2024~2025学年江苏省苏州市常熟市高一(上)期中考试数学试卷(解析版)

这是一份2024~2025学年江苏省苏州市常熟市高一(上)期中考试数学试卷(解析版)，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知命题：“，”，则命题的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】易知“，”的否定为“，”.
故选：B.
2. 已知，则的最小值为（ ）
A. 4B. 5C. 3D. 2
【答案】C
【解析】当时，，当且仅当时取等号，
所以的最小值为3.
故选：C.
3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数的定义域为，则在中，，
解得，
所以函数的定义域为.
故选：D.
4. 若函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】A
【解析】因为函数是幂函数，
所以，解得或，
当时，函数，y=fx在0，+∞上单调递减，符合题意，
当时，函数，y=fx在0，+∞上单调递增，不符合题意.
综上所述：实数的值为.
故选：A.
5. 常熟“叫花鸡”，又称“富贵鸡”，既是常熟的特产，也是闻名四海的佳肴，以其鲜美、香喷、酥嫩著称.双十一购物节来临，某店铺制作了300只“叫花鸡”，若每只“叫花鸡”的定价是40元，则均可被卖出；若每只“叫花鸡”在定价40元的基础上提高（）元，则被卖出的“叫花鸡”会减少只.要使该店铺的“叫花鸡”销售收入超过12495元，则该店铺的“叫花鸡”每只定价应为（ ）
A. 48元B. 49元C. 51元D. 50元
【答案】D
【解析】根据题意可得，整理得，
解得，又，所以，
该店铺的“叫花鸡”每只定价应为.
故选：D.
6. 已知是奇函数，对于任意（），均有成立，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由任意（），均有成立，
得函数在上单调递增，而是奇函数，则在上单调递增，
不等式中，令，则，又，
于是t+2<0f(t)>0或t+2>0f(t)<0，当时，f(t)>f(-2)，无解；
当时，或，解得，则，解得，
所以不等式的解集为.
故选：C.
7. 通过研究发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数，为奇函数，则函数图象的对称中心为（ ）
参考公式：
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设函数y=fx的对称中心为点，
则是奇函数，
则，
代入整理得，
比较系数可得，解得，
所以对称中心为.
故选：C.
8. 已知正实数，满足，则代数式的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由可得，可得；
所以；
因此，
当且仅当时，即时，等号成立；
此时.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 关于的不等式（）的解集可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】不等式中，当时，，解得，A可能；
当时，不等式化为，解得，
当时，不等式化为，若，则，B可能；
若，则或；若，则或，C不可能，D可能.
故选：ABD.
10. 若非零实数，，满足，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】根据题意，不妨取满足，此时不成立，即A错误；
易知，可知，即，可得B正确；
同理可得，即，所以C正确；
若，满足，此时，即D错误.
故选：BC.
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 为奇函数
B. 在上单调递增
C. 关于的方程有2个解
D. 若关于的不等式恰有1个整数解，则正实数的范围是
【答案】ACD
【解析】易知函数的定义域为，
即定义域为关于原点对称；
且满足，即可得为奇函数，即A正确；
当时，可得，
可得函数在上单调递减，即B错误；
画出函数图象如下图所示：
易知代表函数图象与和交点个数，
由图可知方程有2个解，即C正确；
关于的不等式可得，
结合图象可知，当时，可知不等式有无数个整数解；
当时，区间上无整数解，
因此只需在上包含一个即可，当时，，
当时，，
因此若不等式恰有1个整数解，只需，解得；
又为正实数，所以正实数的范围是，可得D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，则集合的真子集个数为______.
【答案】3
【解析】集合的真子集为：，共3个.
所以集合的真子集个数为3.
13. 已知函数，则不等式的解集为______.
【答案】
【解析】当时，函数在上单调递增，，
当时，函数在上单调递增，，
因此函数在R上是增函数，不等式，
即，解得，所以原不等式的解集为.
14. 已知函数，记，，若，则实数的取值范围是______.
【答案】或
【解析】当时，所以，解得或，
设的两个根为，（设，
，，，
由，得，
由于，则，
故，此时，，符合题意，
当时，，解得，此时 ，
此时对，故对任意的恒成立，
故，满足，
综上可知或.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设全集，集合.
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围.
解：（1）由，得，解得，所以，
当时，，所以或，
所以，
或x>2}=x|-4（2）当时，得，解得，
当时，由，
则2a-1≤a+22a-1>-4a+2<1，解得，
综上所述：实数的取值范围为或.
16. 已知函数（，）.
（1）若是否存在，使命题：“，”与命题：“，”均为真命题，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由；
（2）若，且在区间上的最小值为，求的值.
解：（1）由，得，
解得，，
由，，得，解得；
由，，得，解得，
而命题均为真命题，则，
所以存在，使命题均为真命题，的取值范围是.
（2）由，得，，
当时，，解得，因此；
当时，，解得或，
因此，所以或.
17. 已知为定义在上的偶函数，当时，且.
（1）求实数的值及在上的解析式：
（2）判断并证明在上的单调性；
（3）解关于的不等式：.
解：（1）由为定义在上的偶函数，，得，
而当时，则，解得；
当时，，，
所以在上的解析式为.
（2）由（1）知，，函数在0，2上单调递减.
，
，
由，得，则，
即，因此，
所以函数在0，2上单调递减.
（3）由（2）知，不等式，
又函数在0，2上单调递减，则，
即或，解得或，
所以原不等式的解集为.
18. 某市为了改善交通，缓解交通压力，完善交通道路网，在该市交通部门的配合下，对该市某个重要路口的交通情况做了一个调查统计，发现一天中，该路口的交通拥堵指数与时刻（时）有如下关系：
（常数，我们把的最大值记作，用作为当天的拥堵指数.
（1）当时，求当天拥堵指数的值；
（2）求当天拥堵指数的表达式.
解：（1）当时，，，
当时，，当且仅当时取等号，
当时，，
当且仅当取等号，
而，所以当天拥堵指数的值为.
（2）由（1）知，当时，函数在上单调递减，
在上单调递增，
因此函数在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，
函数值集合为，
而，函数在的图象与直线有唯一公共点，
令该公共点的横坐标为，则，当时，，
当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，
而，，，显然，
，则当时，；
当时，，
所以当天拥堵指数的表达式.
19. 已知函数定义域为，若存在，，实数大于0，对，有成立，则称为定义在上的函数.
（1）已知为定义在上函数，求最大的区间；
（2）已知为定义在上的函数，求实数的取值范围；
（3）已知为定义在上的函数，求的最小值及此时，的值.
解：（1）即解得：
故最大的区间为：
（2）恒成立，
即且
即且
令则且
则
且a>12-122=14.
故
（3）因为为定义在上的函数，
所以对 恒成立，
分别取 ，
得，
则 .
所以 .
，，
当 时， ，
解得：.