2024~2025学年江苏省连云港市赣榆区高二(上)11月期中学业水平质量监测数学试卷(解析版)

这是一份2024~2025学年江苏省连云港市赣榆区高二(上)11月期中学业水平质量监测数学试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了考试结束，只交答题卡， 已知直线，则下列结论正确是， 古希腊著名数学家阿波罗尼斯等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将本人的学校、班级、姓名、考试号填在答题卡上.
2.将每题的答案或解答写在答题卡上，在试卷上答题无效.
3.考试结束，只交答题卡.
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.）
1. 已知抛物线上一点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】点坐标代入抛物线的方程得，解得.
故选：A
2. 已知圆过三点，则的圆心和半径分别为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设圆的标准方程为，其中为圆心坐标，为半径.
将，代入，得到，
展开整理可得，.
将，代入，得到，
展开整理可得，.
将，代入，得到，
展开整理可得，.
三个式子联立解得，，，.
则所以圆心坐标为，半径为.
故选：D.
3. 方程表示椭圆，则的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. D.
【答案】B
【解析】由于方程表示椭圆，
所以，解得或.
故选：B
4. 已知双曲线的离心率为4，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】依题意，
解得，所以渐近线方程为.
故选：D
5. 已知圆和圆相交于，两点，则下列结论中错误的是（ ）
A. 两圆相交B. 直线AB的方程为
C. 两圆有两条公切线D. 线段AB的长为
【答案】B
【解析】圆的圆心是，半径为，圆的圆心是，半径为，
圆心距为，所以两圆相交，A选项正确，公切线有条，C选项正确.
由、两式相减并化简得，
B选项错误.
到直线的距离为，
所以，D选项正确.
故选：B
6. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，河岸线所在直线方程为，若将军从点处出发，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短路程为（ ）
A. B. C. 4D. 2
【答案】B
【解析】圆的圆心为，半径，
设关于直线对称点为，
则，解得，则，
，
所以“将军饮马”的最短路程为.
故选：B

7. 双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为是面积为3的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设，
，由，
由，解得，
因，所以，求得，即，
由，解得，
由正弦定理可得：，
则由得，
由得，
则，
由双曲线第一定义可得：，，
所以双曲线的方程为.
故选：A
8. 已知A，B，C，D是椭圆上四个不同的点，且是线段的交点，且，若，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设，而，
因为，故，
即，
所以，则，
又Ax1,y1,Bx2,y2都在椭圆上，
故①，且，
即②，
①②两式相减并化简得：，
即③，
同理可得：④，
④－③得：，
所以，
因为，所以直线l的斜率为.
故选：D
二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知直线，则下列结论正确是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 当时，直线的倾斜角为
C. 当时，直线的斜率为0
D. 当时，直线与直线AB垂直
【答案】AC
【解析】直线，
当时，，所以直线恒过定点，A选项正确.
时，，斜率为，倾斜角为，B选项错误.
时，，直线的斜率为，C选项正确.
时，，斜率为，
直线的斜率为，，
所以直线与直线不垂直，D选项错误.
故选：AC
10. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，.点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（ ）
A. 曲线的方程为
B. 过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率范围是
C. 曲线上的点到直线的最小距离为
D. 过点作曲线的一条切线，切点为F，则等于
【答案】ABD
【解析】设Px,y，由，得，
而，
所以，
整理得，所以A选项正确.
B选项，圆的圆心为，半径为，
设直线的方程为，
2,0到直线的距离，
，两边平方并化简得，
解得，所以直线的斜率范围是，B选项正确.
C选项，2,0到直线的距离为，
所以曲线上的点到直线的最小距离为，C选项错误.
D选项，，，，
所以，D选项正确.
故选：ABD

