江苏省淮安市2025届高三上学期第一次调研测试数学

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2024.11
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，只要将答题卡交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式可得集合，再由并集运算可得结果.
【详解】解不等式可得，
又，可得.
故选：C
2. 若复数满足（为虚数单位），则的模（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据模长的运算公式以及性质求解即可.
【详解】由题意可知：，
故选：A.
3. 已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据等比数列性质利用等差数列通项公式计算可得，代入计算可得结果.
【详解】由，，成等比数列可得，
即，解得，
所以可得，
故选：D.
4. 已知幂函数的图象与轴无交点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数的定义和图象特点可得出关于实数的等式与不等式，即可解出的值.
【详解】因为幂函数的图象与轴无交点，
则，解得.
故选：B.
5. 已知函数，则“”是“函数为奇函数”的（ ）
A 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】结合正弦函数的奇偶性以及充要条件的定义判断即可.
【详解】若，则，则，，
所以，则为奇函数.
若为奇函数，则一定有.
则“”是“函数为奇函数”的充要条件.
故选：A.
6. 已知是单位向量，满足，则在方向上的投影为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量数量积运算公式，求得在方向上的投影，进而可得投影.
【详解】，，，
即，在上投影向量，所以在方向上的投影为1.
故选：D.
7. 在外接圆半径为4的中，，若符合上述条件的三角形有两个，则边的长可能为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，由三角形有两解的条件，结合正弦定理求出边的范围.
【详解】在中，，由有两解，得，且，
则，由外接圆半径为4及正弦定理，得，
所以边的长可能为5.
故选：D
8. 已知函数，正数，满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】方法一：根据可得，再由基本不等式计算可得结果；
方法二：由函数解析式可得，再由单调性可得，利用基本不等式计算可得结果.
【详解】方法一：由可得，
易知在上单调递增，
因此可得，即；
又
要求的最大值，只需考虑即可，
因此，
当且仅当时，等号成立；
故选：B.
方法二：，而，所以；
而在上单调递增，
所以，即，
因此原式，要求其最大值，只需考察
可得原式，
当且仅当时，即时等号成立；
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
【答案】AB
【解析】
【分析】利用作差法可判断A，利用不等式可判断B，利用特殊值法可判断C、D.
【详解】由，得，即，又，则，即，故A正确；
因为，所以，即，
又因为，，所以，故B正确；
假设，，满足，，
此时，，不成立，故C错误；
假设，，，满足，，，
此时，，不成立，故D错误；
故选：AB.
10. 在数列和中，，，，下列说法正确的有（ ）
A B.
C. 36是与的公共项D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】A：根据等差数列定义求的通项公式，则可求；B：累加法求的通项公式；C：根据通项公式计算并判断；D：采用裂项相消法求和并证明.
【详解】对于A：因为，所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以，故正确；
对于B：因为，
所以，所以，
当时，符合条件，
所以，故错误；
对于C：令，解得(负值舍去)，所以，令，解得(负值舍去)，所以，
所以，即是与的公共项，故正确；
对于D：因，
所以，故正确；
故选：ACD.
11. 已知函数，（ ）
A. 函数单调减函数
B. 函数的对称中心为
C. 若对，恒成立，则
D. 函数，与函数的图象所有交点纵坐标之和为20
【答案】BCD
【解析】
【分析】去绝对值分类讨论可得函数解析式，易知在0,+∞以及上是分别单调递减的，即A错误，易知满足，可知B正确，再利用函数单调性以及不等式恒成立计算可得C正确，画出两函数在同一坐标系下的图象根据周期性计算可得D正确.
【详解】对于A，易知当时，，时，
因此可得在0,+∞以及上分别为单调递减函数，即A错误；
对于B，易知函数满足，因此可得关于0,1对称，即B正确；
对于C，由，即，
即在时恒成立，易知在0,+∞上恒成立，
所以可得，解得，即C正确；
对于D,画出函数以及的图象如下图所示：
易知也关于0,1对称，的周期为4，
一个周期与有两个交点，5个周期有10个交点，与在共20个交点，即，故D正确，
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据函数以及都关于0,1成中心对称，再由函数周期性计算可得结果.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. ______.
