2025届山东省青岛市部分学校高三(上)教学质量联合测评数学试卷(解析版)

这是一份2025届山东省青岛市部分学校高三(上)教学质量联合测评数学试卷(解析版)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】.
故选：A.
2. 已知平面上的两个非零向量，满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，故，
则，又，故.
故选：B.
3. 在等差数列中，若，则的值为（ ）
A. 10B. 20C. 30D. 40
【答案】D
【解析】由题设，
所以.
故选：D
4. 已知，，则（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】A
【解析】因为，所以，
因为，所以，，
所以，，
所以.
故选：A.
5. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，它是由如图所示的七块板组成的，即五块等腰直角三角形板（两块小型三角形板、一块中型三角形板和两块大型三角形板），一块正方形板和一块平行四边形板.现从这七块板中任取两块，则这两块板面积相等的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如下图，将七块三角形编号如下，
所以从七巧板的五块三角形中任意取出两块的基本事件为：
，，
，，，共有种，
将七巧板划分如下，被分成个全等的三角形，设正方形的面积为，
则编号的面积为，则编号的面积为，
编号的面积为，
任取两块板面积相等的基本事件为：.
从这七块板中任取两块，则这两块板面积相等的概率为.
故选：C.
6. 已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意，，，
因为过点的直线与线段相交，
结合图象可知，该直线的斜率的取值范围为.
故选：B.
7. 已知四棱锥平面BCDE，底面EBCD是为直角，的直角梯形，如图所示，且，点为AD的中点，则到直线BC的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意知，平面，平面，
所以，又，
故以为原点，所在的直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系，
则，得
所以，，
记，
则，
所以F到直线BC的距离为.
故选：A
8. 若函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】，
令，
因为函数的最大值为，最小值为，
所以函数的最大值为，最小值为，
因为，
所以函数是奇函数，
所以，即，所以.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知关于x不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的最大值为
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】BC
【解析】因为关于的不等式的解集为,
所以，所以，，
所以，A错误；
因为，，所以，当且仅当时取等号，故，由于设，由于，
故，当且仅当时等号成立，
故B正确；
，
当且仅当，即时取等号，C正确；
，当且仅当时取等号，故最小值为，D错误．
故选：BC．
10. 已知事件A，B满足，，则（ ）
A 若，则
B. 若A与B互斥，则
C. 若P(AB)=0.1，则A与B相互独立
D. 若A与B相互独立，则
【答案】BC
【解析】对于A，由，得，A错误；
对于B，由A与B互斥，得，B正确；
对于C，由，得，则A与B相互独立，C正确；
对于D，由A与B相互独立，得相互独立，则，D错误.
故选：BC
11. 在直三棱柱中，，，E、F分别是、的中点，D在线段上，则下面说法中正确的有（ ）

A. 平面
B. 直线EF与平面ABC所成角的正弦值为
C. 若D是的中点，若M是的中点，则F到平面BDM的距离是
D. 直线BD与直线EF所成角最小时，线段BD长为
【答案】ABD
【解析】因为直三棱柱中，，所以两两互相垂直，
于是以点为坐标原点，所在直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，分别是的中点，在线段上，
所以，
对于A：因为在直三棱柱中，平面，
又，平面，所以，又，所以，
又，平面，所以平面，
所以为平面的一个法向量，又，
则，
又平面，平面，故A正确；
对于B：为平面的一个法向量，又，
设直线与平面所成角为，
则，故B正确；
对于C：若是的中点，若M是的中点，则，
则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，又，
所以到平面的距离是，故C错误；
对于D：设，
则，
设直线与直线所成角为，又，
则，
当，即时，取最大值，此时直线与直线所成角最小，
，，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为______.
【答案】
【解析】因为，为的平分线，
所以，又，
所以，
由余弦定理可得，又，
所以
所以，
所以的面积.
13. 在平面直角坐标系中，定义为，两点之间的“折线距离”．已知，，，，点在矩形内（含边界）且到点，的“折线距离”相等，则点的轨迹长度为______．
【答案】
【解析】设Mx,y，因为点在矩形内（含边界），
则，，
因为点到点，的“折线距离”相等，
所以，即，
则，
当时，，
当时，，
设，，则点的轨迹为线段，
故点的轨迹长度为.
14. 已知无穷数列满足，，给出下列四个结论：
①，；
②数列为单调递减数列；
③，使得；
④，均有.
其中正确结论的序号是________.
【答案】①②④
【解析】由，，
进而可得，结合，以此类推可得，
故，故，故①②正确，③错误，
由可得，
故，
由于，故，进而可得，，
故，
因此，
累加，
故，
当时，，故，故④正确.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，，函数.
（1）求函数的解析式及对称中心；
（2）若，且，求的值.
（3）在锐角中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若，，求周长的取值范围.
解：（1）.
令，则，，
函数的对称中心为，.
（2）由可知，
化简有，
，，，
（3）由可得， 即，
又，所以
由正弦定理有
所以
，
因为为锐角三角形，所以，解得
所以，则，
所以，则，
所以的周长的取值范围为.
16. 已知平面边形中，，，且.以为腰作等腰直角三角形，且，将沿直线折起，使得平面平面.

