2024-2025学年人教版九年级上册数学期末综合检测题

这是一份2024-2025学年人教版九年级上册数学期末综合检测题，共14页。试卷主要包含了下列说法中，错误的是，抛物线y＝等内容，欢迎下载使用。

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图是日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．平行
2．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一个根为﹣1，则m的值为（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．2
3．下列说法中，错误的是（ ）
A．弦是直径 B．等弧所对的圆周角相等
C．圆内接菱形是正方形 D．正六边形的半径和其边长相等
4．抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（1，2）D．（1，﹣2）
5．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（ ）
A．点DB．点EC．点FD．点G

（1题图） （5题图） （6题图）
6．韩梅将水浒人物宋江和李逵的画像及其绰号制成4张无差别卡片（除图案和文字不同外，其他完全相同），将卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的卡片人物画像与绰号完全对应的概率是（ ）
A．15B．13C．14D．12
7．如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC＝23，DE＝3，则BC的长是（ ）
A．1B．2C．2D．4
8．抛物线y＝2x2通过变换可以得到抛物线y＝2x2﹣4x，以下变换过程正确的是（ ）
A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位D．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
9．如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是（ ）
A．252πB．13πC．25πD．252
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点Q．BP＝x，CQ＝y，那么y与x之间的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．

（9题图） （10题图） （12题图）
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．已知点P（a，﹣6）与点Q（﹣5，b）关于原点对称，则a+b＝ ．
12．我市在某展览馆举办美丽乡村成果展，该展览馆出入口示意图如图所示，小颖从A入口进E出口出来的概率是 ．
13．某校九年级组织一次辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），共赛了28场，该校九年级共有多少个班级参加了辩论赛？设该校九年级共有x个班参加了辩论赛，根据题意，可列方程为 ．
14．扇面画是中国传统书画中一种独具特色的艺术样式，将扇子的实用功能与书画的观赏功能巧妙结合．如图所示，已知OA＝10cm，AC＝15cm，AB的长为20cm，则CD的长为 cm．

