2023~2024学年山东省烟台市招远市(五四制)九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省烟台市招远市(五四制)九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共17页。试卷主要包含了 下列函数， 若斜坡的坡比为1， 把二次函数化成的形式是， 在中，，若，则的值为， 在平面直角坐标系中，二次函数， 反比例函数与一次函数等内容，欢迎下载使用。
1. 下列函数：①；②；③；④．其中y是x的反比例函数的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】y是x的反比例函数的有．故选A.
2. 若斜坡的坡比为1：，则斜坡的坡角等于( )
A. 30°B. 45°C. 50°D. 60°
【答案】D
【解析】坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．若斜坡的坡比为1：，坡角的正切值=，
所以坡角等于60.
故选D.
3. 把二次函数化成的形式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】,故选
4. 下列哪个点在反比例函数的图象上（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，所以点不在函数图象上，故选项不符合题意；
，所以点在函数图象上，故选项符合题意；
，所以点不在函数图象上，故选项不符合题意；
，所以点不在函数图象上，故选项不符合题意；
故选：．
5. 在中，，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵在中，，，
设，则，
∴，
∴

故选：A．
6. 在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴的右侧，该二次函数有（ ）
A. 最小值B. 最小值
C. 最大值D. 最大值
【答案】A
【解析】∵二次函数（为常数）的图象经过点，
∴，解得：或，
∵对称轴在轴的右侧，
∴，解得：，
∴，
∴二次函数，
∴该二次函数图象开口向上，有最小值，
故选：A．
7. 反比例函数与一次函数（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、由函数的增减性可知，但从函数图象与y轴的交点来看，相矛盾，故A错误；
B、由函数的增减性可知，但从函数图象与y轴的交点来看，相矛盾，故B错误；
C、由函数的图象可知，由函数的图象可知，故C正确；
D、由函数的图象可知，由函数的图象可知，相矛盾，故D错误；
故选：C．
8. 如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为10m，若在坡度为的山坡上种树，也要求株距为10m，那么相邻两棵树间的坡面距离为（ ）

A. B. C. 12mD. 12.5m
【答案】B
【解析】过A作于B，如图所示：

由题意得：水平距离为10m, 坡度为，
∴铅直高度（m），
在中，
由勾股定理得：（m），
故选：B．
9. 将抛物线绕原点旋转，则旋转后的抛物线表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵
∴顶点坐标为，开口向上，
绕原点旋转，顶点坐标为，开口向下，
∴旋转后的抛物线解析式是．故选：D．
10. 如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】过点A向BC作AH⊥BC于点H，
所以根据相似比可知：，即EF=2（6-x）
所以y=×2（6-x）x=-x2+6x．（0＜x＜6）
该函数图象是抛物线的一部分，
故选D．
二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11. 反比例函数的图象有一支位于第一象限，则常数m的取值范围是________．
【答案】
【解析】反比例函数的图象的一支位于第一象限，
故答案为：．
12. 用“描点法”画二次函数的图象时，列了如下表格：
则根据表格上的信息，当时，_____．
【答案】
【解析】由表格可知当和时，，
∴抛物线的对称轴为，
∴和时的函数值相等，为，
故答案为：．
13. 在中，，，，则的度数为________．
【答案】
【解析】，，，
∴
∴
故答案为：．
14. 如图,点A是反比例函数的图象上一点，轴交x轴于点B，，________．
【答案】3
【解析】如图，过点A作轴交y轴于点H，

轴，
轴，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形的面积等于矩形的面积，
点A是反比例函数的图象上一点，
．
15. 如图，在中，，，，则的长为_________．

【答案】2
【解析】如图，过点作的垂线段，交于点，
设，则，
，，
，
在中，，
在中，，
根据可列方程：，
解得，
即的长为2，
故答案为：2．

16. 如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线表达式是，则选取点B为坐标原点时的抛物线表达式是________．
【答案】
【解析】由题意，得，
设抛物线表达式解析式为，
把代入，得
解得：，
选取点为坐标原点时的抛物线解析式是：．
故答案为：．
三．解答题（本大题共9个小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答．）
17. 求下列各式的值：
（1）；
（2）．
解：（1）
（2）
18. 如图,拦水坝的横断面为梯形,,坝高，坡角，，求的长．

