2023~2024学年山东省菏泽市单县九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省菏泽市单县九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共17页。

1．本试题共24道题，满分120分，考试时间120分钟．
2．请把答案写在答题卡上，选择题用2B铅笔填涂，非选择题用0.5mm的黑色签字笔书写在答题卡的指定区域内，写在其它区域不得分．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项涂在答题卡的相应位置）
1. 在△ABC中，∠C=90°，如果tanA=，那么sinB的值的等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】已知在△ABC中，∠C=90°，tanA=，设BC=5x，可得AC=12x，
根据勾股定理可求得AB=13x，所以sinB==．故答案选B．
2. 直线a上有一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线a与⊙O的位置关系是（ ）
A. 相离B. 相切
C. 相交D. 相切或相交
【答案】D
【解析】∵直线a上一点到圆心O的距离等于半径，
∴圆心O到直线a的距离小于或等于半径，
∴直线a与⊙O的位置关系是相切或相交.
故选D．
3. 如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为（ ）
A. 1：2B. 1：3C. 1：4D. 1：1
【答案】B
【解析】∵D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE的面积：△ABC的面积==1：4，
∴△ADE的面积：四边形BCED的面积=1：3；
故选B．
4. 河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡AB的坡比是，则的长是（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 12米
【答案】D
【解析】∵米，迎水坡坡比为，
∴，
∴米，
∴米，
故选：D．
5. 如图,在ABCD中,E为CD上一点,连接AE、BD，且AE、BD交于点F，，则DE：EC=（ ）
A. 2：5B. 2：3C. 3：5D. 3：2
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD
∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE
∴△DEF∽△BAF
∴
∵，
∴DE：AB=2：5
∵AB=CD，
∴DE：EC=2：3
故选B．
6. 如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（ ）
A. 10米B. 10米
C. 20米D. 米
【答案】A
【解析】∵在直角三角形ADB中，∠D=30°，
∴=tan30°．∴．
∵在直角三角形ABC中，∠ACB=60°，∴BC=．
∵CD=20，∴CD=BD﹣BC=．
解得：AB=．
故选A．
7. 如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是（ ）

A. 米2B. 米2
C. 米2D. 米2
【答案】C
【解析】连接OD，
∵弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，
∴OC=OA=×6=3．
∵∠AOB=90°，CD∥OB，
∴CD⊥OA．
在Rt△OCD中，
∵OD=6，OC=3，
∴．
又∵，
∴∠DOC=60°．
∴（米2）．
故选C．

8. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，⊙的半径为2(为坐标原点)，点是直线上的一动点，过点作⊙的一条切线，为切点，则切线长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】连接、，
是的切线，
，
根据勾股定理知，
当时，线段最短，
又、，
，
，
，
，
.
故选：.
二、填空题（本大题共6个小题每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．）
9. 的算术平方根等于____________________．
【答案】
【解析】根据特殊角的三角函数值可知，，
的算术平方根为，
故答案为．
10. 已知两边长分别是和，则它的外接圆的半径是___________．
【答案】或
【解析】若为直角边时，则斜边长为，则的外接圆的半径是，
若为斜边长时，的外接圆的半径是，
综上，的外接圆的半径是或，
故答案为：或．
11. 如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，若，则________________．
【答案】
【解析】∵四边形是矩形，
∴，，
由折叠的性质得：，
∴，
∴，
∴，∴，
∵，∴，
∴．故答案为：
12. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB=____m．
【答案】5.5
【解析】在△DEF和△DBC中，，
∴△DEF∽△DBC，
∴，
40cm=0.4m，20cm=0.2m，
即，
解得BC=4，
∵AC=1.5m，
∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m
故答案为：5.5m
13. 如图，点D是的边上一点，，，如果的面积为4，那么的面积为_____________________．
【答案】12
【解析】∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的面积为4，
∴的面积是16，
∴，
故答案：12．
14. 如图，I是△ABC的内心，AI的延长线与△ABC的外接圆相交于点D，与BC交于点E，连接BI、CI、BD、DC．下列说法中正确的有____．
①∠CAD绕点A顺时针旋转一定的角度一定能与∠DAB重合；
②I到△ABC三个顶点的距离相等；
③∠BIC=90°+∠BAC；
④点D是△BIC的外心．
【答案】①③④
【解析】∵I是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
即∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD绕点A顺时针旋转一定的角度一定能与∠DAB重合，所以①正确；
∵I是△ABC的内心，
∴点I到三角形三边的距离相等，所以②错误；
连接IC，
∵BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，
∴∠1=∠ABC，∠ICB=∠ACB．
∵∠BIC=180°﹣∠1﹣∠ICB，
∴∠BIC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）
=180°﹣（180°﹣∠BAC）
=90°+∠BAC，所以③正确；
∵∠1=∠2，∠3=∠CAD=∠4，
∴∠2+∠3=∠1+∠4，
而∠5=∠2+∠3，
∴∠5=∠1+∠4，即∠5=∠DBI，
∴DB=DI．
∵∠3=∠CAD，
∴，
∴BD=CD，
∴DB=DI=DC，
∴点B、I、C在以点D为圆心，DB为半径的圆上，
即点D是△BIC的外心，所以④正确.
故答案为：①③④.
三、解答题（本题共78分，把解答和证明过程写在答题卡的相应区域或内）
15. 计算：．
解：原式．
16. 如图所示，在菱形中，于E，，，求此菱形的边长．
解：∵四边形是菱形，∴，
∵，，
设，，则，
∴，
∴，，
∴菱形的边长为．
17. 在锐角△ABC中，正方形EFGH的两个顶点E、F在BC上，另两个顶点G、H分别在AC、AB上，BC=15cm，BC边上的高是10cm，求正方形的面积．
解：作AD⊥BC，交BC于点D，交HG于点M，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH=MD=HG，设正方形的边长HG=x，则AM=10﹣x，且AM⊥GH．
∵HG∥BC，
∴△AHG∽△ABC，
∴=，即=，
解得：x=6，
∴S正方形HEFG=36（cm2）．
18. 禁渔期间，我渔政船在A处发现正北方向B处有一艘可疑船只，测得A、B两处距离为海里，可疑船只正沿南偏东方向航行，我渔政船迅速沿北偏东方向前去拦截，刚好在C处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的路程（结果保留根号）．
解：过点C作，垂足为点D，设海里，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∵，
即，
解得，
∴海里，则该可疑船只的航行路程约为海里．
19. 如图，的半径弦于点C，连接并延长交于点E，连接．若求的长．
解：连接，如图，
∵，
∴，
设，
则，
在中，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∵是直径，
∴，
∵是的中位线，
∴，
在中，．
20. 如图，是等边三角形，P是延长线上一点，Q是延长线上一点，且满足．求证：．

