四川省成都市四川师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

这是一份四川省成都市四川师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题，共15页。试卷主要包含了试卷满分，已知，，，则的最小值是，关于函数描述正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写（涂）在答题卡的指定位置上.
2.回答选择题时，选出每个小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡相应的位置上.
3.考试结束后，只需将答题卡交回，试卷由考生自行保管.
4.试卷满分：150分，考试时间：120分钟.
一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（ ）
A.2B.C.5D.
2.已知，；，，则（ ）
A.假假B.假真C.真真D.真假
3.已知，，且，则与的夹角为（ ）
A.B.C.D.
4.给定集合，，定义，且，若，，下列选项错误的是（ ）
A.B.
C.D.
5.若定义在上的偶函数满足且时，，则方程的零点个数是（ ）
A.2B.3C.4D.5
6.已知，，，则的最小值是（ ）
A.B.C.D.17
7.如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论一定成立的是（ ）
A.三棱锥的体积大小与点的位置有关
B.与平面相交
C.平面平面
D.
8.已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，由多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分.
9.关于函数描述正确的是（ ）
A.最小正周期是B.最大值是
C.一条对称轴是D.一个对称中心是
10.已知定义在区间上的函数，是的导函数，若存在，使得，则称为函数在上的“中值点”.下列函数中，在区间上至少有两个“中值点”的函数为（ ）
A.B.
C.D.
11.已知双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线交双曲线的右支于、两点，其中点在第一象限.的内心为，与轴的交点为，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，则下列说法正确的是（ ）
A.若双曲线渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为2或
B.若，且，则双曲线的离心率为
C.若，，则的取值范围是
D.若直线的斜率为，，则双曲线的离心率为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若公差不为0的等差数列的前四项和为10，且，，成等比数列，则________.
13.若，则________.
14.我们称元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则________；________（用含的式子表示，）.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明步骤或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知为数列的前项和，，.
（1）证明是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若数列为等差数列，且，，求数列的前项和.
16.（本小题满分15分）
某校为了了解学情，对各学科的学习兴趣作了问卷调查，经过数据整理得到下表：
假设每份调查问卷只调查一科，各类调查是否达到良好的标准相互独立.
（1）从收集的答卷中随机选取一份，求这份试卷的调查结果是英语兴趣良好的概率；
（2）从该校任选一位同学，试估计他在语文兴趣良好、数学兴趣良好、生物兴趣良好方面，至少具有两科兴趣良好的概率；
（3）按分层抽样的方法从参与物理兴趣和化学兴趣调查的同学中抽取7人，再从这7人中抽取3人，记3人中来自化学兴趣的人数为，求的分布列和期望.
17.（本小题满分15分）
如图，在三棱柱中，平面平面，，，，，，.
（1）证明：，，，四点共面；
（2）求二面角的余弦值.
18.（本小题满分17分）
设函数的定义域为，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个“美好区间”.
性质①：对于任意，都有；
性质②：对于任意，都有.
（1）已知，.分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由；
（2）已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数的取值范围.
19.（本小题满分17分）
已知椭圆的离心率为，且四个顶点所围成的菱形的面积为4.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）四边形的顶点在椭圆上，且对角线，过原点，设，，满足.
①求证：直线和直线的斜率之和为定值；
②求四边形面积的最大值.
四川师大附中2024-2025学年度（上期）半期考试试题
高2022级数学答案
一、选择题：
4.【详解】，，.
当且仅当时取等号，则，故A正确；
，，由新定义可知，，故B正确；
，故C错误；，故D正确.故选：C.
6.【详解】法1：，
（当且仅当，取等号）
法2：，
（当且仅当，取等号）
7.【详解】对于A中，由，在正方体中，
可得平面，所以到平面的距离不变，
即三棱锥的高不变，又由的面积不变，
因此三棱锥的体积不变，
即三棱锥的体积与点的位置无关，故A不成立.
对于B中，由于，平面，平面，
所以平面，同理可证平面，
又由，所以平面平面，
因为平面，所以平面，所以B不成立.
对于C中，因为，，，
所以平面，则，同理，
又因为，所以平而.
又由平面，所以平面 平面，所以C成立.
对于D中，当与重合时，可得与的夹角为，所以D不成立.
故选：C.
8.【详解】由题意，若显然不是恒大于零，故.（由4个选项也是显然可得）
，则在上恒成立；
当时，等价于，
令，，在上单调递增.
因为，，所以，即，
再设，令，
时，，，，在上单调递增，
在上单调递减，从而，所以.故选：D.
10.【详解】对于A选项，，，
由，所以，，
当时，，如下图所示：
由图可知，直线与曲线在上的图象有两个交点，A选项满足条件；
对于B选项，，，
由，所以，，
因为函数在上单调递增，故方程在上不可能有两个根，B不满足条件；
对于C选项，，，
由，可得，解得，
故函数在上只有一个“中值点”，C选项不满足条件；
对于D选项，，，
由，可得.
故函数在上有两个“中值点”，D满足条件.故选：AD.
11.【详解】对于A，双曲线渐近线的夹角为60°，
则或者，故或.
对于B，设，则，，.
故，解得：.
又，，故.
对于C，令圆切，，分别为点，，，
则，，，，
令点，而，，
因此，解得，又，
则点横坐标为，同理点横坐标为.
即直线的方程为，
设直线的倾斜角为，那么，
在中，.
在中，，渐近线的斜率为，
因为、均在右支上，故，，.
如图所求，.
对于D，，故，
而，
故，，，
由余弦定理可知，，
故，故选：ABD.
二、填空题：
12. 25；13. ；14. 14； .
13.【详解】根据题意，，
故.
14.【详解】当时，范数为奇数，则的个数为偶数，即0的个数为0、2，
根据乘法原理和加法原理得到.
在维向量中，范数为奇数，则的个数为奇数，
即0的个数为1、3、5、…、，
根据乘法原理和加法原理得到，
，
，
两式相减得到.故答案为：14；.
三、解答题：
15.【详解】（1）证明：因为，所以.又，
所以是以为首项，以2为公比的等比数列.
，.
当时，；
经检验，也符合.. 6分
（2）数列为等差数列，且，，
公差，.
，