【答案】
【解析】
【分析】应用对数运算律化简求值即可.
【详解】.
故答案为：−2
13. 已知，则______.
【答案】
【解析】
【分析】利用恒等变换公式以及商数关系进行化简并计算.
【详解】因为
，
而，所以，，
故答案为：.
14. 已知函数，将函数图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象上各点向左平移个单位长度，得到的图象.设函数，若存在使成立，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】求得函数的解析式，进而求得ℎx的解析式，利用导数求得ℎx的最大值.
【详解】将函数y=fx图象上各点的横坐标缩短为原来的得到函数的图象，
再将所得图象上各点向左平移个单位长度，得到，
所以，，
可得ℎx周期为，，
所以，所以或，解得或或，
当，ℎ′x<0，所以ℎx在单调递减，
当，ℎ′x>0，所以ℎx在单调递增，
当，ℎ′x<0，所以ℎx在单调递减，
当，ℎ′x>0，所以ℎx在单调递增，
，，，，
因为存在x∈R使成立，所以
所以，所以实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设，，，为平面内的四点，已知，，.
（1）若四边形为平行四边形，求点的坐标；
（2）若，，三点共线，，求点的坐标.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，利用，可求点的坐标；
（2）利用三点共线，可得，可得，利用数量积可求点的坐标.
【小问1详解】
因为，，，所以，
因为四边形为平行四边形，所以，
设，所以，
所以，所以
【小问2详解】
因为，，三点共线，，
所以设，
又，所以，所以，
又
所以.
16. 设是奇函数，是偶函数，且.
（1）求函数，的解析式；
（2）设，.当时，求的值.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据条件，利用正、余弦函数奇偶性，得到，，联立即可求解；
（2）利用正弦的和角公式、倍角公式及辅助角公式，得到，结合条件得到，再利用特殊角的三角函数值，即可求解.
【小问1详解】
因为①，
为奇函数，为偶函数，
，即②，
联立①②，解得，.
【小问2详解】
因为，
当时，
，，或，
或.
17. 在中，角，，对应的边分别为，，，且.
（1）求；
（2）如图，过外一点作，，，，求四边形的面积.

【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式求解；
（2）解法一：连接，设，由条件求得即，求出，，，由计算即可；
解法二：延长，交于点，则，求出，，由计算即可.
【小问1详解】
∵，
∴根据正弦定理得，
∴，
∴，
，
，，
，.
【小问2详解】
解法一：连接，设，
在和中，，
即，
，，，
四边形的面积.
解法二：延长，交于点，
，，，
，，
，，
四边形的面积.
18. 已知数列的前项和为，，，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，当时，；当时，.
①求数列的前项和；
②当时，求证：.
【答案】（1）
（2）①②证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知条件赋值法列方程组计算求出,再应用，化简得出进而得出即可；
（2）①由得出再应用错位相减法即可求解；②构造数列再根据数列单调性即可证明不等式.
【小问1详解】
在中，分别令
，当时，，
两式相减得出，
，也满足上式
为常数列，
【小问2详解】
①当时，，当时，
时，，
，
，
，
两式相减得出
②，
令，
在上单调递增，注意到时，，
当时，，且
，
.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造数列结合数列的单调性得出即可得证.
19. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若恒成立.
①求实数的取值范围；
②当取最大值时，若（，，，为非负实数），求的最小值.
【答案】（1）答案见解析
（2）①②
【解析】
【分析】（1）分三种情况讨论再应用导函数正负判断函数单调性；
（2）①把恒成立问题转化为最值问题，应用导数求出函数得解；②先构造函数根据函数单调性得出再结合基本不等式求解.
【小问1详解】
当时，，在上单调递增
当时，的单调增区间为，，的单调减区间为
当时，的单调增区间为，；单调减区间为
【小问2详解】
①由恒成立
令，
令，在上单调递增
注意到，当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增，
，，
实数的取值范围为.
②当取最大值时，，
，，
在处的切线，，
构造，
在上单调递增；上单调递减；上单调递增
注意到，，对恒成立
而
当且仅当时取“”，
当时可取“”，
综上： .
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造函数根据函数的单调性结合基本不等式即可求解.