2024年山西省晋中市和顺县多校中考三模数学试卷(解析版)

这是一份2024年山西省晋中市和顺县多校中考三模数学试卷(解析版)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中）
1. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】D
【解析】
故选D．
2. 学校安全教育平台秉承生命至上的理念，逐步实现安全教育常态化、科学化和系统化，提高师生安全防范意识和能力，最大限度地预防安全事故发生和减少安全事故对中小学生造成的伤害，保障中小学生健康成长．在下列安全图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A. 注意安全B. 水深危险
C. 急救中心D. 当心火灾
【答案】C
【解析】四个选项中图形绕某一点旋转后的图形分别为：
∴C中图案是中心对称图形
故选：C
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A中，正确，故符合要求；
B中，错误，故不符合要求；
C中，错误，故不符合要求；
D ，错误，故不符合要求；
故选：A．
4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】关于原点的对称点坐标为，
点关于原点对称的点的坐标为，
故选：B．
5. 如图，将一个长方形纸条折成如图所示形状，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设如下图所示，
∵纸条的两条对边互相平行，∴，∴，
根据折叠的性质可得：，∴，
故选：C．
6. 如图的几何体是圆柱的正中央挖去一个小圆柱形成的一个空心几何体，其主视图为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】从正面看外边是一个大长方形，大长方形的里面是一个小一些的长方形，内长方形的宽是虚线．
故选：C．
7. 元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文，绫布和罗布各出售一尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，则下列方程正确的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意得，
故选：B．
8. “五一”假期，前来参观山西博物院的游客络绎不绝，在文创体验区，不少人手拿刻有特色文物的印章，将其印在自己精挑细选的明信片上．现有“晋候鸟尊”“鸮自”“兽形觥”“雁鱼铜灯”四枚特色文物的印章（除图案外，其他都相同），小乐从中随机抽取一枚印章（不放回），再从中随机抽取一枚印章，则小乐抽到的两枚印章的图案恰好是“晋候鸟尊”和“兽形觥”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设“晋候鸟尊”“鸮自”“兽形觥”“雁鱼铜灯”四枚特色文物的印章依次记为，，，，
根据题意画树状图，如图所示，

从上图可以看出，共有12种等可能的情况，其中小乐抽到的两枚印章的图案恰好是“晋候鸟尊”和“兽形觥”的情况有2种．
∴小乐抽到的两枚印章的图案恰好是“晋候鸟尊”和“兽形觥”的概率为：．
故选：A．
9. 如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡滚下，其速度每秒增加的值相同，若用表示小球滚动的时间，表示小球的速度，则下列图象中，能表示小球在斜坡上时与之间的函数关系的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵一个小球由静止开始沿一个斜坡滚下，其速度每秒增加的值相同，
∴定值，∴v与t是正比例函数的关系．故选：C．
10. 如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，且这条弧恰好也经过点，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】如图，连接，
∵以点为圆心，的长为半径画弧交于点，∴，
∵以点为圆心，的长为半径画弧交于点，且这条弧恰好也经过点，
∴，∴，
∴是等边三角形，∴，
∵，，∴，，
∴，，∴为中点，
∴，
∴，
故选：D．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 计算：_______．
【答案】
【解析】．
12. 近年来，中国航天取得举世瞩目的成就，“嫦娥”揽月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“北斗”指路……一个个首次，不断刷新中国人在太空的印记；一次次腾飞，见证了我国从航天大国迈向航天强国的奋进足迹．5月3日长征五号遥八运载火箭飞行约37分钟后，器箭分离，将嫦娥六号探测器成功送人近地点高度200公里，远地点高度约38万公里的预定地月转移轨道．数据38万用科学记数法表示为___________．
【答案】
【解析】38万．
故答案为：
13. 2024年是长征出发90周年暨新中国成立75周年．如图，这是一个五角星图案，将此图案绕中心旋转一定角度后要与原图重合，则至少旋转___________．
【答案】72
【解析】由题意得：至少旋转．
14. 七巧板起源于中国，又称七巧图、智慧板．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，它将正方形分割成七块板（图1），而这七块板可以拼成许多图形．实验小组将七块板拼成火箭的形状（图2），若图1的大正方形的边长为，则火箭的高度为___________．

