2023~2024学年山东省青岛市市北区九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省青岛市市北区九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共17页。

1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共22题．第Ⅰ卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共14小题，96分．
2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效．
第Ⅰ卷（共24分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. 2x+1=0
C. D.
【答案】C
【解析】、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
、未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，不符合题意；
、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，符合题意；
、分母中含有未知数，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意，
故选：．
2. 下列命题中，真命题是（ ）
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C. 对角线相等的四边形是平行四边形
D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【答案】B
【解析】A、对角线相等的平行四边形是矩形，故A为假命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B为真命题，符合题意；
C、对角线互相平分是四边形是平行四边形，故C为假命题，不符合题意；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故D为假命题，不符合题意；
故选：B．
3. 已知方程的一个根是，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】把代入方程得：，
解得：．
故选：B．
4. 菱形的对角线长分别为5和8，它的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为菱形的对角线的长分别是5和8，
所以菱形的面积为．
故选B．
5. 在数字1，2，3，4中任选两个组成一个两位数，这个两位数能被6整除的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中啊这两个两位数能被6整除的结果有：12，24，42，共3种，
这个两位数能被6整除的概率为．
故选：C．
6. 小明测量旗杆高度的示意图，如图所示．他首先在旗杆的右边点处放置了一平面镜，并测得米．然后小明沿着直线后退到点处，眼睛恰好看到镜子里旗杆的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米（此时），则旗杆的高为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】D
【解析】∵，，
∴，∴，即，解得，，故选：D．
7. 如图，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标是（ ）
A. （0，0）B. （1，0）
C. （0，﹣1）D. （0，1）
【答案】C
【解析】如图所示：位似中心的坐标为（0，-1）．
故选：C．
8. 如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连接，，与相交于点，给出下列结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的为（ ）
A. ①②③B. ①②⑤C. ②③④⑤D. ①②④⑤
【答案】D
【解析】∵是等边三角形，∴，，
∵在正方形中，，∴，，
∴，
∵在正方形中，，，∴，
∴，，
∵在正方形中，，∴，
∴在中，，∴．故①正确．
∵在等边中，，在正方形中，，
∴，∴，
∵，∴，
∴．故②正确．
∵，∴，
∴，
∵和同高，∴．故③错误．
过点P作于点M，作于点N，

