2023~2024学年山东省菏泽市定陶区九年级(上)期中考试数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省菏泽市定陶区九年级(上)期中考试数学试卷(解析版)，共21页。试卷主要包含了请将答案填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试题满分120分，考试时间120分钟
2．请将答案填写在答题卡上
一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置）
1. 如果两个相似三角形的相似比是，那么它们对应的周长的比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵两个相似三角形的相似比是，
∴它们对应的周长的比是为，
故选：．
2. 在中，，，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵在中，，，
∴，
∴，
故选B．
3. 如图，是的圆周角，，则么的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
故选：．
4. 如图，以点为位似中心，作四边形位似图形，已知，若四边形的面积是4，则四边形面积是（ ）
A. 6B. 9C. 16D. 18
【答案】B
【解析】∵四边形和四边形是位似图形，
∴，
∵，
∴，
∵四边形的面积是4，
∴四边形面积是9．
故选：B
5. 如图，是的直径，点在上，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接，，

∵同弧所对的圆周角相等，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
6. 如图，在中，，，点为的中点，于点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接，
中，，，为中点，
，，
，
．
，，
，，
，
．
故选：C．
7. 如图，在中，内切圆与，，分别切于，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示，连接，
∵内切圆与，分别切于，，
∴，
∵，
∴，
∵点D在圆O上，
∴，
故选B．
8. 如图，在ΔABC中,点在边上,则在下列四个条件中：①；②；③；④，不能判定与相似的是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】D
【解析】①在与中，
，，
正确，故①不符合题意；
②在与中，
，，
正确，故②不符合题意；
③在与中，
,即
又,
正确，故③不符合题意；
④在与中，
,即，
不符合相似三角形判定法则，错误，故④符合题意，
故选：D．
9. 如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ）
A. πcmB. 2πcmC. 3πcmD. 4πcm
【答案】D
【解析】根据题意，重物高度为（cm），
故选：D．
10. 如图，点是的内心，连接并延长交于点，交的外接圆于点，连接．以下结论中正确的结论有（ ）个.

（1）平分；（2）；（3）；（4）；（5）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】A
【解析】∵点E是的内心，
∴平分，故（1）正确；
∴，
∴，故（2）正确；
∴，故（3）正确；
∵，，
∴，故（4）正确；
如图，连接，

∵点E是内心，
∴平分，平分，
∴，，
又∵．
∴，，
即，
故．故（5）正确；
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内）
11. 如图，在中，点，分别在边，上，且，若，则______．
【答案】10
【解析】∵，，
∴，
∴，
∵，∴，
故答案为：10．
12. 如图，一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得，，则圆形镜面的半径为______．
【答案】5
【解析】连接，
∵，且是圆周角，
∴是圆形镜面的直径，
由勾股定理得：，
所以圆形镜面的半径为，
故答案为：5．
13. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点，若与的相似比为1：2，已知，则它对应点的坐标是______．
【答案】或
【解析】与位似，位似中心是原点，若与的相似比为1：2，已知，
它对应点的坐标是或，故答案为：或．
14. 如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在弧上的点处，折痕交于点，则弧的长是______．
【答案】
【解析】连接，则，
∵将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在弧上的点处，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
弧的长，
故答案为：．
15. 如图所示，桔棒是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆米，，支架米，可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时，此时点B到水平地面的距离为___________米．（结果保留根号）

