2025届陕西省高考适应性检测(一)数学试卷(解析版)

这是一份2025届陕西省高考适应性检测(一)数学试卷(解析版)，共13页。试卷主要包含了 已知集合，，则．， 已知， 已知平面向量满足，且，则， 已知，则， 下列结论正确的有等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意， ；
故选：C.
2. 已知（其中为虚数单位），则复数（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】又条件可知.
故选：A
3. 已知平面向量满足，且，则（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】B
【解析】因为，故，故，
故，故，
故选：B.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
所以，
所以
故选:B.
5. 已知等腰直角三角形的斜边长为，将该三角形绕所在直线旋转一周形成一个几何体，则这个几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如下图所示：
因为等腰直角三角形斜边长为，
将该三角形绕所在直线旋转一周形成一个几何体，
则这个几何体是由两个底面半径为，高均为的圆锥拼接而成，
故该几何体的体积为.
故选：C.
6. 某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在内.现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示观察图形，则下列说法错误的是（ ）
A. 频率分布直方图中第三组的频数为15人
B. 根据频率分布直方图估计样本的众数为75分
C. 根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分
D. 根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分
【答案】D
【解析】分数在内的频率为
，
所以第三组的频数为（人），故A正确；
因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分，故B正确；
因为，，
所以中位数位为：，故C正确；
样本平均数的估计值为：
（分），故D错误.
故选：D.
7. 已知函数，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，
由函数在上单调递减.且，，解得：，
因为，当且仅当时，有满足要求的取值，即.
故选：C.
8. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则在区间内的所有零点之和为（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】因为是定义在上的奇函数，所以；
因为，所以的周期且，
所以，
因为当时，，所以，所以，
所以，
故在区间内的零点为，其零点之和为，
故选：A.
二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列结论正确的有（ ）
A 若随机变量，，则
B. 若，则
C. 已知回归直线方程为，且，，则
D. 已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11，若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为22
【答案】AC
【解析】随机变量，，则，正确；
，则，故，错误；
将代入回归直线，计算得到，正确；
设丢失的数据为，则平均数为，众数为，
当时，中位数为，故，；
当时，中位数为，则，；
当时，中位数为，故，；
故可能数据的和为，错误；
故选：.
10. 已知函数在处取得极大值，则下列结论正确的是（ ）参考数据：．
A.
B.
C. 在处取得极小值
D. 在区间的最小值为
【答案】BCD
【解析】对A,B，，故，
由题意，，
解得，，故A错误，B正确；
对C，故，.
令可得或，令可得，
故在与上单调递增，在上单调递减，故在处取得极小值，故C正确；
对D，由C，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
又，，故D正确.
故选：BCD
11. 2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）的正视图近似伯努利双纽线.定义在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹成为双纽线，已知点是双纽线上一点，下列说法正确的有（ ）．

A. 双纽线关于原点中心对称；
B. ；
C. 双纽线上满足的点有两个；
D. 的最大值为.
【答案】ABD
【解析】对于A，因为定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于点的轨迹称为双纽线，
所以，
用替换方程中的，原方程不变，所以双纽线关于原点中心对称，所以A正确，
对于B，设
∵，，
∴，
∴，∴，故B正确；
对于C，由知在的垂直平分线（方程为）上
将代入得
即，解得，
∴这样的点只有一个，故C错误；
对于D，因为，
所以
，
由余弦定理得，
所以，
所以的最大值为，故D正确；
故选：ABD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设为双曲线上一点，两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一､四象限.若，则的面积为__________.
【答案】2
【解析】双曲线的渐近线为，由题设可设，
而，故为的中点，故，
而在双曲线上，故即，
又到渐近线的距离为，
到渐近线的距离为，
故的面积为
，
故答案为：2.
13. 若直线与曲线相切，则_________．
【答案】
【解析】设直线与曲线相切于点，
由得：，，，
又，，解得：，
.
14. 安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行毕业生实践，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有_______种；其中学生甲被单独安排去杭州的概率是_________.
【答案】
【解析】先把5人分为三组，每组的人数可能为1,1,3或者1,2,2，
当每组的人数为1,1,3时，共有种情况，
当每组的人数为1,2,2时，共有种情况，
所以把5人分为三组共有种情况，
再将三组人员分配到三个城市，有种，
其中男生学生甲被单独安排去杭州的情况为种，
所以学生甲被单独安排去杭州的概率是.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在中，角的对边分别为、、，若，且．
（1）求证：成等比数列；
（2）若的面积是1，求边的长．
（1）证明：，
∴
在中，由正弦定理得，，
∵，∴，则，
∴成等比数列；
（2）解：，则 ，
由(1)知， ，联立两式解得 ，
由余弦定理得， ，
∴.
16. 已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）已知直线满足且与椭圆E相交于不同的两点A，B，若以线段为直径的圆始终过点，试判断直线l是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
解：（1）由题意得，，
又，解得，，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设，，
联立得，，
则，，，
因为以线段为直径的圆经过点，所以，
，，
，即，解得或，满足，
因为，所以，直线方程为，恒过点，
所以直线过定点，定点为.
17. 如图1，在直角梯形中，，，，点是 边的中点，将沿折起，使平面平面，连接，，得到如图2所示的几何体.
（1）求证：平面；
（2）若，二面角的平面角的正切值为，求二面角的余弦值.
解：（1）因为平面平面，平面平面，
又，所以平面，
因为平面，所以，
又因为折叠前后均有，，
所以平面；
（2）由（1）可知平面，所以二面角的平面角为，
又平面，平面，所以，
依题意，
因为，所以，设，则，
由题意知，所以，即，
解得，故，，
，
如图所示，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
由（1）知平面的法向量，
设平面的法向量，
由 得 ，令，得 ，，
所以 ，
所以，
由图知二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
18. 已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）若，证明：．
解：（1）由题意可知，当时，，，
则，令，则，当时，；
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
（2）由条件得，
令，则，
①当，即时，在上，，即单调递增，
所以，即，
在上为增函数，，
时满足条件．
②当时，令，
解得，在上，，单调递减，
当时，有，即，则在上为减函数，，不合题意．
综上，实数的取值范围为．
（3）由（2）得，当且时，，即，
要证不等式，只需证明，
只需证明，只需证，
设，则，
所以当时，恒成立，故在0,+∞上单调递增，
又．恒成立，原不等式成立．
19. 若数列的相邻两项或几项之间的关系由函数确定，则称为的递归函数．设的递归函数为．
（1）若，（），证明：为递减数列；
（2）若，且，的前项和记为．
①求；
②我们称为取整函数，亦称高斯函数，它表示不超过的最大整数，例如，．若，求．
（1）证明：若，显然．
又，所以，，，，
所以，．
因为，，所以，
，所以，所以是递减数列．
（2）解：①由题意得，
又，所以，所以，
所以是以为首项，6为公比的等比数列，
则．
②由①得，所以．
当时，，所以；
当时，．
所以当时，，
所以当时，，
又，所以，
所以，，所以，
所以．