2023~2024学年山东省烟台市芝罘区(五四学制)九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省烟台市芝罘区(五四学制)九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共20页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题3分，满分30分）
1. 下列所涉及的两个变量满足的函数关系属于二次函数的是（ ）
A. 等边三角形的面积S与等边三角形的边长x
B. 放学时，当小希骑车速度一定时，小希离学校的距离s与小希骑车的时间t
C. 当工作总量一定时，工作效率y与工作时间t
D. 正方形的周长y与边长x
【答案】A
【解析】A、，是二次函数，正确，符合题意；
B、，v一定，是一次函数，错误，不符合题意；
C、一定，是反比例函数，错误，不符合题意；
D、，是一次函数，错误，不符合题意．
故选：A．
2. 如图，在中，，，，则的值为（ ）
A. B.
C. D. 2
【答案】C
【解析】在中，，，
设，则，故，
则．
故选：C
3. 已知函数是关于的二次函数，则的值是( )
A. 0或4B. 0C. 2D. 4
【答案】B
【解析】∵函数是关于的二次函数，
∴且，
解得．
故选：B．
4. “儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】如图，过点A作AC⊥BC于C，
在Rt△ABC中，sinB=，则AC=AB•sinB=100sin65°（米），故选：A．
5. 利用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（ ）
A.
B
C.
D.
【答案】A
【解析】利用该型号计算器计算 ，按键顺序正确的是：

故选：A．
6. 如果将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，那么所得的抛物线的表达式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据“上加下减，左加右减”的法则可知，将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位所得抛物线的表达式是．
故选：A．
7. 函数和函数 (k是常数，且) 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】当时，一次函数的图象过一、二、三象限，抛物线开口向下，B选项不符合；
当时，一次函数的图象过二、三、四象限，抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，A选项符合，C、D选项不符合；
故选：A．
8. 如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值为( )
A. 1B. 2C. 3D.
【答案】B
【解析】连接BE，交DC于点F．
由图可知，，
则∠PAC=∠PBD，∠PCA=∠PDB，
故△PAC∽△PBD， ．
因为四边形BCED是正方形，
所以BE=DC，BE⊥DC，DF=BF=CF．
因为，DF=CF，所以PF= CF=BF，
所以在RT△PBE中，tan∠BPF=．
根据“对顶角相等”， ∠APD=∠BPF，则tan∠APD=tan∠BPF=2．
故选B
9. 如图，抛物线过点，与y轴的交点C在，之间(不包含端点)，抛物线对称轴为直线，有以下结论：①；②；③(m为实数)；④方程必有两个不相等的实根．其中正确结论有( )

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】由二次函数图象可知，， ，，解得，
∴．①错误，故不符合要求；
∵函数图象经过点，
∴，即，②正确，故符合要求；
当时，函数取得最大值，
∴对于任意的，总有，即 (m为实数)，③错误，故不符合要求．
方程的根可看成函数的图象与直线的交点的横坐标，
∵抛物线与y轴的交点C在之间，
∴无法确定函数的图象与直线的交点情况，④错误，故不符合要求；
故选：A．
10. 如图，正方形是上的点且，连接交于点G，连接．若是等腰三角形，则的值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】过D作于H，如图：

∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵E在上，
∴是等腰三角形，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
二、填空题（每题3分，满分18分）
11. 函数y=中，自变量x取值范围是_____________．
【答案】x≥－3且x≠1
【解析】根据题意得：x+3≥0且x-1≠0，解得：x≥-3且x≠1．
故答案为：x≥-3且x≠1
12. 已知关于x的二次函数中，函数y与x的部分对应值如下表，则一元二次方程的解是_______________．
【答案】
【解析】由抛物线经过点，可得抛物线对称轴为直线，
∵抛物线经过，
∴抛物线经过，
∴一元二次方程的根是，
故答案为：．
13. 如图，某广告牌竖直矗立在水平地面上，经测量，得到如下相关数据：则广告牌的高___________．（结果保留根号）

【答案】
【解析】延长交于点G，则矩形，

∴，
设，
∵，
∴,，
解得，故故答案为：．
14. 如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 ____．

【答案】
【解析】观察图象可知当，时，．
在交点之间时，一次函数的图象在抛物线下方，即，
所以不等式的解集是，
故答案为：．
15. 如图,四边形的对角线相交于O，，，则这个四边形的面积是 _______．