（14题图） （15题图）
15．如图，已知正方形ABCD的边长为3，动点P满足CP＝2，将点P绕点D按逆时针方向旋转90°，得到点Q，连接BQ，则BQ的最大值是 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）解方程：
（1）x2﹣3x﹣2＝0； （2）（x+3）2＝x+3．
17．（9分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．
（1）画出与△ABC关于点O成中心对称的图形△A1B1C1；
（2）①画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2；
②在①基础上，若点M（a，b）为△ABC边上的任意一点，则旋转后对应点的坐标为 ．
18．（9分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．
19．（9分）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M的坐标为（x，y）．
（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；
（2）求点M（x，y）在函数y＝﹣x+1的图象上的概率．
20．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交边AC于点D，连接BD，过点C作CE∥AB．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作⊙O的切线，交CE于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（2）在（1）的条件下，求证：BD＝BF；
（3）在（1）的条件下，CF＝2，BF＝6，求⊙O的半径．
21．（10分）东新社区为了解决社区停车难的问题，利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知AD＝50m，AB＝30m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积（即阴影面积）为800m2．
（1）求道路的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10120元，同时尽可能让利于居民？
22．（10分）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣5）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当﹣1≤x≤4时，求函数最大值与最小值的差；
（3）点P的坐标为（n，﹣5），点Q的坐标为（n+2，﹣5），若线段PQ与二次函数图象恰有一个交点，请直接写出n的取值范围．
23．（11分）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC=2+1，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝1，连接DE．现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），如图2，连接CE，BD，CD．
（1）当0°＜α＜180°时，求证：CE＝BD；
（2）如图3，当α＝90°时，延长CE交BD于点F，求证：CF垂直平分BD；
（3）在旋转过程中，求△BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是：相交，
选：B．
2．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一个根是﹣1，
∴（﹣1）2﹣2×（﹣1）+m＝0，
解得：m＝﹣3．
选：A．
3．解：A．弦不一定是直径，直径是圆中的最长的弦，因此选项A符合题意；
B．等弧所对的圆周角相等，因此选项B不符合题意；
C．圆内接菱形是正方形，因此选项C不符合题意；
D．正六边形的半径和其边长相等，因此选项D不符合题意．
选：A．
4．解：∵y＝（x﹣2）2+1，
∴抛物线顶点坐标为（2，1），
选：B．
5．解：由图可知，FA=22+12=5，FC=22+12=5，FB=22+12=5，
∴FA＝FB＝FC，
∴F点在AB，AC，BC三边的垂直平分线上，
∴点F是△ABC外心，
选：C．
6．解：设宋江、李逵、及时雨、黑旋风分别用A、B、C、D表示，
树状图如下所示，
由上可得，一共有12种等可能性，其中抽取的卡片人物画像与绰号完全对应的可能性有4种，
∴抽取的卡片人物画像与绰号完全对应的概率为412=13，
选：B．
7．解：设OD＝x，
∵DE＝3，
∴OE＝DE﹣OD＝3﹣x，
∴AB＝2OE＝6﹣2x，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵OD⊥AC，
∴AD＝CD，
∵OA＝OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴BC＝2OD＝2x，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
∴（23）2+（2x）2＝（6﹣2x）2，
解得：x＝1，
∴BC＝2x＝2，
选：B．
8．解：∵抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），y＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（1，﹣2），
∴将抛物线y＝2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y＝2x2﹣4x．
选：C．
9．解：连接BD，B′D，
∵AB＝5，AD＝12，
∴BD=52+122=13，
∴BB'=90⋅π⋅13180=13π2，
∵B'B″=90⋅π⋅12180=6π，
∴点B在两次旋转过程中经过的路径的长是：13π2+6π=25π2．
选：A．
10．解：设BP＝x，CQ＝y，则AP2＝42+x2，PQ2＝（6﹣x）2+y2，AQ2＝（4﹣y）2+62；
∵△APQ为直角三角形，
∴AP2+PQ2＝AQ2，即42+x2+（6﹣x）2+y2＝（4﹣y）2+62，化简得：y=-14x2+32x
整理得：y=-14(x-3)2+94
根据函数关系式可看出D中的函数图象与之对应．
选：D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：∵点P（a，﹣6）与点Q（﹣5，b）关于原点对称，
∴a＝5，b＝6，
a+b＝11．
答案为：11．
12．解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中小颖从A入口进E出口出来的结果有1种，
∴小颖从A入口进E出口出来的概率为16．
答案为：16．
13．解：根据题意得：x(x-1)2=28．
答案为：x(x-1)2=28．
14．解：设∠AOB＝n°，
由题意nπ⋅10180=20，
∴nπ＝360，
