2023~2024学年山东省青岛市崂山区九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省青岛市崂山区九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 方程的两个根为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵
∴
∴
故选：D．
2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A. 、、、B. 、、、
C. 、、、D. 、、、
【答案】D
【解析】根据两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
A，，所以四条线段不成比例，故A选项不符合题意；
B，，所以四条线段不成比例，故B选项不符合题意；
C，，所以四条线段不成比例，故C选项不符合题意；
D，，所以四条线段成比例，故D选项符合题意．
故选：D．
3. 某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A. 袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球
B. 掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数
C. 先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面
D. 先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9
【答案】D
【解析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，
A、袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球的概率为，不符合题意；
B、掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数的概率为，不符合题意；
C、先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面的概率为，不符合题意；
D、先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9的概率为，符合题意，
故选D．
4. 如图1，在菱形中，对角线相交于点O，要在对角线AC上找两点E，F，使得四边形是菱形，现有如图2所示的甲、乙两种方案，则正确的方案是（ ）

A. 只有甲对B. 只有乙对
C. 甲、乙都对D. 甲、乙都不对
【答案】C
【解析】∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，即，
∵，，
∴四边形是菱形．
故方案甲正确；
∵四边形是菱形，
∴，，，，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
故方案乙正确．
故选：C．
5. 如图，在5×6的方格纸中，画有格点△EFG，下列选项中的格点，与E，G两点构成的三角形中和△EFG相似的是（ ）
A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D
【答案】D
【解析】观察图形可得△EFG中，直角边比为，
观各选项，，只有D选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．
故选：D．
6. 某超市一月份的营业额为万元，第一季度的营业额共35万元，如果平均每月增长率为，则所列方程为（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵平均每月增长率为，
∴二月份的营业额为，三月份的营业额为，
由题意，得：；
故选D．
7. 如图，矩形中，，点E、F是的三等分点，连接，，相交于点M，则线段的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵矩形，，
∴，，，
∵点E、F是的三等分点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，∴；
故选A．
8. 如图，已知点C是线段的黄金分割点，且．若表示以为边的正方形的面积，表示长为、宽为的矩形的面积，则与的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】∵点C是线段的黄金分割点，且，
∴，
∵表示以为边的正方形的面积，表示长为、宽为的矩形的面积，
∴，
∴．
故选：A．
9. 如图，在ABCD中，AB=3，AD=5，AE平分∠BAD，交BC于F，交DC延长线于E，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DE，AD//BC，
∴∠BAE=∠E，
∵AE平分∠BAD，
∴∠EAD=∠BAE，
∴∠E=∠EAD，
∴AD=DE=5，
∴CE=DE-CD=5-3=2，
∵BC//AD，
∴△AED∽△FEC
∴
∴.
​​​​​​​故答案为B.
10. 如图,边长为的正方形的对角线与交于点,将正方形沿直线折叠，点落在对角线上的点处，折痕交于点,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD正方形，
∴AB=AD=BC=CD=，∠DCB=∠COD=∠BOC=90°，OD=OC，
∴BD=AB=2，
∴OD=BO=OC=1，
∵将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，
∴DE=DC=，DF⊥CE，
∴OE=-1，∠EDF+∠FED=∠ECO+∠OEC=90°，
∴∠ODM=∠ECO，
在△OEC与△OMD中，
，
△OEC≌△OMD（ASA），
∴OM=OE=-1，
故选：D．
第II卷（共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒子中棋子的总个数是_________．
【答案】
【解析】，∴盒子中棋子的总个数是．故答案为：．
12. 在平面直角坐标系中，已知点E（-4，2），F（-2，-2），以原点O为位似中心，相似比为1：2，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是______．
【答案】（-2，1）或（2，-1）．
【解析】∵顶点E的坐标是（-4，2），以原点O为位似中心相似比为1：2将△EFO缩小得到它的位似图形△E′F′O，
∴点E′的坐标是：（×（-4），×2），[- ×（-4），- ×2]，即（-2，1）或（2，-1）．
故答案为（-2，1）或（2，-1）．
13. 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____．
【答案】k＞﹣1且k≠0
【解析】∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴△==＞0，且，解得：k＞﹣1且k≠0，
故答案为：k＞﹣1且k≠0.
14. 如图，小李身高，在路灯O的照射下，影子不全落在地面上．小李离路灯的距离，落在地面上影长，留在墙上的影高，则路灯高为_________．

【答案】
【解析】过点D作于点F，交于点E，
∵，
∴四边形、四边形均为矩形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
故答案为：．