. 13分
16.【详解】（1）（1）设“这份试卷的调查结果是英语兴趣良好”为事件A，
答卷总份数为，
其中英语兴趣良好有，故. 4分
（2）设“语文兴趣良好”“数学兴趣良好”“生物兴趣良好”分别为事件，，，
，，，则所求的概率为：
. 8分
（3）从参与物理兴趣和化学兴趣调查的700人中按分层抽样的方法抽取7人，
其中参与物理兴趣调查的抽取4人，参与化学兴趣调查的抽取3人，
再从中选取3人，则的所有取值为0，1，2，3.
，，
，，则的分布列为
故. 15分
17.【详解】（1）（1）在三棱柱中，，，
因为，，即，，
所以，则四边形为平行四边形，故，又，
所以，故，，，四点共面. 6分
（2）连接，取的中点，连接，，如图所示.
三棱柱中，四边形为平行四边形，，，
所以为等边三角形，又为的中点，所以.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又，为的中点，所以.
因为，，所以.
以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示.
则，，，，，
所以，，.
设平面的一个法向量为，则，
令，则，，故.
设平面的一个法向量为，则，
令，则，，故.
因为，
由图可知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为. 15分
18.【详解】（1）（1）区间是函数的“美好区间”，区间不是函数的“美好区间”理由如下：
由，
当时，，所以区间是函数的“美好区间”
当时，，所以区间不是函数的“美好区间” 6分
（2）记，
若区间是函数的一个“美好区间”，则或
由，可得，
所以当或时，，则的单调递增区间为：，；
当时，，则的单调递增区间为：，
且，，，得到在的大致图像如下：
（i）当时，在区间上单调递减，且，
所以，则，即对于任意，都有，满足性质②，
故当时，区间是函数的一个“美好区间”；
（ii）当，在区间上单调递减，在上单调递增，此时，
所以，，
则当时，区间不是函数的一个“美好区间”；
（iii）当，在区间上单调送减，在上单调递增，
且，此时，
所以，，则当时，
区间不是函数的一个“美好区间”；
（iv）当时，在区间上单调递减，在上单调递增，
且，此时，因为，
则要使区间是函数的一个“美好区间”，则，
即.构造函数，
则，
由于，所以恒成立，
则在区间上单调递增，
所
则，不满足题意，
故当时，区间不是函数的一个“美好区间”，
综上，实数的取值范围是 17分
19.【详解】（1）由题意，，又，
解得，，所以椭圆的标准方程为.
（2）①设直线的方程为，设，
联立，得

，，整理得，
又，
.
所以直线和直线 的斜率之和为定值0. 10分
②由①，不妨取，则，
设原点到直线的距离为，
则
又，
所以当且仅当时取等号，.
即四边形的面积的最大值为4 . 17分语文兴趣
数学兴趣
英语兴趣
物理兴趣
化学兴趣
生物兴趣
答卷份数
350
470
380
400
300
500
兴趣良好频率
0.7
0.9
0.8
0.5
0.8
0.8
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
B
A
C
C
B
C
D
BCD
AD
ABD
0
1
2
3