山东省泰安市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

这是一份山东省泰安市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题，共14页。试卷主要包含了11等内容，欢迎下载使用。

数学试题
2024.11
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线在轴上的截距是（ ）
A．B．C．D．
2．下列方程所表示的直线中，倾斜角为的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知点沿着向量的方向移动到点，且，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．已知圆，则过点的圆的切线方程为（ ）
A．B．或
C．D．或
5．已知正方体中，分别为上底面和下底面的中心，则下列与和共面的向量是（ ）
A．B．C．D．
6．已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为为的中点，则与平面所成的角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知点在直线上，若以为圆心，以3为半径的圆与圆有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知椭圆的左，右焦点分别为上两动点均位于轴上方，且，若与的交点在轴上，且纵坐标为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知直线，直线，若或，则的值可能为（ ）
A．4B．C．D．1
10．已知圆，则（ ）
A．点在圆内
B．若点在圆上，则的最大值为
C．若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为
D．若点在直线上，点在圆上，，则的最小值为
11．在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，且满足，若点满足，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，三棱锥的体积为定值
B．当时，的面积的最大值为
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，有且仅有一个点，使得平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．定义，若向量，向量的模为2，向量与向量的夹角为，则______．
13．已知，点满足，则点的轨迹方程为______．
14．“若点为椭圆上的一点，为椭圆的两个焦点，则椭圆在点处的切线平分的外角”，这是椭圆的光学性质之一．已知椭圆，点是椭圆上的点，在点处的切线为直线，过左焦点作的垂线，垂足为M，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知点，点关于直线的对称点为．
（1）求的外接圆的标准方程；
（2）若过点的直线被圆截得的弦长为2，求直线的方程．
16．（15分）
如图，在三棱锥中，在线段上，且为的中点．
（1）证明：；
（2）求异面直线所成角的余弦值．
17．（15分）
已知椭圆的上顶点为，离心率为，左焦点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求直线的方程．
18．（17分）
如图，在四面体中，平面分别是线段的中点，点在线段上，且．
（1）求证：平面；
（2）当时，求平面与平面夹角的余弦值；
（3）在（2）的条件下，若为内的动点，平面，且与平面所成的角最大，试确定点的位置．
19．（17分）定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作，已知四点，中恰有三点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）证明：有两个点满足“共轭点对”，并求点的坐标；
（3）设（2）中的两个点分别为，设为坐标原点，点在椭圆上，满足且点在直线两侧，求四边形的面积的最大值．
试卷类型：A
高二年级考试
数学试题参考答案及评分标准
2024.11
一、单项选择题：
二、多项选择题：
三、填空题：
12．6 13． 14．
四、解答题：
15．（13分）
解：（1）设点
点与点关于直线对称
解得
的中点为
的中垂线方程
的中点，且直线的斜率不存在
的中垂线方程为：
圆心满足
圆的标准方程为．
（2）直线被圆截得的弦长为2
圆心到直线的距离当直线斜率存在时，设的方程为
即
解得
此时的方程为
当直线斜率不存在时，方程为，满足题意
因此，所求直线的方程为或
16．（15分）
证明：（1）设
与均为正三角形
．
（2）为的中点，为线段靠近的三等分点，
中，
异面直线所成角的余弦值为
17．（15分）
解：（1）由题意可知
解得．
椭圆的方程为
（2）设直线的方程为
由得
恒成立
设
整理得
解得或（舍去）
直线的方程为或
18．（17分）
（1）证明：取中点，连接
是的中点
，且
在线段上取点，使
连接
且
∴
四边形为平行四边形
又平面平面
平面
（2）
取中点，则，又平面，
平面
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意得
设平面的法向量为则．
设平面的法向量为
则即
令，解得
设平面与平面的夹角为
则
（3）由（2）知为中点，为中点，连接
点为内动点且平面
平面
平面平面
即点在上
设
设
即
设平面的法向量为，则
设与平面所成角为最大即最大
当，即点位于中位线靠近的八等分点的第3个点处时，与平面所成角最大
19．（17分）
解：（1）由于两点关于轴对称，故由题意知椭圆经过两点，
显然不经过点，所以点在上，且的焦点在轴上
设的标准方程为
因此解得
椭圆的标准方程为
（2）设“共轭点对”中点的坐标为
根据“共轭点对”定义
点的坐标满足
所以或
于是有两个点满足“共轭点对”，且点的坐标为
（3）设，则所在的直线的方程为
法一：
设点，则
两式相减得
又
于是，则
所以线段的中点在直线上，即线段被直线平分
设点到直线的距离为
则四边形的面积
又
则有
设过点且与直线平行的直线的方程为
则当与相切时取最大值
由消得
令得
四边形的面积的最大值为4．法二：
设直线的方程为：
设与直线交于点
设直线与所成的锐角为
则四边形的面积
为定值
当最大时，四边形的面积最大
由消得
设，则
当，即直线过原点时，有最大值
不妨设在第一象限，则点与点重合
此时到直线的距离
四边形的面积的最大值为4．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
C
D
A
B
B
B
题号
9
10
11
答案
BC
BCD
AC