2024~2025学年江苏省南京市六校高一(上)期中联合调研数学试卷(解析版)

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这是一份2024~2025学年江苏省南京市六校高一(上)期中联合调研数学试卷(解析版)，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则与集合A的关系为（）
A. B. C. D. 1⫋
【答案】B
【解析】，故，其他选项均错误.
故选：B.
2. 命题：的否定是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由命题否定的概念可知，
命题：的否定是：.
故选：B.
3. 已知命题，若命题是命题的必要条件，则命题可以为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意是的充分条件，对照选项，当满足时，必满足.
故选：C.
4. 若，且则下列命题正确的是（）
A. B.
C. D. 若，则
【答案】C
【解析】由于
对于A，设则，故A错误；
对于B，设则，故B错误；
对于C，，由于，
则.，则.则，故C正确；
对于D，设，则，故D错误.
故选：C.
5. 某工程需要向一个容器内源源不断地注入某种液体，有三种方案可以选择，这三种方案的注入量随时间变化如下图所示：
横轴为时间（单位：小时），纵轴为注入量，根据以上信息，若使注入量最多，下列说法中错误的是（）
A. 注入时间在小时以内（含小时），采用方案一
B. 注入时间恰为小时，不采用方案三
C. 注入时间恰为小时，采用方案二
D. 注入时间恰为10小时，采用方案二
【答案】D
【解析】对A，由图可知，注入时间在小时以内（含小时）时，
方案一的注入量都大于其他两种方案，故A正确，不符合题意；
对B，当注入时间恰为小时，由图可知，方案三的注入量都小于其他两个方案，
故B正确，不符合题意；
对C，当注入时间恰为小时，方案二的注入量大于其他两个方案，
故C正确，不符合题意；
对D，当注入时间大于8小时，由图可知方案三的注入量最大，故应选择方案三，
D错误，符合题意.
故选：D.
6. 已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由得，即，
故，
故，
故.
故选：C.
7. 已知函数，若，则的值为（）
A. B. 或C. 或或D. 或或
【答案】B
【解析】依题意，或或，无解，
由解得，则.
由解得，则
故选：B.
8. 已知，若关于的方程恰好有三个互不相等的实根，则实数的取值范围为（）
A B.
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】记方程的两根为，
当时，恰好有三个互不相等的实根，
等价于与和共有三个不同的交点，
由图可知，此时有，
即，得；
当时，，恰好有三个互不相等的实根，
等价于与有三个不同的交点，
由图可知，此时，即，得.
综上，实数的取值范围为或.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．
9. 下列命题中为真命题的是（）
A. 对任意实数，均有
B. 若，则
C. 设，则“”是“”的必要不充分条件
D. 若，则
【答案】AC
【解析】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，当，时，，，故B不正确；
对于C，当，时，，所以不充分，当时，可知且，
所以必要，故C正确；
对于D，当时，，，
此时，故D不正确.
故选：AC.
10. 如图，已知矩形表示全集，是两个子集，则阴影部分可表示为（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】根据图示可知阴影部分表示的元素是属于集合，而不属于集合，
即在阴影部分区域内任取一个元素，则满足，且，即且；
因此阴影部分可表示为，即A正确；
且，因此阴影部分可表示为，C正确；
易知阴影部分表示的集合是和的真子集，即B错误，D错误.
故选：AC.
11. 已知为正实数，且，则（）
A. 的最大值为8B. 的最小值为8
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】因为，当且仅当时取等号，
结合，解不等式得，即，故的最大值为8，A正确；
由得，
所以，
当且仅当即时取等号，此时取得最小值8，B正确；
，
当且仅当时取等号，此时取得最小值，C错误；
，
当且仅当即时取等号，
此时取得最小值，D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的定义域是______．
【答案】
【解析】根据题设可得，故或，
故函数的定义域为：.
13. =______．
【答案】
【解析】
.
14. 已知函数，，若函数的值域为，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】，则有，，
由，，所以，
解得，
所以实数的取值范围是.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，，，全集，求：
（1）；
（2）；
（3）如果，求的取值范围.
解：（1）依题意，集合，
集合，
所以.
（2）由（1）知，，
所以.
（3）由（1）知，集合，
而或或，
又，因此且，
所以的取值范围是.
16. 已知关于的一元二次不等式的解集为．
（1）求和的值；
（2）求不等式的解集．
解：（1）由题意知和是方程的两个根且，
由根与系数的关系得，解得.
（2）由、，不等式可化为，
即，则该不等式对应方程的实数根为和．
当时，，解得，即不等式的解集为，
当时，，不等式的解集为空集，
当时，，解得，即不等式的解集为，
综上：当时，解集为，
当时，解集为空集，
当时，解集为．
17. 最近南京某地登革热病例快速增长，登革热是一种由登革病毒引起的急性虫媒传染病，主要通过埃及伊蚊和白纹伊蚊传播，为了阻断传染源，南京卫建委在全市范围内组织了蚊虫消杀工作．某工厂针对市场需求开始生产蚊虫消杀工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为50万元，每生产万件，需另外投入成本（万元），，每件工具售价为50元，经过市场调研该厂年内生产的工具能全部销售完．
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；
（2）年产量为多少万件时，该厂在这一工具的生产中所获利润最大？
解：（1）当时，，
当时，，
故
（2）时，，
当时，取得最大值，
当时，，
当且仅当即时取到等号，
，时，取得最大值，
18. 已知一次函数和二次函数的图像都过点和，且.
（1）求和的解析式；
（2）设关于的不等式的解集为.
①若，求实数的取值范围；
②是否存在实数，满足：“对于任意正整数，都有；对于任意负整数，都有”，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
解：（1）设，由得，所以；
由题意设由得；
又因为，所以，得；
所以，所以.
（2）①原不等式化为恒成立.
（ⅰ）当时，解得，或，
当时，不等式化为，时，解集为；
当时，不等式化为，对任意实数不等式不成立；
（ⅱ）当时，则；
综上所述，实数k的取值范围为．
②根据题意，得出解集，，
当时，解得，或，
时，不等式的解集为，满足条件，
时，恒成立，不满足条件，
当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，
不满足条件，
当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，
不满足条件，
综上，存在满足条件的的值为．
19. 已知集合，其中，由中元素可构成两个点集和：，，其中中有个元素，中有个元素．新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质．
（1）已知集合与集合和集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合，；若无，请说明理由；
（2）集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？
（3）试判断：集合具有性质是的什么条件，并证明．
解：（1）①集合，不符合定义，不具有性质；
②集合具有性质，对应集合，；
③集合不是整数集，所以不具有性质．
（2）依题意，集合的元素构成有序数对，共有个，
由，得，又当时，，则当时，，
因此集合的元素个数不超过个，
取，则中元素的个数为个，
所以中元素的个数最多为.
（3）（i）当集合具有性质时，
①对于，由定义知：，
又集合具有性质，则，
若是中的不同元素，则，中至少有一个不成立，
于是，中至少有一个不成立，
因此也是中不同的元素，
所以的元素个数不多于的元素个数，即，
②对于，由定义知：，
又集合具有性质，则，
若是中的不同元素，则，中至少有一个不成立，
于是，中至少有一个不成立，
因此和也是中不同的元素，
即的元素个数不多于的元素个数，即，
由①②知；
（ii）集合，则，
，满足，而集合不具有性质，
所以集合具有性质是的充分不必要条件.