【答案】
【解析】过点作于点，过点作交于点，交于点，

∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
在中，，，
∴；
∴，
在中，，，
∴；
∴（米）；
故答案为：．
16. 如图在平面直角坐标系中，的圆心在轴上，且经过点和点，点是第二象限圆上的任意一点，且，则的圆心的坐标是______．
【答案】
【解析】连接，过作轴于，过作 轴于，
则，，
∵和点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本题共72分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内）
17. 计算：．
解：原式，
，
．
18. 在中，已知，求的长．
解：作于点D，如图，
∵，
∴，，
，
∴．
19. 如图，已知是的直径，为上的一点，是弧的中点，，垂足为点．交于点，连接．
求证：
证明：延长交于点M，
∵，是的直径，
∴，
∵点C是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
20. 如图，在中，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，经过几秒与相似？
解：设经t秒钟和相似，
当时，，
即，
解得：，
当时，
，
即，
解得：，
答：经2秒或秒与相似．
21. 为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形为矩形，，其坡度为，将步梯改造为斜坡，其坡度为，求斜坡的长度．（结果保留根号）
解：∵，其坡度为，
∴在中，，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∵斜坡的坡度为，
∴，
∴，
在中，，
∴斜坡的长度为．
22. 如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，弦AD∥OC．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）已知AB＝6，CB＝4，求线段AD的长．
解：（1）如图：连接OD，
，
，，
，
，
，
在和中
，
，
，
，，
，
DC是⊙O的切线；
（2）如图:连接BD，
为直径，
在中
23. 如图，等腰三角形的顶角，和底边相切于点，并与两腰，分别相交于，两点，连接，．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积．
解：（1）连接，

和底边相切于点，
，
，，
，
，，
和都是等边三角形，
，，
，
四边形是菱形；
（2）连接交于点，

四边形是菱形，
，，，
在中，，
，
，
图中阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积
，
图中阴影部分的面积为．
24. 湖州西山漾湿地公园一休闲草坪上有一架秋千．秋千静止时，底端A到地面的距离AB为0.5m，从竖直位置开始，向右可摆动的最大夹角为37°，若秋千的长OA＝2m．（参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75）
（1）如图1，当向右摆动到最大夹角时，求A'到地面的距离；
（2）如图2，若有人在B点右侧搭建了一个等腰三角形帐篷，已知BC＝0.6m，CD＝2m，帐篷的高为1.8m，当人站立在秋千上，请问摆动的过程中是否会撞到帐篷？若不会撞到，请说明理由；若会撞到，则帐篷应该向右移动超过多少米才能不被撞到？
解：（1）过A′作A′N⊥OA于C，
在Rt△ONA′中，
∴ON＝OA′×cs37°≈0.8×OA′＝0.8×2＝1.6，
∴NB＝AN+AB＝2﹣1.6+0.5＝0.9，
∴A'到地面的距离为0.9m；
（2）将帐篷的示意图标注字母如图所示，延长NA′交PF于点Q,交PC于点M.
当秋千摆动的夹角最大时，由（1）知，FQ＝NB＝0.9m，
∵CF＝1，PF=1.8，∴PQ=0.9.
由△PMQ∽△PCF可知MQ＝0.5m，
由A′N＝A′O·sin37°≈2×0.6=1.2m，
当A′恰好在帐篷的边CP时，NQ＝1.7m，BF＝1.6m，
∵NQ＞BF，
∴会撞到，
∴移动的距离为1.7﹣1.6＝0.1m．
25. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，，为线段上一动点，与过，，三点的圆交于点，连结．
（1）求证：；
（2）随着点的运动，探索的值是否发生变化？试证明你的结论．
解：（1），，，，
，，，，
，，
，
；
（2）的值不变，理由如下：
如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
的值不变．
26. 如图1，的直径垂直弦于点E，且．
（1）求的长．
（2）探究拓展：如图2，连接，点G是上一动点，连接，延长交的延长线于点F．
①当点G是的中点时，求证：；
②如图3，连接，当为等腰三角形时，请计算的长．
解：（1）连接，如图1，
∵的直径垂直弦于点E，且，
∴，
∴，，
在中，，
∴；
（2）①连接，如图2，
∵点G是的中点，
∴，
∴，
∵的直径垂直弦于点E，
∴，
∴，
∴；
②当时，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
即，
∴；
当时，
在中，，
在中，，
∴，
同理，
∴，即，
∴；
综上，的长为或．