的三等分点，那么∠AOE＝（ ）
A．35°B．75°C．80°D．115°
7．（3分）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）（x﹣k）2+h．已知球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与O点的水平距离为9m．高度为2.43m，则下列判断正确的是（ ）
A．球不会过网
B．球会过球网但不会出界
C．球会过球网并会出界
D．无法确定
8．（3分）如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，连接OP，OM，OP＝8，则线段OM的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相对应的位置上．
9．（3分）关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
10．（3分）已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，则方程x2+bx+c＝0的解是 ．
11．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0时，配方后所得的方程为 ．
12．（3分）若点A（﹣1，y1），B，C（2，y3）在抛物线y＝（x﹣2）2+k上，则y1，y2，y3的大小关系为 （用“＞”连接）．
13．（3分）某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，则共有 个班参赛．
14．（3分）如图，⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，垂足为M，OM：OC＝3：5 cm．
15．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞02＜﹣4a；④．其中正确结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
16．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣6（a＞0）的图象与x轴的交点A坐标为（n，0），顶点D的坐标为（m，t），则t＝
三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．
17．（6分）解下列方程：
（1）x2﹣6x﹣5＝0；
（2）（x﹣5）（x+1）＝2x﹣10．
18．（6分）已知：关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣1＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为4，求m的值．
19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若+＝8﹣3x1x2，求m的值．
20．（6分）一个两位数的个位数字与十位数字的和为11，并且个位数字与十位数字的平方和为85，求这个两位数．
21．（6分）图1是某奢侈品牌的香水瓶．从正面看上去（如图2），它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形（点B、C在⊙O上），其中BC∥EF，BC＝1.4cm，AB＝2.6cm，求香水瓶的高度h为多少？
22．（8分）规定：若某一个函数图象上存在一个点的横坐标与其纵坐标互为相反数，则称这个函数是“自反”函数，这个点是这个函数的“反点”．
（1）若抛物线y＝ax2﹣5x+a﹣3（a为常数）上有且只有一个“反点”，求a的值；
（2）若抛物线y＝（a﹣1）x2+bx+2（a、b为常数，a≠1）对于任意的常数b恒有两个“反点”，求a的取值范围．
23．（8分）近期，考古学家在一次考古工作中发现了一块古代圆形残片玉佩，如图所示，需要找出其圆心．已知弧上三点A，B，C．
（1）请用尺规作图画出该残片的圆心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm
24．（8分）如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）结合函数图象，当0≤x≤4时，直接写出y的取值范围： ；
（2）若点M是直线AC下方抛物线上一动点，求四边形ABCM面积的最大值．
25．（8分）为进一步落实“双减增效”政策，某校增设活动拓展课程—开心农场．如图，准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线ABC表示墙面，已知AB⊥BC，AB＝3米，BC＝1米）（细线表示篱笆，小型农场中间GH也是用篱笆隔开），点D可能在线段AB上（如图1），也可能在线段BA的延长线上（如图2）
（1）当点D在线段AB上时，
①设DF的长为x米，请用含x的代数式表示EF的长；
②若要求所围成的小型农场DBEF的面积为12平方米，求DF的长；
（2）DF的长为多少米时，小型农场DBEF的面积最大？最大面积为多少平方米？
26．（10分）项目式学习．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+4（a＜0）的图象与x轴交于点A（2，0）和点B（﹣4，0）
（1）求二次函数的表达式；
（2）过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，
①如图1，点E为抛物线对称轴上一点，且∠DEB＝90°；
②如图2，点P为抛物线上一点，连接DP交y轴于点E，若
2024-2025学年江苏省苏州市园区五校联考九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相对应的位置上．