证明：∵是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
21. 如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD=3，AB=5，求的值．
解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，
∴∠AFE=∠AGC=90°，
∵∠EAF=∠GAC，
∴∠AED=∠ACB，
∵∠EAD=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，
∴
由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，
∴∠EAF=∠GAC，
∴△EAF∽△CAG，
∴，
∴=
22. 如图，在中，，平分交于点E，点D在边上且．
（1）判断直线与外接圆的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的值．
解：（1）直线AC与外接圆相切．
理由如下：设外接圆的圆心为O，连接OE，如图，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴AC为的切线．
（2）设的半径为r，则，，
在中，，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
23. 如图，在△ABC中，D为AC上一点，且CD=CB,以BC为直径作☉O,交BD于点E，连接CE,过D作DFAB于点F,∠BCD=2∠ABD.
（1）求证：AB是☉O的切线；
（2）若∠A=60°，DF=,求☉O的直径BC的长．
解：（1）∵CB=CD
∴∠CBD=∠CDB
又∵∠CEB=90°
∴∠CBD+∠BCE=∠CDE+∠DCE
∴∠BCE=∠DCE且∠BCD=2∠ABD
∴∠ABD=∠BCE
∴∠CBD+∠ABD=∠CBD+∠BCE=90°
∴CB⊥AB垂足为B
又∵CB直径
∴AB是⊙O的切线.
（2）∵∠A=60°，DF=
在Rt△AFD中得出AF=1
在Rt△BDF中，
∵∠ABD=∠BCE，
∴
∴BD2=2BC，
∵BC=AB，
∴AB=BF+AF=BF+1，
∴BD2=2×（BF+1）=6（BF+1），
在Rt△BDF中，BD2-BF2=DF2=3，
∴6（BF+1）-BF2=3，
∴BF=3+2或BF=3-2（舍），
∴BC=AB=（BF+1）=（3+2+1）=6+4．
考点：（1）圆的切线的判定；（2）三角函数；（3）三角形相似的判定
24. （1）问题
如图1，在四边形中，点上一点，．求证：．
（2）探究
如图，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由．
（3）应用
请利用（1）（2）获得的经验解决问题
如图3，在中，，，点以每秒个单位长度速度，由点出发，沿边向点运动，且满足．设点的运动时间为（秒），当以为圆心，为半径的圆与相切时，请直接写出所满足的等量关系式．
解：（1）如图，
，
，，
，
，
．
（2）结论仍然成立．
理由：如图，
，，
．
，
，
，
．
（3）如图，过点作于点，
，，
，
由勾股定理得：，
以点为圆心，为半径的圆与相切，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
即所满足的等量关系式为：或．