2023~2024学年山东省青岛市即墨区九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省青岛市即墨区九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、选择题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分）
下列每小题都给出标号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．
1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A. 2x+1=0是一元一次方程，故不符合题意；
B. ，分母含有未知数，故不符合题意；
C.为一元二次方程，符合题意；
D. ，分母含有未知数，故不符合题意；
故选C．
2. 已知四条线段a，3，，4是成比例线段，则a的值为( )
A. 4B. 3
C. D. 或
【答案】B
【解析】∵四条线段a，3，，4是成比例线段，
∴，解得：；故选B．
3. 如图，与位似，点是位似中心，若，，则（ ）
A. 9B. 12C. 16D. 36
【答案】D
【解析】∵与位似，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
4. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ）
A. 9.6B. 0.6C. 6.4D. 0.4
【答案】A
【解析】∵经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，
∴点落在阴影部分的概率为0.6，
设阴影部分面积为S，则，即：，
∴黑色阴影的面积为9.6，
故选：A．
5. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且D. 且
【答案】D
【解析】根据题意得a≠0且△=22-4a＞0，
解得a＜1且a≠0．
故选：D．
6. 有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ）
A. 14B. 11C. 10D. 9
【答案】B
【解析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得：
，
解得：（舍去），
故选B．
7. ABCD是边长为1的正方形，是等边三角形，则的面积为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，
过P作PE⊥CD，PF⊥BC，
∵正方形ABCD的边长是1，△BPC为正三角形，
∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=1，
∴∠PCE=30°，
∴PF=PB•sin60°=1×=，PE=FC=，
S△BPD=S四边形PBCD-S△BCD=S△PBC+S△PDC-S△BCD
=××1+××1-×1×1=；
故选B．
8. 如图，在平行四边形ABCD中，ECD上一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则DF∶BF等于（ ）
A 2∶5B. 2∶3C. 3∶5D. 3∶2
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD．
∵DE∶EC＝2∶3，
∴＝＝＝．
∵AB∥CD，
∴，
∴＝＝．
故选：A．
9. 如图，D是边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】在和中，，
A、，利用两组对应角相等的三角形相似，得到，不符合题意；
B、，利用两组对应角相等的三角形相似，得到，不符合题意；
C、，不能证明，符合题意；
D、，根据两组对应边对应成比例，夹角相等，得到，不符合题意；
故选C．
10. 如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点、，连接，与相交于点．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的为（ ）

A. ①②③④B. ①②③C. ②③④D. ①②④
【答案】A
【解析】为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
在中，
，
，
又，
，
故①正确；
，，
，
，
故②正确；
，
，
，
又与同高，
，
又，，
，
，
故③正确；
，，
，
，
，
又，，
，
故④正确，
故选：A．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
11. 方程的解为________________．
【答案】
【解析】
∴，
故答案为：．
12. 一个口袋中有红球，白球共20个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有60次摸到红球，估计这个口袋中红球的数量为 _____个．
【答案】12
【解析】估计这个口袋中红球的数量为（个），
故答案为：12．
13. 如图，学校元旦晚会的舞台的长为米，主持人小明学习了相关的数学知识后，认为站在点C处更自然得体（已知点C是线段上靠近点B的黄金分割点），则此时小明与点A的距离为____________米．
【答案】
【解析】∵舞台的长为米，点C是线段上靠近点B的黄金分割点，
∴（米），
故答案为：．
14. 如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足________条件时，四边形EFGH是菱形．
【答案】AB=CD
【解析】需添加条件AB=CD．
∵E，F是AD，DB中点，
∴EF∥AB，，
∵H，G是AC，BC中点，
∴HG∥AB，，
∴EF∥HG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵E，H是AD，AC中点，
∴，
∵AB=CD，
∴EF=EH，
∴四边形EFGH菱形．
故答案为AB=CD．
15. 如图，在中，，，，是上一动点，过点作于点，于点．连接，则线段的最小值是________．
【答案】
【解析】如图，连接．
∵，，，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，∴，
由垂线段最短可得时，线段的值最小，
此时，，
即，
解得，
∴，线段的最小值为．
故答案为：．
16. 如图，在中，，．按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点E，F；②作直线EF；③以点B为圆心，以BA为半径画弧交直线EF于点G；④连接BG交AC于点P．则______．
【答案】75°
【解析】如果所示：
由题意得EF垂直平分AB，AB=BG，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为75°
三、作图题（4分，用圆规和直尺作图，不写作法，保留痕迹）
17. 如图所示，一块儿三角形空地ABC，要在其内部建一个菱形花园，使得B为菱形花园的一个顶点，其余3个顶点分别在的3条边上．请你能设计出此菱形花园．
解：如图所示，四边形BEDF为所求菱形，
作法：（1）作的角平分线交AC于点D，具体作法为：以点B为圆心，任意长为半径作圆，与AB边交于M点，与BC边交于N点，分别以M、N点为圆心，适当长为半径作圆，交于P点，作射线BP，交AC于点D；
（2）作交AB于点E，交BC于点F，则四边形BEDF为所求菱形．
∵，，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∵BD是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形BEDF为菱形．
四、解答题（本题满分68分）
18. 用适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1），
移项得，，
两边除以2得，，
开平方得，，
∴，；
（2），
配方得，，即，
开平方得，，
∴，；
（3），
移项得，，
分解因式得，，
∴或，
∴或；
（4），
分解因式得，，
移项得，，
因式分解得，，即，
∴或，∴，．
19. 如图，在中，，，，．
（1）求的长；
（2）若，求证：．
解：（1）∵，
故，
（2）∵6，∴，
∵，∴．
20. 九年级1班近期为参加学校举办的海洋知识竞赛，决定要从A、B、C、D四名同学中随机选出2名同学参赛．
（1）请问选中B同学的概率是多少？
（2）请利用树状图或表格求出同时选中A、C两名同学的概率．
解：（1）画树状图得，

