2024~2025学年江苏省泰州市泰兴市、兴化市两校高一(上)期中调研测试数学试卷(解析版)

这是一份2024~2025学年江苏省泰州市泰兴市、兴化市两校高一(上)期中调研测试数学试卷(解析版)，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由集合，，
则.
故选：A.
2. 设命题p：，，则p的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】根据存在量词命题的否定，命题p：，的否定为：，.
故选：D.
3. 下列四组函数中，表示同一函数的一组是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】对于A中，函数的定义域为，的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误；
对于B中，函数的定义域为，的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故B错误；
对于C中，函数的定义域为，的定义域为，
且，所以是同一函数，故C正确；
对于D中，函数的定义域为1,+∞，的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故D错误.
故选：C.
4. 若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】当时，恒成立，即有，符合题意；
当时，，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
5. 《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．”其中“无之必不然”表述的逻辑关系一定是（ ）
A. 充分条件B. 必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由“小故，有之不必然，无之必不然”，
知“小故”只是构成某一结果的几个条件中的一个或一部分条件，
故“小故”是逻辑中的必要不充分条件，
所以“无之必不然”所表述的数学关系一定是必要条件.
故选：B.
6. （ ）
A. 4B. 2C. D.
【答案】C
【解析】由，，
则.
故选：C.
7. 已知，则的最小值为（ ）
A. 5B. C. D. 9
【答案】C
【解析】由，
则，
又，
结合，知，
又，
当且仅当，即时，等号成立，
因此可得最小值为.
故选：C.
8. 已知奇函数的定义域为，且在上单调递增．若存在，使得，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由函数为上的奇函数，
则，
又在上单调递增， 则在R上单调递增，
则，
则，使得，，使得，
即，在有解，
则，，
令，则，
又，则，，
即，则.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部地对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】AC
【解析】对于A，若，则不等式两边同时乘以，由，则，
故A正确；
对于B，若，则不等式两边同时乘以，由，则，故B错误；
对于C，若，则a>b≥0，利用不等式的可乘方性，则，故C正确；
对于D，若，，则，，则，故D错误.
故选：AC.
10. 已知为偶函数，当时，，则下列说法正确的有（ ）
A.
B. 的图象关于直线对称
C. 函数恰有3个零点
D. 若关于x的方程有2个解，则或
【答案】ACD
【解析】因为为偶函数，且当时，，
且，画出函数的图象如图所示，
对于A，，故A正确；
对于B，如图，的图象不关于直线对称，故B错误；
对于C，令，即，
由函数图象可知，函数y=fx与有3个交点，
则函数恰有3个零点，故C正确；
对于D，若方程有2个解，则函数y=fx与有2个交点，
由函数图象可知，或，故D正确.
故选：ACD.
11. 对于集合，我们把集合且叫做集合的差集，记作．已知集合，，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 存在，使得
【答案】BC
【解析】由，解得，
则，
当时，，
又，则，，故A错误，B正确；
对于C，由定义知，又，则，
即，因此可得，
则，解得，故C正确；
对于D，由，，
又，则，可得，
则，无解，因此不存在这样的，使得，故D错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若或，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】由或，
则m4，解得.
13. 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为，深为．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，则建造这个水池的最低总造价是_________元．
【答案】297600
【解析】设池底的长为x，宽为y，则，
因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一个面，
建造这个水池的总造价是
，
当且仅当时，等号成立.
14. 已知函数，则的图象关于______对称；若，则______．
【答案】轴
【解析】由的定义域为，关于对称，
又，则为偶函数，因此关于轴对称，
又，即，
则，
又，可得，则，
又为偶函数，则，则，
因此.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，函数的定义域为集合．
（1）求；
（2）求和．
解：（1）由函数，
则，
解得，则函数的定义域为，
即.
（2）由，
解得，即，
由（1）知，则，
又，则.
16. 已知，．
（1）求的值；
（2）用m，n表示．
解：（1）因为，所以，
又，所以，
所以.
（2）因为，，
所以.
17. 记函数的两个零点为，．
（1）若，，求m的取值范围；
（2）若，求的最值．
解：（1）由题意，得，解得，
所以m的取值范围为.
（2）由韦达定理得，，且，即或，
则，且恒成立，
所以，
因为函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，则，
令，，
则，，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
且，所以，
则的最小值为4，最大值为5.
18. 已知函数．
（1）当时，解关于的不等式；
（2）讨论单调性；
（3）若为奇函数，且，试探究正数a，b，c大小关系．
解：（1）当时，
，
所以当时，不等式的解集为.
（2），
情形一：当，即时，由二次函数性质可知，
在上单调递增，在上单调递减；
情形二：当，即时，由二次函数性质可知，
在上单调递增，无单调递减区间；
情形三：当，即时，由二次函数性质可知，
在上单调递增，在上单调递减；
综上所述，当时，在上单调递增，
在上单调递减；当时，在上单调递增，无单调递减区间；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（3）若为奇函数，首先，即，
其次恒成立，
即恒成立或者恒成立，
而不可能恒成立，从而只可能恒成立，
所以，
所以，显然的定义域是全体实数，它关于原点对称，
且，
所以是奇函数，且当时，单调递增，
所以在整个定义域上单调递增，
若正数a，b，c满足，
则当且仅当，
而，
同理可证，，所以.
19. 若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则记，．
（1）已知，求和；
（2）已知，小明同学认为“”是“对任意，都有”的充要条件．你认为小明同学的判断是否正确？请说明理由；
（3）已知，为正整数，，若，求证：为奇数．
解：（1）此时，，故，.
（2）不正确，因为当，时，有，故，
但f12=0>-14=g12.
所以“”不能推出“对任意，都有”.
（3）由定义知，故.
若，则，故.
此时，故，
所以为奇数；
若，则ΦD=t-s4>0，故的最大元素和最小元素同号，从而.
而，故，又因为，所以或.
而为正整数，所以，故，
这就得到.
假设是偶数，则是奇数. 由于是偶数，
所以和中必有一个偶数，再由是奇数，知是偶数.
设，则，，
故.
由于，，故，即.
所以，得.
若，则，得，故为奇数，矛盾；
若，则显然为奇数，矛盾.
这表明假设不成立，所以为奇数.