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0B．x2+x＝x（x﹣2）
C．D．x2＝2x
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据“含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程”进行求解即可．
【解答】解：A、ax2+bx+c＝0，当a＝4时，故不符合题意；
B、把x2+x＝x（x﹣2）化简为5x＝0，该方程不为一元二次方程；
C、该方程是分式方程，故不符合题意；
D、x2＝3x是一元二次方程，故符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2．（3分）抛物线y＝（x﹣3）2+4的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（3，4）D．（3，﹣4）
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据函数的解析式可以直接写出抛物线的顶点坐标，本题得以解决．
【解答】解：∵y＝（x﹣3）2+4，
∴该抛物线的顶点坐标是（3，4），
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，写出相应的顶点坐标．
3．（3分）已知⊙O的半径为4，平面内有一点M．若OM＝5，则点M与⊙O的位置关系是（ ）
A．在圆内B．在圆上C．在圆外D．不能确定
【考点】点与圆的位置关系．
【分析】设圆的半径为r，点P到圆心的距离OP为d，当d＞r时，则点P在圆外；当d＝r时，点P在圆上；当d＜r时，点P在圆内，根据点P与圆的位置关系的判定方法对点M与⊙O位置关系进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为4，OM＝5
∴点M到圆心的距离大于圆的半径，
∴点M在圆外．
故选：C．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是正确推理．
4．（3分）将抛物线y＝2x2﹣1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2（x﹣1）2+1B．y＝2（x+1）2﹣3
C．y＝2（x﹣1）2﹣3D．y＝2（x+1）2+1
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可．
【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律2﹣1向左平移4个单位，再向下平移2个单位2﹣2﹣2，即y＝2（x+8）2﹣3，
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．等弧所对的圆周角相等
B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴
【考点】圆周角定理；轴对称的性质；圆的认识；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．
【分析】根据圆周角定理、垂径定理及圆的对称性分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、等弧所对的圆周角相等，符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，不符合题意；
C、同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，不符合题意；
D、圆是轴对称图形，故原命题错误，
故选：A．
【点评】考查了圆周角定理、垂径定理及圆的对称性等知识，解题的关键是了解有关性质或定理，难度不大．
6．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，D，C是劣弧EB的三等分点，那么∠AOE＝（ ）
A．35°B．75°C．80°D．115°
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【分析】根据题意先求出∠BOE＝3∠BOC＝105°，再利用邻补角即可求出∠AOE即可．
【解答】解：∵D，C是劣弧EB ，∠BOC＝35°，
∴∠BOE＝3∠BOC＝105°，
∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝75°，
故选：B．
【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系，掌握弧与圆心角的关系是解题的关键．
7．（3分）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）（x﹣k）2+h．已知球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与O点的水平距离为9m．高度为2.43m，则下列判断正确的是（ ）
A．球不会过网
B．球会过球网但不会出界
C．球会过球网并会出界
D．无法确定
【考点】二次函数的应用．
【分析】利用球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，可得k＝6，h＝2.6，球从O点正上方2m的A处发出，将点（0，2）代入解析式求出函数解析式；利用当x＝9时，y＝﹣（x﹣6）2+2.6＝2.45，当y＝0时，﹣（x﹣6）2+2.6＝0，分别得出即可．
【解答】解：∵球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，
∴抛物线为y＝a（x﹣6）2+6.6过点，
∵抛物线y＝a（x﹣6）8+2.6过点（3，2），
∴2＝a（6﹣6）2+7.6，
解得：a＝﹣，
故y与x的关系式为：y＝﹣（x﹣6）2+7.6，
