2023~2024学年山东省聊城市临清市九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省聊城市临清市九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 在如图所示的三个矩形中，相似的是（ ）

A. 甲和乙B. 甲和丙
C. 乙和丙D. 都不相似
【答案】B
【解析】A、，故甲和乙不相似，不符合题意；
B、，，故甲和丙相似，符合题意；
C、，故乙和丙不相似，不符合题意；
D、由B可知，甲和丙相似，故D不符合题意；
故选：B．
2. 已知，则锐角α的度数是（ ）
A. 60°B. 45°C. 30°D. 75°
【答案】A
【解析】∵，为锐角，
∴，
∴，
故选：A．
3. 如图，与位似，位似中心为O，且，则的周长与的周长之比为（ ）
A. 4∶3B. 7∶3C. 7∶4D. 16∶9
【答案】A
【解析】∵△DEF与△ABC位似，点O为位似中心，且，
∴△ABC与△DEF的周长之比是：4：3．
故选：A．
4. 式子的值是（ ）
A. B. 0C. D. 2
【答案】B
【解析】
.
故选B.
5. 在中,,，，以点C为圆心，2为半径作，直线与的位置关系是（ ）
A. 相离B. 相切
C. 相交D. 相切或相交
【答案】C
【解析】作，如图所示：

∵，，
∴
∴
故直线与的位置关系是相交
故选：C
6. 跳伞运动员小李在200米的空中测得地面上的着落点的俯角为60°，那么此时小李离着落点的距离是（ ）
A. 200米B. 400米C. 米D. 米
【答案】D
【解析】根据题意，此时小李离着落点A的距离是，
故选：D．
7. 如图，，是的两条平行弦，且，，，之间的距离为5，则的直径是（ ）
A. B. C. 8D. 10
【答案】B
【解析】作于，延长交于，连接，，设，
∵、是两条平行弦
∴
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
直径长是，
故选：B．
8. 如图，，则下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A.
△ABC∽△ADE
故A不符合题意；
B项中两组对应边成比例但无法证明△ABC∽△ADE，
故B符合题意；
C.
△ABC∽△ADE
故C不符合题意；
D.
△ABC∽△ADE
故D不符合题意，
故选：B．
9. 如图,是的弦,延长相交于点E,已知，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，连接，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为，
故选：C．
10. 如图，在中，点D在边上，,，连接，交于点G，则下列结论一定正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，
，
，故选项A错误；
,，
四边形是平行四边形，
，
，故选项B错误；
，，，
故选项C正确；
，，，
故选项D错误．
故选C．
11. 如图，为半圆的直径，，分别切于，两点，切于点，连接，，下结论错误的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】如图，连接，

∵分别切于两点，切于点，
∴，，
∴，故正确；
∵是的直径，
∴，，
∴，
∴，
∵ ， ，
∴，
∴，故正确；
∵是的半径，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴ ，
∵ ，
∴，故正确；
∵， ，
∴，
∴，
∴，故错误；故选：．
12. 如图，在梯形中，，平分交于E，且，．如果的面积为2，那么四边形的面积是（ ）

A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】延长和交于O，

∵平分，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，且的面积为2，
∴的面积是2，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形面积为：，
故选：B．
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求写出最后结果）
13. 如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标为，且OP与x轴正半轴的夹角为．若，则______．

【答案】10
【解析】如图，过点作轴的垂线段，交轴于点，则，
，
，
，
，
故答案为：10．

14. 如图，在中，点在线段上，，那么___________．

【答案】
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，即，解得：，
故答案为：．
15. 如图，已知，，，若，写出与a，b之间满足的关系式______．

【答案】
【解析】，
，
，
，
故答案为：．
16. 如图，在中，弦所对的圆周角，，，则_____．

【答案】30
【解析】连接、、，如图所示：

，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
故答案为：30．
17. 如图，将纸片按如图所示的方式折叠，使点落在边上，记为点，折痕为，已知，，，若以为直角三角形，那么的长度是______ ．
【答案】或
【解析】∵，，，
∴
∴是直角三角形，，
沿折叠和重合，
，
设，则，
当时，，
，，
，解得：，
则，
当时，，即，
解得：，
则．
故CF或，
故答案是：或．
三、解答题（本大题共8小题，共69分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
18. 在中，，，求的正弦．

解：如图所示，过点A作于点D，

∵，，,∴，
∴，
∴．
19. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上．求证：．

证明：由图可知，，，，

∴，
∴,∴．
20. 如图，是的内切圆，与分别相切于点D，E，F，若，求的度数．

解：连接，如图，

∵，∴，
∵是的内切圆，与分别相切于点D，E，F，
∴，，∴，∴，
∴．
21. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的岛，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的东南方向上的岛，求、两岛之间的距离．（结果保留整数）【参考数据：，，】
解：如图，过点作于点，
在中，，，
∵，，
∴（海里），
（海里），
在中，，，
∴（海里），
∴（海里），
∴、两岛之间的距离约为海里．
22. 一块直角三角形木板，它的一条直角边，面积．甲、乙两人分别按图把它加工成一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积大．

解：按图1加工的正方形面积大．
理由：在中，，面积，
∴．
在图1中，
∵是直角三角形，四边形是正方形，
∴，
∴．
设，则，
∴，解得．
在图2中，作，垂足为，交于点．
∵四边形是正方形，
∴，∴∽．∴．
∵，∴
设，则，．
∴，解得．
∵，∴按图1加工的正方形面积大．
23. 如图，在斜坡上有一建成的基站塔，小明在坡脚C处测得塔顶A的仰角为，然后他沿坡面行走了50米到达D处，D处离地平面的距离为30米且在D处测得塔顶A的仰角．（点A，B，C，D，E均在同一平面内，为地平线）（参考数据：，，）

（1）求坡面的坡度；
（2）求基站塔的高．
解：（1）如图，过点D作于点M，延长，交于点N，过点D作于点F．

（米），（米），
（米）
坡面的坡度为：；
（2）设米，则米，米，
，
，
米，
米．
在中，
米，米，，
，
解得；
（米），
（米），
．
答：基站塔的高为17.5米．
24. 如图，已知等腰，，平分，以直径作，交于点，交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）连接与交于点，若，，①求的长；②求的长．
解：（1）∵，平分，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）①连接，，，

∵为的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，．
②∵，，
∴，
∴，∴，∴，
∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，
∵，∴，∴是等腰直角三角形，
∴．
25. 如图，在网格内，、、、．
（1）判断的形状；
（2）画出的外接圆；
（3）点P是第一象限内的一个格点，．
①写出一个点P的坐标_____；
②满足条件的点P有_____个．
解：（1）如图所示：由坐标可得：，，，
∴，
∴的形状是直角三角形．
（2）的外接圆即为所求作的图形；
（3）点P是第一象限内的一个格点，．
①点P的坐标为或或或或．
②满足条件的点P有5个．