2024~2025学年江苏省南通市市区、启东市高一(上)期中质量检测数学试卷(解析版)

这是一份2024~2025学年江苏省南通市市区、启东市高一(上)期中质量检测数学试卷(解析版)，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
注意到要否定结论而不是否定条件，
所以命题“，”的否定是“，”.
故选：A.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】集合是奇数集，所以.
故选：B.
3. 清朝末年，面对清政府的腐朽没落，梁启超在《少年中国说》中喊出“少年智则国智，少年富则国富，少年强则国强”的口号．其中“国强”是“少年强”的（ ）
A. 充分条件B. 必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】少年强则国强；国强不一定少年强，所以“国强”是“少年强”的必要条件.
故选：B.
4. 已知，，，则的最小值为（ ）
A. 36B. 25C. 16D. 9
【答案】C
【解析】由两边除以得，
所以，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为.
故选：C.
5. 命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意，命题“，”为真命题，
所以，由于，
所以当时，取得最小值为，所以.
故选：A.
6. 已知函数，则函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函数，则，
有意义，则，解得且，
所以函数的定义域为.
故选：D.
7. 声强是表示声波强度的物理量，由于声强变化范围非常大，数量级相差很多，因此通过声强级来表示声强强度大小，规定声强级（单位：分贝），其中为标准声强．若声强是声强的200倍，则声强的声强级比声强的声强级大多少分贝（结果保留整数）？（）（ ）
A. 28B. 27C. 23D. 14
【答案】C
【解析】设声强的声强级为，声强的声强级为，
则，由题知，
所以.
故选：.
8. 已知函数，对任意的，都有，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】对任意的，都有，
可得在R上单调递减，则有，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列各组函数是同一函数有（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
【答案】AD
【解析】A选项，，所以与是同一函数，
A选项正确；
B选项，的定义域是，的定义域是，所以不是同一函数，
B选项错误；
C选项，的值域是，的值域是，所以不是同一函数，
C选项错误；
D选项，、的定义域、对应关系、值域都相同，
所以是同一函数，D选项正确.
故选：AD.
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 若，则函数最小值为1
B. 若，则
C. 若，，则最小值为3
D. 已知函数的解析式为，其值域为，则这样的函数有9个
【答案】BCD
【解析】A选项，，
但无解，所以等号不成立，所以A选项错误；
B选项，若，则，所以B选项正确；
C选项，，；，
所以，所以C选项正确；
D选项，由解得；由，解得；
由，解得，
要使得值域为，则必选、至少选一个、至少选一个，
所以方法数有，所以D选项正确.
故选：BCD.
11. 用来表示有限集合中元素的个数，例如，，则．已知是全集，，是的两个非空真子集，．（ ）
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】A选项，，，所以，
所以A选项正确；
B选项，，，，
则，所以B选项正确；
C选项，，，
所以C选项错误；
D选项，若，
则
，所以D选项正确.
故选：ABD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
12. 已知，则_________．
【答案】5
【解析】令，得到.
将代入中，即.
13. 已知幂函数在定义域内是单调函数，则实数_________．
【答案】
【解析】因为幂函数的系数为，所以，解得或，
当时，，此函数在定义域上单调递增，
当时，，此函数在和上单调递减，
此时定义域内不是单调函数.所以.
14. 已知函数有唯一最小值，则实数的取值范围为_________．
【答案】
【解析】由于的最小值是，所以在上单调递减，
所以，此时单调递增，
则，整理得，解得.
综上所述，的取值范围是.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 设全集，集合，区间，其中．
（1）若，求，；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．
解：（1），解得，所以，
当时，，所以，
或x>1，所以.
（2）若“”是“”的充分不必要条件，则，
所以，且等号不同时成立，解得.
16. 已知函数，其中．
（1）若关于方程的两个实数根，满足，求的值；
（2）求关于的不等式的解集．
解：（1），
可得：，
由，可得：，
即：，
解得：或.
（2）由，
可得：，
当时，即，不等式的解集为，
当，即，不等式的解集为：，
当，即，不等式的解集为：.
17. 已知函数是定义域为上的奇函数．
（1）求，的值；
（2）证明：在定义域内是单调递减函数；
（3）解关于的不等式．
解：（1）由题意可得，即，
又x∈-1，1时，是奇函数，所以f-x=-fx
即，可得，
所以，.
（2）由（1）可得，设，
，①
因为，
所以，
所以①，即在定义域内是单调递减函数.
（3）因为是奇函数，所以原不等式可化为，
又在定义域内是单调递减函数，所以，解得，
所以不等式的解集为.
18. 某国产车企在自动驾驶技术方面日益成熟，近期拟推出一款高阶智驾新车型，并决定大量投放市场．已知该车型年固定研发成本为20亿元，受到场地和产能等其它因素的影响，该公司一年内生产该车万台（）且全部售完，每台售价20万元，每年需投入的其它成本为（单位：亿元）．（其中，利润＝销售收入－总成本）
（1）写出年利润（亿元）关于年产量（万台）的函数解析式；
（2）当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大，并求出最大年利润；
（3）若该企业当年不亏本，求年产量（万台）的取值范围．
解：（1）当时，销售收入为亿元（每台售价万元，万台），
总成本为固定研发成本亿元加上其他成本亿元.
根据利润=销售收入-总成本，可.
当时，销售收入为亿元，总成本为亿元.
则.
所以.
（2）当时，，图象开口向下，对称轴.
但，所以在这个区间上函数单调递增，所以亿元.
当时，根据基本不等式，有.
所以亿元，当且仅当，即取等号.
因为，所以当年产量为万台时，该企业获利最大，最大年利润为亿元.
（3）当时，，即，解得.
结合，知道此时满足题意.
当时，，即，
即，令，对称轴，
当时，单调递减，且时，.
则当，恒成立，即恒成立.
综上所得，该企业当年不亏本，则年产量（万台）取值范围为.
19. 已知函数，，其中．
（1）当，时，请在指定直角坐标系中，画出函数的图象；
（2）用表示，中的较大者，记为，则当时，求函数的解析式；
（3）用表示，中的较小者，记为，若恒成立，求的取值范围．
解：（1）当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
，fx的图象如图所示.
（2），当时，，
当时，，
当时，，
，
所以当x>0时，，
开口向下，对称轴为，
，，
当时，令，即，即
即，解得，
令，即，解得，
.
（3）由（2）知，
当时，，
令，
开口向上，对称轴，在单调递增，，
在轴右侧与线段AB交于点C，在轴右侧与射线y=2x交于点，
fx，gx在同一直角坐标系的图象如图所示，
记点C的横坐标为，由(2)知点的横坐标为，的图象如图所示，
由图可知，当时，，，解得，又.