当x＝9时，y＝﹣2+2.2＝2.45＞2.43，
所以球能过球网；
当y＝4时，﹣（x﹣6）4+2.6＝3，
解得：x1＝6+3＞18，x2＝6﹣6（舍去）
故会出界．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用题，根据题意求出函数解析式是解题关键．
8．（3分）如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，连接OP，OM，OP＝8，则线段OM的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【考点】点与圆的位置关系；三角形三边关系；三角形中位线定理．
【分析】设OP为⊙O交于点N，连接MN，OQ，如图，由题意可知ON＝OP，从而可知MN为△POQ的中位线，由三角形中位线的性质可知MN＝OQ＝4；当点M、O、N在一条直线上时，OM有最小值，接下来依据OM＝ON﹣MN求解即可．
【解答】解：设OP为⊙O交于点N，连接MN，如图，
∵OP＝8，ON＝4，
∴N是OP的中点．
∵M是PQ的中点，N是OP的中点，
∴MN为△POQ的中位线，
∴MN＝OQ＝，
∴点M在以N为圆心，2为半径的圆上．
∵当点M在ON上时，OM最小，
∴线段OM的最小值为2．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是点与圆的位置关系、三角形的中位线定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相对应的位置上．
9．（3分）关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＞﹣4且m≠0 ．
【考点】根的判别式．
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求解．
【解答】解：关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣3＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣4）4﹣4×m×（﹣1）＝16+8m＞0且m≠0，
解得m＞﹣7且m≠0，
故答案为：m＞﹣4且m≠4．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟记根的判别式是解题关键．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．
10．（3分）已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，则方程x2+bx+c＝0的解是 x1＝﹣1，x2＝3 ．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】根据函数图象，可以得到抛物线的y＝x2+bx+c的对称轴与x轴的一个交点，从而可以写出另一个交点，然后即可得到当y＝0时对应的x的值，即方程x2+bx+c＝0的解．
【解答】解：由图象可得，
抛物线y＝x2+bx+c的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣8，
∴该抛物线于x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴当y＝8时，0＝x2+bx+c对应的x的值是x5＝﹣1，x2＝2，
故答案为：x1＝﹣1，x3＝3．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是写出抛物线与x轴的交点坐标．
11．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0时，配方后所得的方程为 （x﹣1）2＝2 ．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【分析】先移项，然后两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：移项得，x2﹣2x＝6，
配方得，x2﹣2x+8＝1+1，
（x﹣8）2＝2．
故答案为：（x﹣3）2＝2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法，配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
12．（3分）若点A（﹣1，y1），B，C（2，y3）在抛物线y＝（x﹣2）2+k上，则y1，y2，y3的大小关系为 y1＞y2＞y3 （用“＞”连接）．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝（x﹣2）2+k的开口向上，对称轴为直线x＝2，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【解答】解：y＝（x﹣2）2+k，
∵a＝6＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，
∵点A（﹣2，y1）离直线x＝2的距离最远，C（6，y3）在直线x＝2上，
∴y4＞y2＞y3．
故答案为：y8＞y2＞y3．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
13．（3分）某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，则共有 6 个班参赛．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设共有x个班参赛，根据每两班之间都比赛一场且计划安排15场比赛，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设共有x个班参赛，