【答案】10
【解析】过点B作于E，过点D作于F，

设，则，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，∴，
∴，
∴，，
∴
，
故答案为：10．
16. 如图1,菱形的边在x轴正半轴上，点B纵坐标为4，点P从点O开始向点A运动，至点A停止，过P点作x轴的垂线与菱形另一边交点为M，记，的面积为y，且y与x的函数关系如图2，则的值为_____．
【答案】
【解析】过点C作轴于D，过点A作于N，如图，
设，，
则，，，
由图可知：，，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
在中，，
∴，
∴，∴，
∴，故答案为：．
三、解答题（共8小题，满分72分）
17. （1）计算：．
（2）计算：．
解：（1）
；
（2）
．
18. 已知二次函数．
（1）在如图坐标系中用描点法画出这个二次函数的图象；
（2）观察图象，若点是这条抛物线上的三个点，请用“”连接的大小关系 ；
（3）设抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，求的面积．
解：（1）当时，，则抛物线与轴的交点坐标为；
当时，，解得，
则抛物线与轴的交点坐标为；
当时，，解得，则
抛物线过点，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
如图，
作法：1．列表
2．描点，在平面直角坐标系中描出点，
3．连线，用平滑的曲线连接各点．
故二次函数的图象即为所求．
（2）当时，；
当时，；
当时，；
所以；
故答案为：；
（3）由（1）得，点A、B点的坐标为，
∴的面积．
19. 如图,在同一平面上有四个村庄A、B、C、D，连接这四个村庄之间的公路，且．“美丽乡村”建设项目规划在A、D两个村庄之间修一条公路，已知，求公路的长度．

解：设与交于点E，过点B作于点F，如图所示：

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，∴．
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：公路的长度为．
20. 如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B．游轮以20海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：≈1.41，≈1.73）
解：过点C作CM⊥AB，垂足为M，
在Rt△ACM中，∠MAC=90°﹣45°=45°，则∠MCA=45°，
∴AM=MC，
由勾股定理得：AM2+MC2=AC2=（20×2）2，
解得：AM=CM=40，
∵∠ECB=15°，∴∠BCF=90°﹣15°=75°，
∴∠B=∠BCF﹣∠MAC=75°﹣45°=30°，
在Rt△BCM中，tanB=tan30°=，即，
∴BM=40，∴AB=AM+BM=40+40≈40+40×1.73≈109（海里），
答：A处与灯塔B相距109海里．
21. 如图1所示的山西晋城景德桥，是继赵州桥之后我国现存历史悠久的古代珍贵桥梁之一，桥拱截面可以看作抛物线的一部分（如图2）．在某一时刻，桥拱内的水面宽约20米，桥拱顶点B到水面的距离为4米．

（1）如图2，以该时刻水面为x轴、桥拱与水面的一个交点为原点建立直角坐标系，求桥拱部分抛物线的解析式并写出x的取值范围；
（2）若水面距离拱桥顶端2米时为警戒水位，求警戒水位时桥内水面宽度．
解：（1）由题意得，点O和点A的坐标分别为和，
∵B为函数顶点，
∴，
设抛物线解析式为，
∵顶点，
∴，
再将代入解析式可得，，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）由题意得，令可得，，
解得，，
∴水面宽度为米，
答：警戒水位时桥内水面宽度为米．
22. 某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼的高度．如图所示，其中观景平台斜坡的长是米，坡角为，斜坡底部与大楼底端的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶测得路灯顶端A处的俯角是．求大楼的高度．
（参考数据：，，，，，）
解：如图，延长交延长线于，过A作于，
则四边形是矩形，
，，
在中，，
，，
（米），
（米），
（米），
在中，，
，
（米），
（米），
答：大楼的高度为米．
23. 2022年北京冬奥会举办期间，冬奥公吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱，某特许零售店“冰墩款”的销售日益火爆．每个纪念品进价40元．规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个，现将家决定提价销售，设每天销售量y个，销售单价为x元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
（3）该店主热心公益事业，决定从每天的利润中捐出200元给希望工程，为了保证捐款后每入剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．
解：（1）根据题意得：，
∴y与x之间的函数关系式为．
（2）根据题意得：
，
∵，
∴当时，w随x增大而增大，
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为，
∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元．
（3）依题意剩余利润为元，
∵捐款后每天剩余利润不低于2200元，∴，随x增大而增大，
由，解得或，
∴捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售价的取值范围为．
答：捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售价不低于50元且不高于52元．
24. 如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C．其中，D是第一象限抛物线上一点，连接交于点E，点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）求线段长度的最大值；
（3）是否存在m的值，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
把代入线得：
，
解得，
∴抛物线的函数关系式；
（2）由得直线BC函数关系式为，
∵点D的横坐标为m，
∴，，
∴，
∵，
∴当时，取最大值4，
∴线段长度的最大值为4；
（3）存在m的值，使是等腰三角形，理由如下：
延长交于G，如图：
∵点D的坐标为，点E的坐标为，
∴点G的坐标为，
则，OG＝m，
∵，
∴BC＝4，
∵，
∴，即，
∴；
①若，则，
解得（舍去）或，
②当时，如图，过点C作于点H，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍去）；
③当时，如图，过点D作 于点K，
则，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
解得：或（舍去0），
综上所述，满足条件的m的值为或4或3．
x
…
0
…
y
…
0
…
0
1
2
3
…
0
3
4
3
0
…