备战2025年高考数学模拟卷六

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．2 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）
【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
设的公比为，
由，（1分）
可得，（2分）
解得：或（舍去）.（4分）
故，（5分）
.（6分）
（2）由（1）可得.（7分）
数列bn的前项和，①（8分）
则.②（9分）
由①②得（10分）
，
即.（12分）
由，
可得，得证.（13分）
16．（15分）
【详解】（1）取的中点，连接，
又因为等边三角形，所以，（1分）
又因为面平面，平面平面，
面，所以平面，（2分）
又因为平面，平面，平面平面，
所以，（4分）
又点为中点，所以且，（5分）
又，
所以，所以四边形是平行四边形，（6分）
所以，所以平面，平面，
所以平面平面；（7分）
（2）由（1）可知平面，平面，所以，
又因为，，所以，
以为坐标原点，分别以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系． （8分）

不妨设正的边长为2，
则，
，（9分）
设平面的法向量为，
则，不妨令，则，
所以平面的法向量为，（11分）
设平面的法向量，
则，不妨令，则，
所以平面的法向量为，（13分）
所以，（14分）
所求二面角的正弦值为．（15分）
17．（15分）
【详解】（1）假设四个选项分别为，其中错误选项为，
总的选法共有10种，分别为，（2分）
其中得分的选法为，共种，（4分）
故甲同学得分的概率为；（5分）
（2）第10题乙同学三个选项中随机猜选两项，用分别表示第10题乙同学得分，
第题乙同学四个选项中随机猜选一项，用分别表示第题乙同学得分，
则，，，
，，，（9分）
从而第题得分总和的可能取值为，
，
，
，
，
，
，
，
，（13分，列式和结果正确即可给分）
的分布列为：
（14分）
故数学期望为.（15分）
18．（17分）
【详解】（1）解：的定义域为，．（1分）
当时，，在上单调递增；（3分）
当时，令，得或（舍去），
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．（5分）
（2）当时，，，
由（1）知时，在上单调递增，（6分）
当时，可证．
不妨设，要证，即证，即证，（7分）
因为，所以即证．
令，其中，
（8分）
因为，所以，所以在上单调递增，（9分）
所以，所以，所以．
当时，因为，所以，
所以，所以．
综上，．（10分）
（3），由，得，
即，所以对任意的，恒成立，（11分）
等价于
令，
则，（12分）
令，则，所以在上单调递增，
又，，所以，
所以存在，使得，（13分）
所以，即，所以，
所以，（14分）
令，，所以在上单调递增，
因为，所以（15分）
又时，；时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，（16分）
所以，
所以，所以的取值范围是．（17分）
19．（17分）
【详解】（1）解：在双曲线的方程中，令，解得，（1分）
因为直线为的等线，显然点在直线的上方，故有，
又F1-c,0、，有，，，（3分）
解得，，（4分）
所以的方程为．（5分）
（2）解：设Px0,y0，由题意有方程为，①
渐近线方程为，（6分）
联立得，，
故，（7分）
所以是线段的中点，因为、到过原点的直线距离相等，
则过原点点的等线必定满足：、到该等线距离相等，且分居两侧，
所以该等线必过点，即直线的方程为，
由，解得，故．（8分）
所以.（9分）
所以，（10分）
所以，所以．（11分）
（3）证明：设，由，所以，，
故曲线的方程为，（12分）
由①知切线为，也为，即，即．（13分）
易知与在的右侧，在的左侧，分别记、，
到的距离为、、，
由（2）知，，
所以，（15分）
由得，（16分）
因为，
所以直线为的等线．（17分）
1
2
3
4
5
6
7
8
B
D
C
B
C
B
D
A
9
10
11
BC
AC
AC
0
2
3
4
6
7
8
9