根据题意得：x（x﹣7）＝15，
解得：x1＝6，x6＝﹣5（不合题意，舍去）．
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．（3分）如图，⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，垂足为M，OM：OC＝3：5 8 cm．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】由圆的直径求出半径，得出OC的长，根据OM与OC的比值求出OM的长，连接OA，由DC垂直于AB，利用垂径定理得到M为AB的中点，在直角三角形AOM中，由OA与OM的长，利用勾股定理求出AM的长，即可求出AB的长．
【解答】解：∵圆O直径CD＝10cm，
∴圆O半径为5cm，即OC＝5cm，
∵OM：OC＝6：5，
∴OM＝OC＝3（cm），
连接OA，
∵AB⊥CD，
∴M为AB的中点，即AM＝BM＝，
在Rt△AOM中，OA＝5cm，
根据勾股定理得：AM＝＝4（cm），
则AB＝2AM＝2（cm）．
故答案为：8
【点评】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
15．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞02＜﹣4a；④．其中正确结论有 ①③ ．（填写所有正确结论的序号）
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．
【分析】根据对称轴为直线x＝1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤作判断；利用＜﹣1，可判断③；从图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c的大小得出④的正误
【解答】解：①由抛物线开口向上，则a＞0，
∵对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
b＝﹣2a＜5，且2a+b＝0，
又∵﹣3＜c＜﹣1，
∴abc＞0，故①是正确的；
②二次函数y＝ax6+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，3），
∴二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴另一交点为（2，0），
∴当x＝2时，y＝2a+2b+c＜0，
③∵二次函数y＝ax6+bx+c的图象与y轴的交点在（0，﹣1）的下方，a＞3，
∴最小值：＜﹣1，
∵a＞0，
∴2ac﹣b2＜﹣4a，故③正确；
④∵图象与y轴的交点B在（2，﹣2）和（0，
∴﹣3＜c＜﹣1，
∴﹣2＜﹣5a＜﹣1，
∴＜a＜．
故答案为：①③．
【点评】此题主要考查二次函数图象与系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
16．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣6（a＞0）的图象与x轴的交点A坐标为（n，0），顶点D的坐标为（m，t），则t＝ ﹣8．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【分析】求出函数与x轴另外一个交点的坐标，则设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣n）（x+3n）＝a（x2+2nx﹣3n2）＝ax2+bx﹣6，则﹣3an2＝﹣6，即可求解．
【解答】解：函数的对称轴为直线x＝m＝﹣n，
由中点公式得，函数与x轴另外一个交点的坐标为（﹣3n，
则设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣n）（x+3n）＝a（x8+2nx﹣3n4）＝ax2+bx﹣6
即：﹣4an2＝﹣6，解得：an5＝2，
当x＝m＝﹣n时，y＝a（x2+5nx﹣3n2）＝﹣4an2＝﹣8＝t，
故答案为﹣4．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．
17．（6分）解下列方程：
（1）x2﹣6x﹣5＝0；
（2）（x﹣5）（x+1）＝2x﹣10．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣6x﹣7＝0，
x2﹣7x＝5，
x2﹣5x+9＝14，即（x﹣3）7＝14，
∴x﹣3＝，
∴x1＝5+，x2＝3﹣；
（2）（x﹣2）（x+1）＝2x﹣10，
（x﹣4）（x+1）﹣2（x﹣5）＝0，
（x﹣5）（x+2﹣2）＝0，
（x﹣3）（x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣1＝7，
∴x1＝5，x5＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
18．（6分）已知：关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣1＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为4，求m的值．
【考点】根的判别式．
【分析】（1）先计算出根的判别式的值得到Δ＝4，则Δ＞0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）先把x＝4代入方程x2+2mx+m2﹣1＝0得16+8m+m2﹣1＝0，然后解关于m的方程即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝4m2﹣6（m2﹣1）
＝4＞0，