解：过A点作于点，过作于点，

∴
由题意得：，，
在中，∴，
在中，∴
∴
∴的长为．
19. 小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其研究过程如下：
（1）绘制函数图象
①列表：如表是x与y的几组对应值，其中 ；
②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完．
（2）探究函数性质：判断下列说法是否正确(正确的填“”，错误的填“”)
①函数值y随x的减小而增大（ ）；
②函数图象关于原点对称（ ）；
③函数图象与直线没有交点（ ）．
解：（1）①时，，
故答案为：1；
②如图：

，
∴A即为的点；
③补充图象如图：

（2）根据函数图象可得：
①每一个分支上，函数值y随x的增大而减小，故①错误，应为，
②图象关于对称，故②错误，应为，
③时，无意义，函数图象与直线没有交点，应为．
故答案为：；；．
20. 已知k是常数，抛物线的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点．
（1）求k的值；
（2）若点P在抛物线上，且点P到y轴的距离是3，求点P的坐标．
解：（1）由题意得：，即，
解得：，，
当时，二次函数解析式为：，
又∵，
∴抛物线与x轴无交点，
∴不符合题意，舍去；
当时，二次函数解析式为：，
又∵，
∴抛物线与x轴有两交点，
∴k的值为．
（2）∵点P到y轴的距离是3，
∴点P的横坐标为3或，
由（1）知，，所以二次函数的表达式为：，
又∵点P在抛物线上，
∴当时，，
当时，，
∴点P的坐标为或．
21. 如图,在矩形中,是对角线,,垂足为，连接，若，求的值是多少？

解：过点作，垂足为点，

∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，，
设，则，，，
∴，
∵，∴，
∴在中，，
∴的值是．
22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点P在x轴上，且满足的面积等于8，请直接写出点P的坐标；
（3）直接写出时x的取值范围．
解：（1）∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴点A坐标为，
由题意得：，
解之得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）设直线与轴交于点，

当时，，
解得，
或；
（3）根据函数图像可知：时，x的取值范围：或．
23. 图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄与地面平行，踏板长为 ，与地面的夹角,支架长为 ，,求跑步机手柄所在直线与地面之间的距离.结果精确到．参考数据：,,，，，，

解：过点作交所在的直线于点，延长交于点，

，
由题意可得：，
，
∴∠DGF=90°，
与地面的夹角，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
答：跑步机手柄所在直线与地面之间的距离约为．
24. 如图，为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长米)的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙，且不超过墙的长度，另三边用总长为米的栅栏围住．

（1）若墙的长为时，此矩形绿化带的面积为 ；当矩形绿化带的面积为时，墙的长为 ；
（2）当墙的长度为多少米时，矩形绿化带的面积最大？最大面积是多少？
解：（1）当米，则米，
∴矩形的面积为：；
设，
依题意可得，，
整理得，，
解得，(不合，舍去)，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）设墙的长为米，矩形绿化带的面积为，则墙的长为米，
由题意得：，
∵墙长米，
∴，即，
∵，对称轴，
∴当时，随的增大而减小，即取最小值时，最大，
∴当，最大值，
答：当墙的长度为米时，矩形绿化带的面积最大；最大面积是．
25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的图象与轴交于点，两点，点坐标为，点的坐标为，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若将直线绕点顺时针旋转，交抛物线于一点，交轴的正半轴于点，若，连接，求此时的面积；
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点，使得线段被直线平分？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
解：（1）设抛物线的解析式为：，
，
∴，解得：，
则抛物线的解析式为：；
（2）过点作轴，垂足为点，
当时，，
点，
，，，
，
，
点，，
设直线的解析式为：，将点代入上式得：，
解得：，∴直线的解析式为：；
点是直线与抛物线的交点，
令解之得：，，
点在第二象限，点的横坐标为，则，
点，，
，
，
此时的面积为；
（3）假设在抛物线上存在一点，使得线段被直线平分，且线段的中点为，设点(，)，已知点的坐标为，
根据中点坐标公式得：点（，），
将点坐标代入直线的解析式中得：
，解得，，
点的坐标为（，）或（，）…
…
…
…
x
…
0
1
2
…
y
…
3
2
m
…