2025届浙江省湖州、衢州、丽水等3地市高三(上)11月教学质量检测数学试卷(解析版)

这是一份2025届浙江省湖州、衢州、丽水等3地市高三(上)11月教学质量检测数学试卷(解析版)，共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，，
所以，
所以，
故选：B．
2. 已知复数（其中是虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，则，
因此，.
故选：C.
3. 双曲线的另一种定义：动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是常数，则点的轨迹是一个双曲线.动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是，则点的轨迹方程为（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】设，依题意，，化简整理得，
所以点的轨迹方程为.
故选：B
4. 为研究光照时长（小时）和种子发芽数量（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图如图所示，并对，进行线性回归分析.若在此图中加上点后，再次对，进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ）
A. ，不具有线性相关性B. 决定系数变大
C. 相关系数变小D. 残差平方和变小
【答案】C
【解析】对于A，加入点后，变量与预报变量相关性变弱，
但不能说，不具有线性相关性，所以A不正确
对于B，决定系数越接近于1，拟合效果越好，所以加上点后，决定系数变小，故B不正确；
对于C，从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，所以加上点后，回归效果变差.
所以相关系数的绝对值越趋于0，故C正确；
对于D，残差平方和变大，拟合效果越差，所以加上点后，残差平方和变大，故D不正确；
故选：C.
5. 已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】设中点为，则，即，故边为圆的直径，
则，又，则为正三角形，
则有，
向量在向量上的投影向量，
故选：A
6. 古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一.如图是一个半径为的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，当秒时，（ ）

A. B. C. D. 4
【答案】A
【解析】由已知，，
经过45秒后，即旋转了个周期，因此，如图，
所以，
故选：A．

7. 已知长方体，是棱的中点，平面将长方体分割成两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】取的中点为，连接，如下图所示：
由长方体性质可得，因此平面即为平面，
根据长方体性质，由相似比可知交于同一点，
所以长方体被平面割成的体积较小部分为三棱台，
设长方体各棱长为，因此长方体的体积为；
再由棱台体积公式可得
，
可得较大部分的体积为；
因此体积较小部分与体积较大部分的体积之比为.
故选：D
8. 已知函数，，若有两个零点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，得，而，则，，
，因此，解得，
由，得或，于是，
对于A，，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】，当且仅当时取等号，A选项正确；
当且仅当时取等号，B选项错误；
∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，C选项正确；
∵，∴，∴，D选项正确.
故选：ACD.
10. 现有一个抽奖活动，主持人将奖品放在编号为1、2、3的箱子中，甲从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子（主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子）.记表示第号箱子有奖品，表示主持人打开第号箱子.则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率增大
D. 若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率不变
【答案】BC
【解析】对于A，甲选择1号箱，奖品在2号箱里，主持人打开3号箱的概率为1，即，A错误；
对于B，，，，，
则，
因此，B正确；
对于CD，若继续选择1号箱，获得奖品的概率为，主持人打开了无奖品的箱子，
若换号，选择剩下的那个箱子，获得奖品的概率为，甲换号后中奖概率增大，C正确，D错误.
故选：BC.
11. 如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，是线段上的动点（含端点），则下列命题正确的是（ ）

A. 三棱锥的体积为定值
B. 在直三棱柱内部能够放入一个表面积为的球
C. 直线与所成角的正切值的最小值是
D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于A选项，如下图所示，连接交于点，连接，

因为四边形为平行四边形，则为的中点，
又因为为的中点，则，
因为平面，平面，则平面，
因为，则点到平面的距离等于点到平面的距离，为定值，
又因为的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，A对；
对于B选项，因为，，则，
且表面积为的球的半径为，
的内切圆半径为，
所以，直三棱柱内部不能放入一个表面积为的球，B错；
对于C选项，因为平面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则A2,0,0、、、、，
设，其中，
则，
设直线与所成角为，
所以，，
当时，取最大值，此时，取最小值，取最大值，
此时，，，
所以，直线与所成角的正切值的最小值是，C对；
对于D选项，点关于平面的对称点为，则，