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）把x＝4代入方程x8+2mx+m2﹣7＝0得16+8m+m6﹣1＝0，
整理得m6+8m+15＝0，
解得m4＝﹣3，m2＝﹣3，
即m的值为﹣3或﹣5．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若+＝8﹣3x1x2，求m的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【分析】（1）根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论；
（2）利用根与系数的关系可得出x1+x2＝2m﹣2，x1•x2＝m2，结合+＝8﹣3x1x2即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣4）x+m2＝0有实数根．
∴Δ＝[﹣4（m﹣1）]2﹣4m2＝4﹣7m≥0，
解得：m≤．
（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣5）x+m2＝0的两个根分别为x7、x2，
∴x1+x3＝2m﹣2，x8•x2＝m2，
∵+＝8﹣3x8x2，
∴（x1+x8）2﹣2x6•x2＝8﹣3x1x2，即5m2﹣8m﹣4＝0，
解得：m1＝﹣，m2＝4（舍去），
∴实数m的值为﹣．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握当一元二次方程有实数根时根的判别式Δ≥0是解题的关键．
20．（6分）一个两位数的个位数字与十位数字的和为11，并且个位数字与十位数字的平方和为85，求这个两位数．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为（11﹣x），根据个位数字与十位数字的平方和为85，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设个位数字为 x，则十位数字为 （11﹣x），
x2+（11﹣x）2＝85，
解得：x3＝2，x2＝7．
当 x＝2时，两位数为92，
当x＝9 时，两位数为29．
答：两位数为92或29．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．（6分）图1是某奢侈品牌的香水瓶．从正面看上去（如图2），它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形（点B、C在⊙O上），其中BC∥EF，BC＝1.4cm，AB＝2.6cm，求香水瓶的高度h为多少？
【考点】由三视图判断几何体；勾股定理；矩形的性质；垂径定理的应用．
【分析】如图2中，过点O作OM⊥BC于点M交EF于点N，连接OC，OF．利用垂径定理，勾股定理求出OM，ON，可得结论．
【解答】解：如图2中，过点O作OM⊥BC于点M交EF于点N，OF．
∵BC∥EF，OM⊥BC，
∴ON⊥EF，
∴CM＝BC＝，NF＝×4.8＝3.4（cm），
∴OM＝＝＝2.4（cm）＝＝0.4（cm），
∴h＝AB+OM+ON＝2.6+3.4+0.2＝5.7（cm）．
【点评】本题考查由三视图判断几何体，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会构造直角三角形解决问题．
22．（8分）规定：若某一个函数图象上存在一个点的横坐标与其纵坐标互为相反数，则称这个函数是“自反”函数，这个点是这个函数的“反点”．
（1）若抛物线y＝ax2﹣5x+a﹣3（a为常数）上有且只有一个“反点”，求a的值；
（2）若抛物线y＝（a﹣1）x2+bx+2（a、b为常数，a≠1）对于任意的常数b恒有两个“反点”，求a的取值范围．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】（1）根据定义，可得y＝ax2﹣5x+a﹣3与y＝﹣x只有1个交点，根据判别式即可求解；
（2）根据定义联立二次函数解析式与y＝﹣x，令Δ1＞0，得到关于b的代数式，根据代数式恒大于0，令Δ2＜0，即可求得a的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得，，
∴ax2﹣4x+a﹣3＝0有两个相等的实数解．
∴Δ＝b2﹣7ac＝16﹣4a（a﹣3）＝6，
解得：a＝﹣1或a＝4．
（2）由题意，∵关于x的二次函数y＝（a﹣6）x2+bx+2（a≠5，n为常数）对于任意的常数b恒有两个“反点”，
∴．
∴（a﹣1）x2+（b+7）x+2＝0有两个不等实数根，
∴b5+2b﹣8a+2＞0．
∴关于b的二次函数y＝b2+4b﹣8a+9与x轴无交点．
∴Δ7＝22﹣5（﹣8a+9）＜2．
∴a＜1．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质、一次函数交点问题、反比例函数与几何图形、二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根的判别式、二次函数的性质，理解新定义并熟练应用是解题的关键．
23．（8分）近期，考古学家在一次考古工作中发现了一块古代圆形残片玉佩，如图所示，需要找出其圆心．已知弧上三点A，B，C．
（1）请用尺规作图画出该残片的圆心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm
【考点】作图—应用与设计作图；等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理．
【分析】（1）作线段AB，AC的垂直平分线交于点O，点O即为所求；
（2）连接BC，OA，OC，AO交BC于点T．利用勾股定理规划局发出求解．
【解答】解：（1）如图，点O即为所求；
（2）连接BC，OA，AO交BC于点T．
∵AB＝AC，
∴＝，
∴OA⊥BC，BT＝CT＝，