∴CD的长=nπ⋅25180=50（cm）．
答案为：50．
15．解：如图，连接AQ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°，
由旋转得，DP＝DQ，∠QDP＝90°，
∴∠ADC﹣∠QDC＝∠QDP﹣∠QDC，
∴∠ADQ＝∠CDP，
∴△ADQ≌△CDP（SAS），
∴AQ＝CP＝2，
∴点Q的运动轨迹是以点A为圆心，半径为2的圆，
∴当点Q在BA的延长线上时，BQ的值最大，如图所示，
∴BQ的最大值＝AB+AQ＝3+2＝5．
答案为：5．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．解：（1）x2﹣3x﹣2＝0，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝9+8＝17＞0，
∴x=3±172×1=3±172，
∴x1=3+172，x2=3-172．
（2）（x+3）2＝x+3，
（x+3）2﹣（x+3）＝0，
（x+3）（x+3﹣1）＝0，
∴x+3＝0或x+2＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝﹣2．
17．解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）①画如图，△A2B2C2为所作；
②M（a，b）绕原点O逆时针旋转90°后，旋转后对应点坐标的横坐标为M的M点纵坐标的负值，纵坐标为M的横坐标，
∴旋转后对应点的坐标为（﹣b，a），
答案为：（﹣b，a）．
18．解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，
∴AE＝BE=12AB=12×8＝4（m），
在Rt△AEO中，OE=OA2-AE2=52-42=3（m），
∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m），
答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．
19．（1）解：列表如下：
共有9种等可能出现的结果：（0，﹣1）、（0，﹣2）、（0，0）、（1，﹣1）、（1，﹣2）、（1，0）、（2，﹣1）、（2，﹣2）、（2，0）．
（2）由（1）可知，满足点M（x，y）在函数y＝x+1的图象上的结果有2种，
∴点M（x，y）在函数y＝x+1的图象上的概率为P=29．
20．解：（1）方法不唯一，如图所示．
．
（2）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
又∵CE∥AB，
∴∠ABC＝∠BCF，
∴∠BCF＝∠ACB．
∵点D在以AB为直径的圆上，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝90°．
又∵BF为⊙O的切线，
∴∠ABF＝90°．
∵CE∥AB，
∴∠BFC+∠ABF＝180°，
∴∠BFC＝90°，
∴∠BDC＝∠BFC．
∵在△BCD和△BCF中，
∠BCD=∠BCF，∠BDC=∠BFC，BC=BC，
∴△BCD≌△BCF（AAS）．
∴BD＝BF．
（3）由（2）得：BD＝BF＝6，
∵Rt△BDC≌Rt△BFC，
∴CD＝CF＝2，
设AB＝AC＝2r，
∴AD＝2r﹣2，
∵∠ADB＝90°，
∴（2r﹣2）2+62＝（2r）2，
解得：r＝5，
∴⊙O的半径为5．
21．解：（1）道路的宽为x米，
由题意得：（50﹣2x）（30﹣2x）＝800，
整理得：x2﹣40x+175＝0，
解得：x1＝35（不合题意，舍去），x2＝5，
答：道路的宽是5米；
（2）设每个车位的月租金上涨y元时，停车场的月租金收入为10120元，
由题意得：（200+y）（50-y5）＝10120，
整理得：y2﹣50y+600＝0，
解得：y1＝20，y2＝30，
∵尽可能让利于居民，
∴y＝20，
答：每个车位的月租金上涨20元时，停车场的月租金收入为10120元．
22．解：（1）由题意，可设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5），
又过点（0，﹣5），
∴﹣5＝a×1×（﹣5）．
∴a＝1．
∴y＝（x+1）（x﹣5）＝x2﹣4x﹣5．
∴所求二次函数的表达式为y＝x2﹣4x﹣5．
（2）由题意，∵y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝2，当x＝2时，y取最小值为﹣9．
又﹣1≤x≤4，当x＝﹣1时，y＝0；当x＝4时，y＝﹣5，
∴当﹣1≤x≤4时，﹣9≤y≤0．
∴此时函数最大值与最小值的差为0﹣（﹣9）＝9．
（3）由题意，∵点P的坐标为（n，﹣5），点Q的坐标为（n+2，﹣5），
∴PQ∥x轴，
当y＝﹣5时，即x2﹣4x﹣5＝﹣5，
∴解得x1＝0，x2＝4．
∴直线y＝﹣5与抛物线的两个交点分别为（0，﹣5），（4，﹣5），
∴这两个交点之间的距离为4﹣0＝4，
∵PQ＝n+2﹣n＝2，
由直线y＝﹣5与抛物线y＝x2﹣4x﹣5图象可知，
∴当﹣2≤n≤0或2≤n≤4时，线段PQ与抛物线恰有一个交点．
23．（1）证明：如图2中，根据题意：AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠EAD＝90°，
∵∠CAE+∠BAE＝∠BAD+∠BAE＝90°，
∴∠CAE＝∠BAD，
在△ACE和△ABD中，
AC=AB∠CAE=∠BADAE=AD，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴CE＝BD；
（2）证明：如图3中，根据题意：AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠EAD＝90°，
在△ACE和△ABD中，
AC=AB∠CAE=∠BADAE=AD，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠ACE+∠AEC＝90°，且∠AEC＝∠FEB，
∴∠ABD+∠FEB＝90°，
∴∠EFB＝90°，
∴CF⊥BD，
∵AB＝AC=2+1，AD＝AE＝1，∠CAB＝∠EAD＝90°，
∴BC=2AB=2+2，CD＝AC+AD=2+2，
∴BC＝CD，
∵CF⊥BD，
∴CF是线段BD的垂直平分线；
（3）解：△BCD中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时△BCD的面积有最大值，
∴当点D在线段BC的垂直平分线上时，△BCD的面积取得最大值，如图4中：
∵AB＝AC=2+1，AD＝AE＝1，∠CAB＝∠EAD＝90°，DG⊥BC于G，
∴AG=12BC=2+22，∠GAB＝45°，
∴DG＝AG+AD=2+22+1=2+42，∠DAB＝180°﹣45°＝135°，
∴△BCD的面积的最大值为：12BC•DG=12(2+2)(2+42)=32+52，
旋转角α＝135°．（x，y）
0
1
2
﹣1
（0，﹣1）
（1，﹣1）
（2，﹣1）
﹣2
（0，﹣2）
（1，﹣2）
（2，﹣2）
0
（0，0）
（1，0）
（2，0）