（1）证明：平面；
（2）若是线段上一点，且平面，
①求三棱锥的体积；
②求平面与平面夹角的余弦值.
解：（1）因，，故,
又，且，故
在直角梯形中，，
由可得；
因平面平面，，平面平面，
则平面，又平面，
则，又，因平面，
故平面.
（2）①如图，连接,设，连接,
因平面，且平面,平面平面，
则，故，
在四边形中，由,可得,
故，即，
即点是线段上靠近点的三等分点，
故
② 如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则,
所以，,,
设平面的法向量为，
则，可取，
因，
故,,
设平面的法向量为，
则由，
可取，
故，
故平面与平面夹角的余弦值为.
17. 已知圆内有一点，倾斜角为的直线过点且与圆交于两点.
（1）当时，求的长；
（2）是否存在弦被点三等分？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由；
（3）记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.
解：（1）因为，所以，直线的方程为，
设圆心到直线的距离为，则，
所以
（2）取的中点为，如图，

假设存在弦被点三等分，设，，则，
，解得，
当斜率不存在时，，故斜率存在，
设斜率为，则：，，解得，
即存在弦被点三等分，直线的斜率为.
（3）由题意知，,
当直线斜率不存在时，，，
不妨取，
则，此时
直线斜率存在时，设方程为，
代入圆的方程可得，
设，则，
又，
所以
综上，为定值.
18. 模糊数学普遍存在于自然界和数学模型中，比如天气预测､种群数量变化和天体运动等等.假设在一个模糊数学系统中，用来表示系统在第个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态满足，，其中.
（1）当时，若满足对，有，求；
（2）当时，判断中是否存在连续的三项构成等比数列；若存在，求出连续的三项；若不存在，说明理由.
（3）若，，记，证明：.
解：（1）当时，，
由题意知：，，
两式作差得：，或；
当时，，解得：或，又，；
当时，，解得：；
恒成立，又，，
数列为常数列，即.
（2）当时，；
假设在数列中，存在连续的三项成等比数列，则，
，，
，即，
又，，解得：，与矛盾，
假设错误，即在中，不存在连续的三项成等比数列.
（3）当时，，
当时，且，；
，，，，
数列为递减数列，
，，
.
19. 已知函数.
（1）写出函数在的零点个数，并证明；
（2）若存在，方程有解，记的最大值为，证明.
解：（1）求导，可得，
当时，，，所以，
这表明函数在上单调递增，
由于，，
由于函数在上单调递增且，，
所以函数在上有且仅有一个零点.
（2）由，可得，设，，
求的导数，，
令，，求的导数，
当时，，，所以，
这表明在上单调递减，
又，，，
所以存在，使得，即，
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减，
所以在处取得最大值，
由，可得，
设，则，
所以在上单调递减，所以，
因为，所以，，则，即，
又，且在上单调递增，所以.
故原命题得证