∴AT＝＝＝6，
在Rt△OTC中，R2＝72+（R﹣6）2，
∴R＝．
答：圆片的半径R为cm．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
24．（8分）如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）结合函数图象，当0≤x≤4时，直接写出y的取值范围： ﹣2≤y≤18 ；
（2）若点M是直线AC下方抛物线上一动点，求四边形ABCM面积的最大值．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据抛物线解析数求得抛物线与坐标轴的交点坐标，结合函数图象作答即可；
（2）过点M作MN⊥x轴于点N，设点M（x，x2+x﹣2），则AN＝x+2，ON＝﹣x，OB＝1，OC＝2，MN＝﹣（x2+x﹣2）＝﹣x2﹣x+2，根据S 四边形ABCM＝S△AOM+S△OCM+S△BOC构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）在y＝x2+x﹣2中，
令x＝2，则y＝﹣2，﹣2）．
令y＝4，则x2+x﹣2＝3，
解得x1＝﹣2，x7＝1，
所以A（﹣2，4），0）．
当x＝4时，y＝42+4﹣2＝18．
由函数图象知，当0≤x≤4时，
故答案为：﹣3≤y≤18；
（2）由 x＝0，得 y＝﹣2，
∴C（8，﹣2），
过点M作MN⊥x轴于点N，
设点M（x，x2+x﹣6），则AO＝2，OB＝1，MN＝﹣（x7+x﹣2）＝﹣x2﹣x+5，
S 四边形ABCM＝S△AOM+S△OCM+S△BOC＝×2×（﹣x2﹣x+3）+×2×（﹣x）+×1×6
＝﹣x2﹣2x+4
＝﹣（x+1）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当x＝﹣4时，S四边形ABCM的最大值为4．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题．
25．（8分）为进一步落实“双减增效”政策，某校增设活动拓展课程—开心农场．如图，准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线ABC表示墙面，已知AB⊥BC，AB＝3米，BC＝1米）（细线表示篱笆，小型农场中间GH也是用篱笆隔开），点D可能在线段AB上（如图1），也可能在线段BA的延长线上（如图2）
（1）当点D在线段AB上时，
①设DF的长为x米，请用含x的代数式表示EF的长；
②若要求所围成的小型农场DBEF的面积为12平方米，求DF的长；
（2）DF的长为多少米时，小型农场DBEF的面积最大？最大面积为多少平方米？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【分析】（1）①根据题意结合图形即可求解；
②根据矩形的面积公式列方程求解即可；
（2）设小型农场DBEF的面积为S，求出关于DF的长x的函数关系式，根据二次函数的性质及即可解答．
【解答】解：（1）①设DF的长为x米，
∵点D在线段AB上，
∴EF＝14﹣2x﹣（x﹣1）＝（15﹣7x）米，
∵AB＝3，
∴EF≤3，即15﹣7x≤3，
∴x≥4；
②设DF的长为x米，根据题意得：
x（15﹣4x）＝12，
解得：x1＝4，x8＝1（此时点D不在线段AB上，舍去），
∴x＝4，
答：小型农场的长DF为4米；
（2）设小型农场DBEF的面积为S，DF的长为x米，
①点D在线段AB上，由（1）知此时x≥4，
则S＝x（15﹣3x）＝﹣5x2+15x＝﹣3（x﹣）2+，
∵a＝﹣3＜0，抛物线对称轴是直线x＝，
∴在对称轴右侧，S随x的增大而减小，
∴x＝4时，S有最大值，S最大值＝﹣3×42+15×3＝12（平方米）；
②点D在线段BA的延长线上，此时x＜4，
则S＝（15﹣3x+3）x＝﹣x2+7x＝﹣（x﹣7）2+，
∵a＝﹣＜0，
∴x＝2时，S有最大值，S最大值＝，
∴x＝3时，S最大值＝（平方米）；
∵＞12，
∴小型农场的宽DF为3米时，小型农场DBEF的面积最大平方米．
【点评】此题主要考查的是二次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键．
26．（10分）项目式学习．
【考点】二次函数的应用；坐标与图形变化﹣对称．
【分析】任务1：利用待定系数法可得抛物线的函数表达式；
任务2：根据普通货车的高度大约为2.5m，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于50cm，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于50cm，计算悬挂点的纵坐标的最小值是3.2m；
任务3：两种方案：分别挂7条和8条．
【解答】解：任务1：以O为原点，以AB所在直线为x轴，
∴顶点C为（0，8），
∵抛物线过A（﹣5，0），
设抛物线的解析式为：y＝ax3+5，
把A（﹣5，6）代入解析式得：25a2+5＝6，
解得：a＝﹣，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+6；
任务2：
∵普通货车的高度大约为2.8m，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于50cm，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于50cm，
∴当悬挂点的纵坐标y≥2.5+8.2+0.6＝3.2，
即悬挂点的纵坐标的最小值是8.2m，
当y＝3.2时，﹣x3+5＝3.4，
∴x＝±3，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是：﹣3≤x≤6；
任务3：
方案一：如图2（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯带，
