吉林省辽源市2023_2024学年高二数学上学期期中试题含解析

一．单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意要求。）1．直线与直线之间的距离是（    ）A． B． C． D．1．C【分析】直接利用两条平行线的距离公式求解即可．【详解】∵直线不同时为0与直线不同时为0,之间的距离，∴直线与直线之间的距离．故选：C．2．已知直线：，和直线：垂直，则（    ）．A． B． C．或 D．2．C【分析】根据两直线垂直，得到方程，求出得或1.【详解】因为直线和直线垂直，故，解得或1，经检验，符合要求.故选：C3．经过点，且与直线平行的直线方程是（    ）A． B．C． D．3．A【分析】根据题意，设所求直线方程为，将点代入求参数，即得方程.【详解】令所求直线方程为，则，所以，所求直线为（或）.故选：A4．已知直线与平行，则（    ）A．2 B．3 C． D．2或4．A【分析】由直线平行的条件求解即可.【详解】因为，所以，解得或．当时，与重合．故．故选：A5．直线截圆所得的弦长为，则的值为（    ）A．－1 B．1C．3 D．－35．B【分析】利用圆的性质计算即可.【详解】易知圆心为，半径，而直线截圆所得的弦长为等于直径，故直线过圆心，所以有.故选：B6．过圆与圆交点的直线方程为（    ）.A． B．C． D．6．C【分析】联立两圆方程求出交点坐标，再根据两点式求出直线方程，化为一般式可得解.【详解】联立，解得或，所以圆与圆交点为和，所以过两圆交点的直线方程为，即. 故选：C7．若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为7，则到另一个焦点的距离为（    ）A．3 B．4 C．5 D．67．A【分析】利用椭圆的定义列式计算得解.【详解】椭圆的长轴长，而点到椭圆一个焦点的距离为7，所以到另一个焦点的距离为.故选：A8．已知椭圆中，长轴长为10，离心率为，则焦距为（   ）A．5 B．10 C．5 D．58．A【分析】根据椭圆长轴和离心率的概念即可求解.【详解】，所以；又因为，得，所以.故选：A.多选9．如图，在正方体中，分别为的中点，则（    ）A．B．平面C．平面D．直线与直线所成角的余弦值为多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分。）9．AD【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，由空间向量的关系判断空间位置关系，A选项，根据得到A正确；B选项，求出平面的法向量，由得到B错误；C选项，根据，得到直线与直线不垂直；D选项，利用空间向量夹角余弦公式进行计算.【详解】以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则..A选项，因为，所以，A正确.B选项，设平面的法向量为，则，令得，，故，因为，所以与不垂直，则直线与平面不平行，错误.C选项，若平面，则.因为，所以直线与直线不垂直，矛盾，C错误.D选项，，D正确.故选：AD10．关于椭圆，以下说法正确的是（    ）A．长轴长为4 B．焦距为C．离心率为 D．左顶点的坐标为10．ABC【分析】根据椭圆方程确定，再根据椭圆的性质，即可求解.【详解】由条件可知，，，那么，所以长轴长，焦距，离心率，左顶点，故ABC正确，D错误.故选：ABC11．已知圆的方程为，下列结论正确的是（    ）A．该圆的面积为 B．点在该圆内C．该圆与圆相离 D．直线与该圆相切11．BD【分析】首先将圆的方程写为标准方程，得出圆心坐标和半径，对于A，根据圆的面积公式即可判断；对于B，将点代入，判断与的大小，即可得出结论；对于C，求出两圆心之间的距离，判断是否大于两圆半径之和；对于D，根据点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离是否等于半径，即可判断．【详解】，可知圆心为，半径；对于A：由圆的半径，得该圆的面积为，故A错误；对于B：因为，所以点在该圆内，故B正确；对于C：圆的圆心为，半径为1，因为两圆心距离为，且，所以两圆相交，故C错误；对于D：圆心到直线的距离，所以直线与该圆相切，故D正确，故选：BD．12．已知圆：，直线：，则（    ）A．直线在y轴上的截距为1B．直线的倾斜角为C．直线与圆有2个交点D．圆上的点到直线的最大距离为12．ABC【分析】根据截距，倾斜角的定义，判断AB；根据直线与圆的位置关系，即可判断CD.【详解】A.当时，，直线在y轴上的截距为1，故A正确；B.直线的斜率为1，设直线的倾斜角为，，，所以直线的倾斜角为，故B正确；C.圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，所以直线与圆有2个交点，故C正确；D.根据C可知，圆上的点到直线的最大距离为，故D错误.故选：ABC二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）13．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为．13．【分析】根据椭圆的标准方程的形式，列出不等式组，即可求解.【详解】根据题意，要使方程表示焦点在轴上的椭圆，则满足，解得，即实数的取值范围为.故答案为：14．若圆 与圆相外切，则的值为14．2【分析】利用圆与圆的位置关系求解.【详解】圆 的标准方程为：，则其圆心为，半径为 ，因为圆 与圆相外切，所以，解得，所以的值为2，故答案为：215．如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点．则与所成角的余弦值为．15．/【分析】建立空间直角坐标系，求得，从而利用向量的夹角公式求解.【详解】依题意，建立如图所示空间直角坐标系，  则，则，故，所以，即与所成的角的余弦值为.故答案为：.16．圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为．