【答案】
【解析】如图，连接，
由题意知，，，，
∴图2中的竖直高度为，4的竖直高度为，3的竖直高度为，7的竖直高度为，
∴火箭高度为，
故答案为：．
15. 如图，的顶点在矩形的对角线上运动，连接．若，，则的最小值为___________．

【答案】
【解析】如图，过点作于点，连接．

∵，
∴四点共圆，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，且是定值，
点在射线上运动，
∴当时，的值最小．
四边形是矩形，
∴，
由勾股定理得，，
∴．
∵，
∴，
由勾股定理得，，
的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
解：（1）原式．
（2）原式
．
当时，原式．
17. 随着科技的发展，人工智能已经席卷多个行业．某商场销售甲、乙两种不同型号的智能扫地机器人，甲型号智能扫地机器人每台的实际售价比进价高，乙型号智能扫地机器人每台的实际售价比进价高，甲型号智能扫地机器人每台的进价比乙型号智能扫地机器人每台的进价高100元，甲型号智能扫地机器人每台的实际售价比乙型号智能扫地机器人每台的实际售价高70元．分别求甲型号智能扫地机器人和乙型号智能扫地机器人每台的进价．
解：设乙型号智能扫地机器人每台的进价为元，则甲型号智能扫地机器人每台的进价为元．
由题意可得，
解得，．
答：甲型号智能扫地机器人每台的进价为600元，乙型号智能扫地机器人每台的进价为500元．
18. 某校为了有效提升学生的综合素质，同时减轻学生课业负担，决定在全校开展丰富多彩的课外活动，经研究，确定体育、社会实践、文化艺术、科技创新和读书五类项目，并在组织活动前进行了初步调查，调查要求只能从五类项目中选择最感兴趣的一项．现随机抽查了名学生，并将其调查结果绘制成如下不完整的统计图．请解答下列问题：
（1）求的值及“科技创新”所对应的扇形圆心角的度数．
（2）补全条形统计图．
（3）已知该校共有1000名学生，请你估计该校选择“文化艺术”的学生人数．
（4）根据统计图中的数据，请你针对课外活动提出一条合理化建议．
解：（1）∵选择“体育”的有21人，占，
，
，
∴“科技创新”所对应的扇形圆心角的度数为．
（2）选择“社会实践”的学生人数为．
补全条形统计图如下：
（3）．
答：该校选择“文化艺术”的学生约有260人．
（4）对于课外活动，我认为学校要加强科技创新宣传，并提供相应条件，促进科技创新活动的开展．
19. 山西晋城景德桥，又名沁阳桥、西关大桥，是山西晋城市城区通往阳城、沁水的交通要道，是继赵州桥之后我国现存历史悠久的古代珍贵桥梁之一，其主拱的结构近似为圆弧形，某校“综合与实践”小组的同学为测量景德桥的主拱所在圆的半径，撰写了如下不完整的实践报告：
解：设主拱所在的圆为，作直径，连接，如图所示：
则，
在中，，
，，
，
答：景德桥的主拱所在圆的半径约为．
20. 某汽车监测站用一种一氧化碳检测仪测量家用燃油汽车尾气中一氧化碳的含量，这种检测仪的电路图如图1所示，其工作原理为当尾气中一氧化碳的浓度增加，气敏电阻的阻值变小，电流随之增大，即所显示的一氧化碳含量就越高．已知气敏电阻的阻值随着尾气中一氧化碳的含量变化的关系图象如图2所示，为定值电阻，电源电压恒定不变．
（1）根据图2可以判断气敏电阻与尾气中一氧化碳的含量之间成___________函数，其函数解析式为___________．
（2）若某家用燃油汽车的气敏电阻为，求该家用燃油汽车尾气中一氧化碳的含量．
（3）若家用燃油汽车尾气中一氧化碳的含量不超过方可达到环保标准，请直接写出该家用燃油汽车的气敏电阻应控制在什么范围．
解：（1）由图2可知，图象上的点有，
∴，即，
∴R与β之间成反比例函数，解析式为：．
故答案为：反比例函数，．
（2）在中，当时，，解得，
该家用燃油汽车尾气中一氧化碳的含量为．
（3）根据题意得，，
由得，,∴，
∴.
21. 阅读与思考
下面是小刚同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
任务：
（1）填空：材料中的依据1是指___________；依据2是指___________．