，，
所以，，则，
因为平面，，则平面，
因为平面，则，
将平面和平面延展为一个平面，如下图所示：

在中，，，，
由余弦定理可得
，
当且仅当、、三点共线时，取最小值，
故的最小值为，D对.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在的展开式中，的系数为，则______.
【答案】5
【解析】，
令，则，
∴.
13. 已知椭圆：，过左焦点作直线与圆：相切于点，与椭圆在第一象限的交点为，且，则椭圆离心率为______.
【答案】
【解析】设椭圆右焦点为，连接，如下图所示：
由圆：可知圆心，半径；
显然，且，
因此可得，所以，
可得；
即可得，又易知；
由余弦定理可得，
解得，
再由椭圆定义可得，即，
因此离心率.
14. 若，已知数列中，首项，，，则______.
【答案】158
【解析】，则，
所以，整理得，
即是常数数列，又，
所以，，
，
则，
所以，
又，所以，，
所以，
所以．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，平面，点是的中点，点在线段上且，为三角形的重心.
（1）求证：平面；
（2）当的长为何值时，二面角的大小为.
解：（1）连接交于点，由重心性质可得是的中点，
又点是的中点，点在线段上且，可知是的重心；
连接，可知点在上，如下图所示：
由重心性质可得，，所以；
又平面，平面，
所以平面；
（2）因为底面是边长为2的等边三角形，所以；
又平面，且分别为的中点，所以可得平面；即两两垂直；
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
设的长为，
则可得，所以；
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，可得，
即可取，
易知平面的一个法向量为；
所以，解得或（舍）；
即当的长为3时，二面角的大小为.
16. 在中，角对应的的三边分别是，，，且.
（1）求角的值；
（2）若，，求的面积.
解：（1）根据题意由正弦定理可得，
整理可得，
即，
所以；
可得，
又，所以，
又，因此.
（2）由三角形内角关系可得，
由可得，解得或；
当时，，又，所以两角均为钝角，不合题意；
因此，；
又，可得，同理；
由正弦定理可得，可得，
同理
因此的面积为.
17. 已知数列的首项是1，其前项和是，且，.
（1）求，的值及数列的通项公式；
（2）若存在实数，使得关于的不等式，有解，求实数取到最大值时的值.
解：（1）∵，∴
当时，，
即，
当时，
也满足，
∴，
∴，.
（2）由（1）可知，
∴，
∴
令，
，当时，，当时，
∵
∴的最大值为70，即当或时，取得最大值70，
∴取得最大值时，取4或5.
18. 已知函数.
（1）当时，求曲线y=fx在点处切线方程；
（2）若，，证明：；
（3）若，恒有，求实数的取值范围.
解：（1）时，，
，
，又，
所以切线方程为，即；
（2），
时，是递增函数，
因此，，
又，所以，在上递减，
，
因为，所以，
从而；
（3），，
当时，，在上是减函数，
当时，，因此不可能恒成立，
时，由得，
记，，
则有两个实根，一根小于1，一根大于1，
大于1的根为，易知它是关于的减函数，
注意到在上是增函数，且，
即时，，时，，
所以时，，递减，时，，递增，
所以，
时，，此时，
记，在上递减，在上递增，且，
因此
当时，，，
当时，，，
综上，时，恒成立，所以的取值范围是．
19. 直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点0,1的直线族（不包括直线轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
（1）圆：是直线族的包络曲线，求，满足的关系式；
（2）若点不在直线族的任意一条直线上，求的取值范围及直线族的包络曲线的方程；
（3）在（1）（2）的条件下，过曲线上动点向圆做两条切线，，交曲线于点，，求面积的最小值.
解：（1）由题可得，直线族为圆M的切线，
故满足，，所以满足．
（2）将点代入，可得关于的方程，
因为点不在直线族上，故方程无实数解，
所以，那么，故，因为区域的边界为抛物线，
下证：是的包络曲线．
证明：联立直线与，
可得，所以，
故直线族：为抛物线的切线.
因此直线族的包络曲线的方程为.
（3）设Ax1,y1，Bx2,y2，，
则，故
由直线与相切，所以，
整理得，①
同理可得，，②
由①②可得直线．
直线与联立得，（显然）
可得，由韦达定理可得．
因此，
由于点到直线的距离，
所以面积为，
令，则，
由，解得，
当，，当，，
所以在0,4上单调递减，在上单调递增，
那么（当且仅当时取到），
所以面积的最小值是.