16．【分析】直线和线段AB的垂直平分线的交点是圆心，圆心到A点的距离为半径，可得圆的方程.【详解】圆经过点和，，AB中点为，所以线段AB的垂直平分线的方程是．联立方程组，解得．所以，圆心坐标为，半径，所以，此圆的标准方程是．故答案为：三、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17.求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率。(1)；(2).17．(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】将椭圆改写为标准方程，即可确定、、及长轴、短轴的位置，进而求出(1)、(2)中椭圆的长轴、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率，并画出椭圆的图形.【详解】（1）将化为标准方程为：，所以，，则，所以椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，顶点坐标为、、、，焦点坐标为和，离心率为，椭圆图象如下：  （2）将化为标准方程为：，因为，所以椭圆的焦点落在轴上，所以，，则，所以椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，顶点坐标为、、、，焦点坐标为和，离心率为，椭圆图象如下：  18．已知△ABC的三个顶点A（3，7），B（–2，5），C（–3，–5），点D为AC的中点．（1）求点D的坐标；（2）求直线BD的方程．（3）求△ABD的面积．18．(1) 点D的坐标为（0，1）;(2) 2x+y–1=0;(3)12.【分析】（1）利用中点坐标公式求得点的坐标.（2）利用点斜式求得直线的方程.（3）利用两点间的距离公式求得的长度，利用点到直线的距离公式求得到直线的距离，再利用三角形的面积公式求得面积.【详解】（1）设D（x，y），则，，∴点D的坐标为（0，1）．（2）∵直线BD的斜率为．∴直线BD的方程为：y–1=–2（x–0），即2x+y–1=0．（3）∵，∴A到直线BD的距离为．∴△ABD的面积为．19．如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面ABCD，，，E是PD的中点．    (1)求证：平面PAD；(2)求二面角的余弦值：(3)求B点到平面EAC的距离．19．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标运算，得到与；（2）分别求出平面EAC的法向量与平面ACD的法向量，利用空间向量中二面角的计算公式，求出二面角的余弦值；（3）利用空间向量中点到面的距离公式，列出计算公式，计算可得答案.【详解】（1）因为平面ABCD，AB， 平面ABCD，所以，，由于四边形ABCD是矩形，所以，由此，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，，因为，所以，由于，所以，由于，AD，平面PAD，所以平面PAD；（2）由（1）得，设平面ACE的法向量，，，则，即，不妨令，可得，且为平面ABC的一个法向量，于是，所以平面EAC与平面ACD夹角的余弦值为；（3）设B点到平面ACE的距离为d，由（2）可知平面ACE的法向量，，设B点到平面EAC的距离为d，则，所以B点到平面EAC的距离为.20．已知圆，直线l过点.(1)求圆C的圆心坐标及半径；(2)若直线l与圆C相切，求直线l的方程.20．(1)圆C的圆心坐标是，半径为2(2)或【分析】（1）化成圆的标准方程可得答案；（2）直线l的斜率不存在时可直接得答案；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，利用点到直线的距离公式计算可得答案.【详解】（1）将圆C的方程化成标准式方程得，圆C的圆心坐标是，半径为2；（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程是，满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，由圆心到直线l的距离等于圆C的半径，可得，解得，故直线l的方程是.综上所述，直线l的方程是或.21．如图，在四棱锥中，平面，，，且.  (1)求证：；(2)若点M为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．21．(1)证明见解析(2)【分析】（1）先由勾股定理逆定理证明，进一步由已知条件证明，由线面垂直判定定理可证明平面，进而即可得证.（2）建立适当的空间直角坐标系，设平面的法向量为，直线与平面所成角为，先后分别求出后，由公式即可求解.【详解】（1）四边形是直角梯形，，，又 ，是直角三角形，即；平面平面， 又平面，平面，又平面，．（2）由（1）可知，，又平面平面，所以，所以两两互相垂直，故以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．  则由题中线段长度可知，∴，．设平面的法向量为，则即，令，则解得，于是，取．设直线与平面所成角为，则；故直线与平面所成角的正弦值为．22．已知椭圆的一个焦点为，且离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)不过原点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值及此时直线的方程.22．(1)(2)最大值为，方程为【分析】（1）由焦点和离心率即可知，从而可得椭圆方程；（2）设出直线的方程，联立椭圆方程，由点到直线的距离公式结合韦达定理，把面积表示为函数，再用基本不等式即可求解.【详解】（1）由已知得，由离心率，得，椭圆的方程为.（2）设，联立可得，，直线与椭圆交于两点，，解得，由韦达定理可得，由弦长公式可得，点到直线的距离为，，当且仅当，即时取等号，面积的最大值为，此时直线的方程为.