2023~2024学年山东省聊城市冠县九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省聊城市冠县九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，每小题3分，满分36分）
1. 如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似和，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵、，
，、，，
∴，
∴，
而，
∴，
∴．
故选：D．
2. 下列能判定条件是( )
A. B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】A. ，，则，故此选项错误；
B. ，，则，故此选项错误；
C. ，，则，故此选项错误；
D. ，，则，故此选项正确；
故选：D．
3. 如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，
和分别是和的高，，，
其相似比为：，
与的面积的比为；
故选：．
4. 如图，在中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A. c＝bsinBB. b＝csinB
C. a＝btanBD. b＝ctanB
【答案】B
【解析】∵中，，、、所对的边分别为a、b、c
∴，即，则A选项不成立，B选项成立
，即，则C、D选项均不成立
故选：B．
5. 在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣csB）2=0，则∠C的度数是（ ）
A. 45°B. 75°C. 105°D. 120°
【答案】C
【解析】由题意得，sinA-=0，-csB=0，
即sinA=，=csB，
解得，∠A=30°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=105°，
故选C．
6. 如图所示，有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为（参考数据：）（ ）

A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】D
【解析】在中，，，
∴米，
在中，，，
∴，∴（米），
∴（米）
故选：D．
7. 如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心下方，若的直径为，水面宽，则水的最大深度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示：
∵，∴，
∵的直径为，
∴，
在中，，
∴，即水的最大深度为，
故选：C．
8. 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. 均不可能
【答案】A
【解析】第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选A．
9. 如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于两点，连结，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
，
，
故选：B．
10. 在中，，下列说法错误的是（ ）
A.
B.
C. 内切圆的半径
D. 当时，是直角三角形
【答案】C
【解析】∵，
∴即，故A说法正确；
当时，，
若以为底，高，
∴，故B说法正确；
设内切圆的半径为r，
则，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故C说法错误；
当时，，
∴是直角三角形，故D说法正确；
故选：C．
11. 如图，在中有边长分别为a，b，c的三个正方形，则a，b，c满足的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵图中四个四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，，
又∵，
，
，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故B正确．
故选：B．
12. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A. B. ﹣1C. D.
【答案】B
【解析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，
设AC＝x，
则：BC＝x，AB＝，CD＝，
故选：B.
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
13. “莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于______．
【答案】
【解析】∵等边三角形的边长为3，，
∴，
∴该“莱洛三角形”的周长，
故答案为：．
14. 如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度为______m．
【答案】20
【解析】由题意，得：，，
∴，
∴；
故答案为：20．
15. 若半径为1的圆中有一条弦长为，则这条弦所对的圆周角的度数等于 _____．
【答案】或
【解析】如图所示，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴这条弦所对的圆周角的度数等于或，
故答案为：或．
16. 如图，在直角坐标系中，ΔABC与是位似图形，则位似中心的坐标为_______．
【答案】
【解析】连接DB，OA并延长，交于点M，点M即为位似中心
∴M点坐标为,故答案为：．
17. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为__．
【答案】
【解析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．
∵AB、BC是⊙O的切线，
∴点E、F是切点，
∴OE、OF是⊙O的半径；
∴OE=OF；
在△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，
∴由勾股定理，得BC=8；
又∵D是BC边的中点，
∴S△ABD=S△ACD，
又∵S△ABD=S△ABO+S△BOD，
∴AB•OE+BD•OF=CD•AC，即10×OE+4×OE=4×6，
解得OE=，
∴⊙O的半径是．
三．解答题（共8小题，满分69分。要求写出必要的文字说明和解题步骤）
18. 如图，在中，D为上一点，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
解：（1），
；
（2），
．
，
，
，
．
19. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上、已知纸板的两条边DF＝0.5m，EF＝0.3m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．
解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB，∴，
∵DF＝0.5 m，EF＝0.3 m，AC＝1.5 m，CD＝10 m，
由勾股定理得DE＝＝0.4 m， ∴，
∴BC＝7.5m，∴AB＝AC+BC＝1.5+7.5＝9（m），答：树高AB是9m．
20. 如图所示的拱桥，用弧AB表示桥拱．

（1）若弧AB所在圆的圆心为，是弦CD的垂直平分线，请你利用尺规作图，找出圆心．（不写作法，但要保留作图痕迹）
（2）若拱桥的跨度（弦AB的长）为，拱高（弧AB的中点到弦AB的距离）为，求拱桥的半径．
解：（1）如图所示，作的垂直平分线，交于点，

（2）如图，

设为中点，交于点，
∵，
∴，，
设拱桥的半径为，在中，，，
∵，
∴
解得：
∴拱桥的半径为米．
21. 如图，圆O的直径为10 cm，两条直径AB，CD相交成90°角，∠AOE＝50°，OF是∠BOE的平分线．
(1)求圆心角∠COF的度数；
(2)求扇形COF的面积．
解：(1)∵∠AOB=180°，∠AOE=50°，
∴∠BOE=130°.
∵OF是∠BOE的平分线，
∴∠BOF=∠BOE=65°.
∵两条直径AB，CD相交成90°角，
∴∠COF=90°－65°=25°.
(2)∵⊙O的面积=52×π=25π，
∴扇形COF的面积=25π×=π(cm2)．
22. 为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．
（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？
（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）

解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，

∵AB⊥CD，sin30°=，BC=80千米，
∴CD=BC•sin30°=80×（千米），
AC=（千米），
AC+BC=80+40≈40×1.41+80=136.4（千米），
答：开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米；
（2）∵cs30°=，BC=80（千米），
∴BD=BC•cs30°=80×（千米），
∵tan45°=，CD=40（千米），
∴AD=（千米），
∴AB=AD+BD=40+40≈40+40×1.73=109.2（千米），
∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千米）．
答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米．
23. 如图．已知中，．

（1）求的长；
（2）设边上的高线，交边于点，求的长．
解：（1）如图所示，过点作于点，

∵
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，
（2）如图所示，

∵是边上的高，是边上的高，
∴
∴．
24. 如图，已知 AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥DC于点 D，AC平分∠DAB．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若 AB=4，∠DAB=60°，求AD的长．
解：（1）连接，如图1所示：
∵中，，
∴
∵平分，
∴，
∴
∴，
∴，
∵于，
∴，
∴
∴，
∵为的半径，∴是的切线

（2）连接BC，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC平分∠DAB，∠DAB=60°，
∴∠DAC=∠BAC=30°，
∴BC=AB=2，AC=BC=2，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC=90°，
∴CD=AC=，AD=CD=3．

25. 学科综合
我们在物理学科中学过，光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）．
观察实验
小明为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块C，但不在细管所在直线上，图3是实验的示意图，四边形为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得，．

（1）求入射角的度数．
（2）若，求光线从空气射入水中的折射率n．（参考数据：， ，）
解：（1）如图，设法线为，
则，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴入射角约为；

（2）在中，，，
，
在中，，，
，
光线从空气射入水中的折射率，
答：光线从空气射入水中的折射率．