∴，
∴．
故④正确．
∵在正方形中，，
又，
∴
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴．
故⑤正确．
综上，正确的为①②④⑤．
故选：D
第Ⅱ卷（共96分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 若，则_____．
【答案】
【解析】∵，
∴设a=4k，b=7k，
∴,
故答案为：．
10. 一个密闭不透明的口袋中有5个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为估计其中的白球数，采用了如下方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，不断重复上述过程．小亮共摸了100次，其中20次摸到黑球．根据上述数据，可估计口袋中白球的个数大约是_____个．
【答案】20
【解析】∵小明共摸了100次，其中20次摸到黑球，则有80次摸到白球，
∴摸到黑球与摸到白球的次数之比为，
∵这个口袋中有5个黑球，
∴共有白球个，
故答案为：20．
11. 绘画兴趣小组的每名同学将自己水墨画作品向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件．若设全组有x名同学，则根据题意列出方程为_____．
【答案】
【解析】设全组共有x名同学，则每名同学所赠的作品为：件，
则，
故答案为：．
12. 如图，四边形为正方形，点E是的中点，将正方形沿折叠，得到点B的对应点为点F，延长交线段于点P，若，则的长度为___________．
【答案】2
【解析】连接AP，如图所示，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE＝AB＝3，
由翻折可知：AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，
∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°，
在Rt△AFP和Rt△ADP中，
，
∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），
∴PF＝PD，
设PF＝PD＝x，则CP＝CD−PD＝6−x，EP＝EF＋FP＝3＋x，
在Rt△PEC中，根据勾股定理得：EP2＝EC2＋CP2，
∴（3＋x）2＝32＋（6−x）2，解得x＝2，则DP的长度为2，
故答案为：2．
13. 某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2016年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2018年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为_______．
【答案】20%
【解析】设每年投资的增长率为x，
由题意得，5×（1+x）2=7.2，
解得：x=0.2或x=-1.2（不合题意，舍去），
答：每年投资的增长率为20%．
故答案为20%．
14. 如图，把沿边平移到的位置，图中所示的三角形的面积与四边形的面积之比为4∶5，若，则此三角形移动的距离是____________．
【答案】
【解析】∵根据题意“把沿边平移到的位置”，
∴AC∥A1D，故判断出△A1BD∽△ABC，
∵图中所示的三角形的面积与四边形的面积之比为4∶5，
∴与的面积比为4∶9，
∴A1B∶AB=2∶3，
∵，
∴A1B=，
∴=AB－A1B=4－=．
故答案为．
三、作图题（本大题满分6分）
15. 已知：如图，线段a和∠α，求作：矩形，使对角线，两条对角线、的夹角为α．（请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）
解：如图，矩形即为所求作的四边形；
．
四、解答题（本大题共7小题，共72分）
16. （1）用配方法解方程：；
（2）用适当方法解方程：；
（3）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求m的范围．
解：（1）；配方得：，即，
开方得，
∴，
∴，；
（2）；
∴，
∴，
∴，
解得，；
（3）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
，
解得且．
17. 甲口袋装有编号为1，2的两张卡片，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五张卡片，两口袋中的卡片除编号外都相同．小刚先从甲口袋中随机抽出一张卡片，小颖再从乙口袋中随机抽出一张卡片，若两张卡片编号之和为奇数，则小刚获胜；若两张卡片编号之和为偶数，则小颖获胜．请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
解：这个游戏对双方是公平的．理由如下，
画树状图：
共有10种等可能的结果，其中两张卡片编号之和为奇数的结果数为5，两张卡片编号之和为偶数的结果数为5，
所以小刚获胜的概率，小颖获胜的概率，而，
所以这个游戏对双方是公平的．
18. 如图，在中，是角平分线，点E是边上一点，且满足．
（1）证明：；
（2）若，，求的长．
解：（1）∵是的角平分线，
∴．
∵，
∴．
（2）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
19. 尊老爱幼是中华民族的传统美德，九九重阳节前夕，某商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．
（1）若每件商品降价x元，则商店每天的平均销量是 件（用含x的代数式表示，需要化简）；
（2）不考虑其他因素的影响，若商店平均每天至少要销售该商品200件，平均每天的利润达到1280元，每件商品的定价应为多少元?
解：（1）（件）．
故答案为：；
（2）设每件商品的定价为元，则每件商品的销售利润为元，平均每天能售出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，舍去，
答：每件商品的定价应为19元；
20. 已知：如图1，四边形是平行四边形，点、在对角线所在直线上，且．
（1）求证：；
（2）如图2，连接、，若平分，四边形是什么特殊的四边形?请说明理由．
解：（1）四边形是平行四边形，
，，
，
，
在和中，
，
；
（2）四边形是菱形，理由如下：
如图，连接交于点，
，
，，
∴，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
四边形是菱形，
21. 【发现与思考】
如图①，在矩形中，对角线与相交于点，点是中点，连接，，与交于点，，．
（1）直接写出线段、的长度： ， ；
（2）直接写出线段与的比值： ；
【方法与探究】
如果将【发现与思考】中的“在矩形中”这一条件变得更为一般化，改为“在平行四边形中”——如图②，那么条件变了，线段与的比值是否保持不变？请说明理由；
【拓展与应用】
如图③，在中，中线与中线相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，若，，则请直接写出线段的长度： ．
解：【发现与思考】（1）四边形是矩形，
，，，
点是中点，
，
是的中位线，
；
；
故答案为：2，5；
（2）由（1）知，是的中位线，，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
；
故答案为：；
【方法与探究】不变，
理由如下：
四边形是平行四边形，
，，
点是中点，
，
是的中位线，
，，
，
，
，
，
，
；
【拓展与应用】
如图③，过作交于，
是的中线，
，
，
是的中位线，
，
是的中线，
，
，
，
，
，
如图③，过作交于，交于，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故答案为：．
22. 已知：如图，在矩形中，，对角线相交于点E，动点M从点D出发，沿方向匀速运动，速度为；与M点同时，动点N从点C出发，沿方向匀速运动，速度为；当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动．设运动时间为t（s），（）．解答下列问题：

（1）当______，以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似；
（2）设的面积为S，求出S与t的函数表达式；
（3）延长分别交于，连接，是否存在某一时刻t，使四边形是矩形？若存在，求出这一时刻的t值；若不存在，请说明理由．
解：（1）
∴当或时，和相似，
若则
解得：
若则
解得：
（2）如图，过点作

∵四边形是矩形，
的面积
∴的函数表达式为：．
（3）存，如图， 过点作

∴四边形是平行四边形，
∴当时，平行四边形是矩形，
(舍去)，
∴的值为．