（2）将上述方法的证明过程补充完整．
（3）如图3，在梯形中，，，，以，分别为边构造正方形、，连接，取线段的中点为，连接，则的面积为___________．
图3
解：（1）由题意得：依据1：两直线平行，内错角相等．
依据2：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）；
（2）补充证明为：，，
是的中点，
，
是的中位线，
，，
，
，，，
，．
（3）如图，过点作直线于点，过点作直线于点，过点作直线于点，过点作直线于点，取的中点为，连接．
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
()，
，
同理可证：，
．
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
四边形是梯形，为的中点，为的中点，
为梯形的中位线，
，，
，
，
．
22. 综合与实践
问题情境：
在“综合与实践”活动课上，老师给出了一张如图1所示的正方形纸片，点在线段上，点在线段上，且满足，连接．
数学思考：
（1）线段与的数量关系为___________，位置关系为___________．
猜想证明：
（2）如图2，连接交于点，将绕点顺时针旋转，取线段的中点并记为，连接，猜想线段与之间的数量关系，并说明理由．
拓展探究：
（3）在（2）的基础上继续将绕点顺时针旋转，若，当三点共线时，直接写出线段的长．
解：（1）．理由如下：
连接，如图，
∵四边形为正方形纸片，
∴， ，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
则
（2）．
理由：如图1，连接．
图1
由（1）知，和都是等腰直角三角形．
是的中点，
，
，
，
，
，
，
．
在中，，
，
．
（3）线段的长为或．
情况1：如图2，当点在线段上时，
图2
，
．
在中，．
是的中点，
．
，且点同一条直线上，
，
在中，，
．
，
．
情况2：如图3，当点在线段上时，
图3
，
，
在中，．
是的中点，
．
，且点在同一条直线上，
．
在中，，
．
，
．
23. 综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，点的坐标为，直线与抛物线交于，两点．
（1）求拋物线的函数表达式及点的坐标．
（2）求的值和点的坐标．
（3）是第四象限内拋物线上的动点，点的横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，过点作于点．
①当是线段的三等分点时，求点的坐标；
②连接，，，在点运动的过程中，是否存在？若存在，直接写出的长；若不存在，请说明理由．
解：（1）将点，点代入，
得，解得，抛物线的函数表达式为，
点的坐标为．
（2）将点代入，解得，
联立，解得（舍去），，
点的坐标为．
（3）①由题意可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
．
是线段的三等分点，
或．
当时，即，解得，（舍去），
点的坐标为．
当时，即，解得，（舍去），
点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
②存在，的长为．
如图，过点作轴，过点作轴，令直线与轴的交点为，点关于直线对称的点为，
，，
，，，
四边形是正方形．
，
．
由正方形的对称性可知，
．
把代入，得，
点在抛物线上，
当点与点重合时，即满足，
．测量对象
景德桥的主拱所在圆的半径
成员
组长：×××．组员：×××，×××，×××
测量工具
测量角度的仪器，皮尺等
测量方案
将主桥拱记为，弦为水平面，设主拱所在圆的半径为，在实地勘测拱桥后，“综合与实践”小组在上取了一点
测量示意图
测量数据
，求半径（结果精确到0.1，参考数据，，，，，，
反思
……
梯形的中位线
如图1，在梯形中，，，是的中点，是的中点，连接，则叫作梯形的中位线，并满足，．
图1 图2
证明：如图2，连接并延长，交的延长线于点．
，
（依据1）．
是的中点，
．
，，，
（依据2），
……