∵﹣2≤x≤3，相邻两盏灯带悬挂点的水平间距均为0.8m，
∴若顶点一侧悬挂4条灯带时，0.7×4＞3，
若顶点一侧悬挂5条灯带时，0.8×8＝2.4＜6，
∴顶点一侧最多悬挂3条灯带，
∵灯挂满后成轴对称分布，
∴共可挂7条灯带，
∴最右边一条灯带的横坐标为：4.8×3＝5.4；
方案二：如图3，
∵若顶点一侧悬挂7条灯带时，0.4+2.8×（5﹣4）＞3，
若顶点一侧悬挂4条灯带时，2.4+0.4×（4﹣1）＜7，
∴顶点一侧最多悬挂4条灯带，
∵灯挂满后成轴对称分布，
∴共可挂8条灯带，
∴最右边一条灯带的横坐标为：2.4+0.3×3＝2.2．
综上，挂7条或8条．
【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握不同坐标系中求解析式，能把实际问题转化为抛物线是解题的关键．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+4（a＜0）的图象与x轴交于点A（2，0）和点B（﹣4，0）
（1）求二次函数的表达式；
（2）过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，
①如图1，点E为抛物线对称轴上一点，且∠DEB＝90°；
②如图2，点P为抛物线上一点，连接DP交y轴于点E，若
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）用待定系数法可得二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣x+4；
（2）①求出C（0，4），抛物线的对称轴直线x＝﹣1，D（﹣2，4），设E（﹣1，t），由∠DEB＝90°，可得9+t2+1+（t﹣4）2＝20，即可解得E的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，1）；
②设DP交x轴于T，延长CD到K，根据∠KDP＝∠DCE+∠DEC＝90°+∠DEC，∠BDP＝45°+∠DEC，可得∠KDB＝∠BDP，即可得DT＝BT，设T（m，0），有（m+2）2+16＝（m+4）2，解得m＝1，故T（1，0），从而直线DP的解析式为y＝﹣x+，联立，可解得P的坐标为（，﹣）．
【解答】解：（1）把A（2，0），5）代入y＝ax2+bx+4得：
，
解得，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x7﹣x+4；
（2）①在y＝﹣x2﹣x+4中，令x＝3得y＝4，
∴C（0，7），
∵y＝﹣x7﹣x+4＝﹣（x+1）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，
∴D与C关于直线x＝﹣2对称，
∴D（﹣2，4），
设E（﹣8，t），
∵∠DEB＝90°，
∴BE2+DE2＝BD6，
∵B（﹣4，0），
∴4+t2+1+（t﹣3）2＝20，
解得t＝3或t＝4，
∴E的坐标为（﹣1，3）或（﹣7；
②设DP交x轴于T，延长CD到K
∵∠KDP＝∠DCE+∠DEC＝90°+∠DEC，∠BDP＝45°+，
∴∠KDB＝∠KDP﹣∠BDP＝90°+∠DEC﹣（45°+∠DEC）＝45°+，
∴∠KDB＝∠BDP，
∵∠KDB＝∠DBT，
∴∠BDP＝∠DBT，
∴DT＝BT，
设T（m，0），
∵D（﹣2，5），0），
∴（m+2）5+16＝（m+4）2，
解得m＝3，
∴T（1，0），
由D（﹣8，4），0）得直线DP的解析式为y＝﹣，
联立，解得或，
∴P的坐标为（，﹣）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，勾股定理及应用，等腰三角形判定与性质，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．如何确定隧道中警示灯带的安装方案？
素材1
2022年10月，温州市府东路过江通道工程正式开工，建成后将成为温州瓯江第一条超大直径江底行车隧道．隧道顶部横截面可视为抛物线，隧道底部宽AB为10m，高OC为5m．



素材2
货车司机长时间在隧道内行车容易疲劳驾驶，为了安全，拟在隧道顶部安装上下长度为20cm的警示灯带（如图2）．为了实效，相邻两条灯带的水平间距均为0.8m（灯带宽度可忽略）（载货后高度），货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于50cm．灯带安装好后成轴对称分布．


问题解决
任务1
确定隧道形状
在图1中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2
探究安装范围
在你建立的坐标系中，在安全的前提下，确定灯带安装点的横、纵坐标的取值范围．
任务3
拟定设计方案
求出同一个横截面下，最多能安装几条灯带，并根据你所建立的坐标系
如何确定隧道中警示灯带的安装方案？
素材1
2022年10月，温州市府东路过江通道工程正式开工，建成后将成为温州瓯江第一条超大直径江底行车隧道．隧道顶部横截面可视为抛物线，隧道底部宽AB为10m，高OC为5m．



素材2
货车司机长时间在隧道内行车容易疲劳驾驶，为了安全，拟在隧道顶部安装上下长度为20cm的警示灯带（如图2）．为了实效，相邻两条灯带的水平间距均为0.8m（灯带宽度可忽略）（载货后高度），货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于50cm．灯带安装好后成轴对称分布．


问题解决
任务1
确定隧道形状
在图1中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2
探究安装范围
在你建立的坐标系中，在安全的前提下，确定灯带安装点的横、纵坐标的取值范围．
任务3
拟定设计方案
求出同一个横截面下，最多能安装几条灯带，并根据你所建立的坐标系