∴共有12种等可能的结果，选中B同学的有6种情况，
∴选中B同学的概率为：．
（2）画树状图得，

∴共有12种等可能的结果，恰好选中A、C两位同学的只有2种情况，
∴恰好选中A、C两位同学的概率为：．
21. 如图，要利用一面墙（墙长为25米）建一个矩形场地，用100米的围栏围成三个大小相同的矩形，设矩形的边长AB为x米，矩形场地的总面积为y平方米.
（1）请用含有x的式子表示y（不要求写出x的取值范围）；
（2）当x为何值时，矩形场地的总面积为400平方米？
解：（1）设AB=x，BC=100-4x，依题意得：

（2）当y=400时，
解得：
∵墙长为25米
∴当时，BC=100-4x=80>25
不符合题意，舍去
∴x=20
答：（1）y与x的关系是：；
（2）当x=20时，矩形场地的总面积为400平方米.
22. 已知：如图，在中，，点E，F分别是的中点．
（1）求证：；
（2）当______时，四边形是正方形？请证明你的结论．
解：（1）∵，∴，
∵点E，F分别是的中点，
∴，
∴；
（2）；理由如下：
∵，∴，
∵点E，F分别是的中点，∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，∴，∴，∴平行四边形是矩形，
∵，∴，∴，∴矩形是正方形．
故答案为：45．
23. 请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：
设D，E，F依次是的三边及其延长线上的点，且这三点共线，则满足．这个定理的证明步骤如下：
情况①：如图1，直线交边于点D，交边于点E，交边的延长线于点F．过点C作交于点G，
则，（依据）
∴．
∴，
即．
情况②：如图2，直线分别交的边的延长线于点D，E，F…
（1）情况①中的依据指：_______．
（2）请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明．
（3）如图3，D、E分别是的边上的点，且，连接并延长，交的延长线于点F，那么______．
解：（1）情况①中的依据是：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
故答案为：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
（2）作交于，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，，
∴，
∴；
故答案为：．
24. 因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间，将接待游客达万人次．
（1）求东部华侨城景区2020至2022年春节长假期间接待游客人次的平均增长率．
（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2022年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？
解：（1）设年平均增长率为x，由题意得：
，
解得：，（舍）．
答：年平均增长率为．
（2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得：，
整理得：，
解得：，．
∵售价不超过20元，
∴．
答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．
25. 矩形中，为对角线，，E为中点，动点P从点A出发沿方向，向点B运动，动点Q同时以相同速度，从点B出发沿方向向点C运动，P、Q的速度都是1cm/秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为x秒．
（1）时，求运动时间t；
（2）时，求运动时间t；
（3）当t为何值时，以点P，B，Q为顶点的三角形与相似？
（4）连接的面积能否达到矩形面积的三分之一，若能求出t的值；若不能，说明理由．
解：（1）由题意得，，则，
∵，
∴，
∴，即，
解得；
（2）∵四边形是矩形，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得；
（3）当时，则，如图3-1所示，
∵E是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
解得或（舍去）；
当时，则，
∴，
∴，
解得（不合题意的值已舍去）；
综上所述，当或时，以点P，B，Q为顶点的三角形与相似
（4）由题意得，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得（不合题意的值已舍去）．