15. 如图，中边，高，正方形的四个顶点分别为三边上的点（点为上的点，点为上的点，点为上的点），则正方形的边长为_______．
【答案】
【解析】如图所示：
四边形为正方形，
，即，
，
，
设正方形的边长为，
则，
，
解得：，
正方形的边长为，
故答案为：．
16. 如图，在菱形中，，E、F分别是，的中点，、相交于点G，连接，．有下列结论：①，②，③，④；其中正确的结论序号是_______．
【答案】①②③
【解析】①∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，，
∵E、F分别是，的中点，
∴，，
∴，故①正确，符合题意；
②∵，
∴，
和①同理可得为等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵，，，
∴，
∴
∴，
∴，故②正确，符合题意；
③∵点E为中点，为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确，符合题意；
④∵，
∴与不全等，故④不正确，不符合题意；
综上：正确的有①②③，
故答案为：①②③．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17. 解下列方程：
（1）2x（x+1）＝x+1
（2）
解：（1），
，
，
或，
∴；
（2），
，
则，即，
∴，
∴，．
18. 已知一元二次方程有两个实数根．
（1）求取值范围；
（2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求此时的值．
解：（1）∵方程是一元二次方程，
∴，
解得：，
∵方程有两个实数根，
∴，
解得：，
综上： 的取值范围且；
（2）∵且，
∴符合条件的最大整数，
把代入得：，
解得：，
∵方程与有一个相同的根，
∴方程的一个根为，
把代入得：，解得：．
19. 小明和小亮用如图所示的两个转盘做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？说说你的理由．
解：把盘等分成三部分，使得被转到的可能性相等，如下图：
根据题意列表如下：
共有12种等可能的结果出现，其中两次数字之和为奇数的有6种，两次数字之和为偶数的有6种，
则（小明获胜），（小亮获胜），
，
这个游戏对双方公平．
20. 如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，连接BD并延长，与∠ACF的角平分线交于点E．
（1）求证：△ABD ∽△CED；
（2）若AB=8，AD=2CD，求CE的长．
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，∠ACF=120°；
∵CE平分∠ACF，∴∠ACE=60°；
∴∠BAC=∠ACE；
又∵∠ADB=∠CDE，
∴△ABD∽△CED；
（2）∵△ABD∽△CED，
∴，
∵AD=2DC，AB=8；
∴
21. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．
解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°∠D＝∠D
∴△DEF∽△DCB
∴＝
∵DE＝40cm＝0.4m，EF＝20cm＝0.2m，AC＝1.5m，CD＝10m，
∴＝
∴BC＝5米，
∴AB＝AC+BC＝1.5+5＝6.5米
∴树高为6.5米．
22. 阅读理解：
如图1，在四边形的边上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接，，可以把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形的边上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形的边上的强相似点．
（1）如图1，，试判断点E是否是四边形的边上的相似点，并说明理由；
（2）如图2，在矩形中，四点均在正方形网格（网格中每个最小正方形的边长为1）的格点（即每个最小正方形的顶点）上，若图2中，矩形的边上存在强相似点E，则 ；
拓展探究：
（3）如图3，将矩形沿折叠，使点落在边上的点E处．若点E恰好是四边形的边上的一个强相似点，试探究和的数量关系．
解：（1）是，理由如下：
，，
，
又，
，
点是否是四边形的边上的相似点；
（2）如图，
故或．
故答案为：或；
（3）点恰好是四边形的边上的一个强相似点，
，
，
，
，
，
即．
23. 如图，平行四边形的对角线、交于点O，E为中点，过点C作交的延长线于F，连接．
（1）求证：；
（2）当满足什么条件时，四边形为菱形？请说明理由．
解：（1）∵，
∴，
∵E为中点，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）当时，四边形为菱形，
理由如下：
由（1）可得：，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，，
∴，
∴四边形为菱形．
24. 某商店准备销售一种多功能背包，计划从厂家以每个元的价格进货，经过市场调研发现当每个背包的售价为元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个．为保障商店的正常营销，每个背包售价不高于55元．当这种背包销售单价为多少元时，销售利润可达3120元？
解：设背包销售单价为x元，
，
整理得：，
解得：，，
∵每个背包售价不高于55元，
∴当这种背包销售单价为42元时，销售利润可达3120元．
25. 如图，在中，，点P由点B出发沿的方向向点A匀速运动，速度为2cm/s，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为2cm/s，连接．
设运动的时间为t（s），其中．解答下列问题：

（1） ， ；（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，以P、Q、A为顶点的三角形与相似？
（3）点P、Q在运动过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）在中，由勾股定理得：，
由题意得：，，
，
故答案为：，；
（2）分两种情况：
①如图1，

当时，，
则，
即，
解得：；
②如图2，

当时，，
则，
即，
解得：；
综上所述，的值为或时，以、、为顶点的三角形与相似；
（3）能成为等腰三角形，理由如下：
分三种情况：①如图3，

当时，
，
解得：；
②如图4，

当时，过点作于，
则，，
，
，
，
，
解得：；
③如图5，

当时，过点作于，
则，，
，
，
，解得：，
综上所述，当的值为或或时，能成为等腰三角形．
盘和盘
1
2
5
6
3
4
5
8
9
5
6
7
10
11
5
6
7
10
11