11. 已知双曲线分别为双曲线左、右焦点，焦距为2c，为该双曲线上异于顶点的任一点，双曲线E的左、右顶点分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若直线与双曲线的一个交点的横坐标恰好为c，则双曲线的离心率是
B. 若双曲线的离心率为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积等于（点为坐标原点），则实数的值等于
C. 设直线PA、PB的斜率分别为，则
D. 若在第一象限，内切圆圆心的横坐标为
【答案】ACD
【解析】A选项，，代入得
，
解得（负根舍去），所以，
两边除以得，解得，A选项正确.
B选项，双曲线左焦点到一条渐近线的距离为，
所以，所以，
由于双曲线的离心率，所以，
所以，所以B选项错误.
C选项，设，则，
，，
所以C选项正确.
D选项，设内切圆圆心为，内切圆于相切于点，如图所示，
则，
且，
由于，所以，
而，所以，所以，
所以内切圆圆心的横坐标为，D选项正确.
故选：ACD
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知直线，直线，若，则______.
【答案】
【解析】若，则，解得，
当时，直线，直线，两直线重合，不符合.
当时，直线，直线，，符合.
故答案为：
13. 已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，离心率为.过且垂直于的直线与交于D，E两点，，则椭圆的方程是______，的周长是______.
【答案】；8
【解析】椭圆的离心率为，
不妨可设椭圆，，
的上顶点为，两个焦点为，，为等边三角形，
过且垂直于的直线与交于，两点，，
由等腰三角形的性质可得，，，
设直线方程为，，，，，
将其与椭圆联立化简可得，，
由韦达定理可得，，，
解得，
所以，，椭圆方程为。
的周长等价于.
故椭圆的方程是；的周长是。
故答案为：；8.
四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
14. 平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标为为的中点.
（1）求直线的方程和边上的高所在的直线方程；
（2）过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率范围是？
解：（1）依题意，，
所以直线的方程为，
整理得.
直线的斜率为，
所以边上的高所在的直线的斜率为，
所以边上的高所在的直线方程是.
（2）直线的斜率为，直线的斜率为，
所以过点的直线与线段有公共点，
则直线的斜率范围是.
15. 平面直角坐标系中，圆心C在第一象限，经过直线与的交点,且______（在①②两个条件中任选一个，补充在横线上.）①圆C经过点，圆心在直线上；②圆心，半径为；
（1）求圆的方程；
（2）过点作圆的切线，求切线的方程.
解：（1）由,
解得，
所以圆过点2,0.
若选①，圆C经过点，圆心在直线上，
设圆心为，，
则，
解得，
所以圆心为，半径为，
所以圆的方程为.
若选②，圆心，半径为，
则，
解得（负根舍去），
所以圆心为，圆的方程为.
（2）设切线方程为，
到切线的距离为，解得，
所以切线方程为，或，
即或.

16. 已知双曲线与椭圆有相同的焦点.
（1）求双曲线的方程；
（2）求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程；
（3）若直线与双曲线交于、两点，且、的中点坐标为，求直线的方程.
解：（1）椭圆，即，
所以，所以，
所以双曲线的方程为.
（2）双曲线，对应，
所以渐近线方程为，
设过点的双曲线的标准方程为，
所以，所以.
（3）设，则，
两式相减并化简得，
所以直线的斜率为，所以直线的方程为.
由，
消去并化简得，符合.
所以直线的方程为.
17. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.点为椭圆的左顶点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率为1的直线与椭圆交于另外一点，求的坐标；
（3）点，点为椭圆上任意一点，求的最小值.
解：（1）依题意，解得，
所以椭圆方程为.
（2），直线的方程为，
由解得或，则.
（3）设是椭圆上任意一点，则，
，
，
由于，所以当时，
取得最小值为.

18. 已知曲线，点.
（1）当时，若直线过点且与曲线的右支交于M，N两点，记曲线的左、右顶点分别为，直线的斜率分别为，证明：为定值.
（2）当时，不经过坐标原点且斜率为1的直线与曲线交于P，Q两点，直线PB与曲线的另一个交点为，直线QB与曲线的另一个交点为，其中G，H均不为曲线的顶点，证明：直线GH过定点.
解：（1）根据题意曲线的方程为.易知，.
设Mx1,y1，Nx2,y2，易知直线的斜率不为0，设直线的方程为，
由，消去x可得，
，且
又因为直线与的右支交于M，N两点，所以
所以
，
即为定值.
（2）根据题意，曲线方程，
由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，，，
则，直线的方程为，
将其代入得，，显然，
则，所以，
将代入直线的方程，解得，
所以，同理得，
所以，得，
即，
整理得，所以，
因此直线的方程为，
令，
即，则，
所以直线过定点.