广东省广州市第三中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

这是一份广东省广州市第三中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷，共9页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁.，点在直线上运动，，则的最大值是，直线的方程为等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，满分150分，考试用120分钟.
注意事项
1．开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、考号等信息填写在答题卡指定区域内.
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，不得使用涂改液，不得使用计算器.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.
一、选择题: 本题共8小题, 每小题5分, 共40分．在每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合要求的．
1．若复数满足，则的虚部是（ ）
A．B．1C．D．2
2．已知平行六面体中，棱两两的夹角均为，，为点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知直线，，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
6．一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
7．点在直线上运动，，则的最大值是（ ）
A．B．C．3D．4
8．在下图所示直四棱柱中，底面为菱形，动点在体对角线上，则顶点到平面距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题: 本题共3小题, 每小题6分, 共18分．在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求．全部选对的得6分, 部分选对的得部分分, 有选错的得0分．
9．直线的方程为：，则（ ）
A．直线斜率必定存在
B．直线恒过定点
C．时直线与两坐标轴围成的三角形面积为
D．时直线的倾斜角为
10． 在空间直角坐标系中，点，，，则（ ）
A．
B．点关于轴的对称点坐标为
C．向量在上的投影向量为
D．点到直线的距离为
11．如图，棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，为线段内的动点（含端点），则（ ）
A．平面
B．存在点，使得
C．平面与底面所成角的余弦值是
D．三棱锥的体积是
三、填空题: 本题共3小题, 每小题5分, 共15分．
12．对任意的实数，直线所过的定点为 .
13．，与直线平行，则直线与的距离为 .
14．已知三棱锥中，，，，，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为 .
四、解答题: 本题共6小题, 共70分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤．
15. （本题满分 13分）
已知直线，直线
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值
16. （本题满分15分）
某班20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：
（1）求这次数学考试学生成绩的众数和平均数；
（2）从成绩在的学生中任选2人，求此2人的成绩都在中的概率．
17. （本题满分15分）
如图，是圆的直径，平面面，且
（1）求证：平面；
（2）若，求直线与面所成角的正弦值．
18. （本题满分17分）
已知平面内两点．
（1）求过点且与直线垂直的直线的方程．
（2）若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程．
（3）已知直线经过点且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线的方程．
19. （本题满分17分）
如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，，底面为直角梯形，其中，，，为的中点．
（1）证明：平面．
（2）求点到平面的距离．
（3）线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
广东省广州市第三中学2024-2025学年高二第一学期10月月考
数学参考答案
一、单选题

二、多选题
三、填空题
12．
13．
14．
四、解答题
15．【详解】（1）因为，所以，整理得，解得或。
当时，，，重合
当时，，，符合题意，故.
（2）因为，所以，解得或.
16．【详解】（1）根据直方图知组距为，
由，解得．
数学成绩的众数是分．
由，得平均数为分．
所以众数是分，平均数为分；
（2）成绩落在中的学生人数为，
成绩落在中的学生人数为；
记成绩落在中的人为，成绩落在中的人为，
则从成绩在的学生中任选人的基本事件有共个，
其中人的成绩都在中的事件有共个，故所求概率为．
17．【详解】（1）证明：因为平面⊥平面，且，平面∩平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为是圆锥的直径，所以．
因为，平面，所以平面．
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，
设，，，．
则，．
设平面的法向量为，则，即，
得出．
而，设直线与平面所成角为，
则，计算得．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18．【详解】解：（1）因为，，可得，所以过点且与直线垂直的直线的方程为，即；
（2）AB的中点坐标为，因为，
因为是以为顶点的等腰直角三角形，所以线段垂线的斜率为，
且线段AB的中垂线过点，所以线段AB垂直平分线的方程为，
即，所以点在直线上，
设点，由可得：，解得或，
所以点坐标为或，则直线AC的方程为或；
（3）①当直线经过原点时，直线在两坐标轴上截距均等于，故直线的斜率为，所求直线方程为，即．
②当直线不过原点时，设其方程，由题意可得，又经过点，有，解得，，则方程为，即．
故所求直线的方程为，或．
19．【详解】（1）在中，，为的中点，∴．
又∵侧面底面，平面平面，平面，∴平面．
（2）在中，，，∴．
在直角梯形中，为的中点，∴，．
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，
，设平面的法向量为，
, 取，得．
点到平面PCD的距离．
（3）假设存在，且设．
，，，．
设平面CAQ的法向量为，
，．
取，得．平面CAD的一个法向量为，
二面角的余弦值为，
．
1
2
3
4
5
6
7
8
D
D
D
A
A
A
A
A
9
10
11
BC
BC
ACD