江苏省南通市通州区、如东县2025届高三上学期期中联考数学试卷（Word版附答案）

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注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效。
3.本卷满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，，则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知向量，满足，，，则（ ）
A.2B. C.4D.16
4.已知是定义在上的奇函数，当时，，若在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.从5名男生和3名女生中选出4人参加一项创新大赛.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么不同的选法种数为（ ）
A.15B.40C.55D.70
6.一个正四棱台油槽可以装汽油190L（1L=1000cm3），若它的上、下底面边长分别为60cm和40cm，则它的深度为（ ）
A.25cmB.75cmC.100cmD.150cm
7.当时，函数与的图象有4个交点，则的值为（ ）
A.1B.2C.3D.4
8.已知函数的定义域为，且，当时，，则（ ）
A.-7B.25C.57D.102
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A.的系数为10B.第4项的二项式系数为10
C.没有常数项D.各项系数的和为32
10.在长方体中，，，点P是底面上的一点，且平面，则（ ）
A.B.平面
C.的最小值为D.的最小值为
11.如图，函数的部分图象，则（ ）
A.
B.将图象向右平移后得到函数的图象
C.在区间上单调递增
D.在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如果随机变量，且，那么________.
13.如图，在半径为2、圆心角为60°的扇形的弧上任取一点A，作扇形的内接平行四边形，使点B在上，点C在上，则该平行四边形面积的最大值为________.
14.已知函数，若，，则正整数a的最小值为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
已知函数.
（1）若，求的极值；
（2）若函数的图象关于点对称，求的值.
16.（15分）
在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.
（1）求B；
（2）若四边形内接于圆O，，，求面积的最大值
17.（15分）
银行储蓄卡的密码由6位数字组成.小明是一位数学爱好者，记得自己随机用了的前6个数字（1，1，3，4，5，9）设置个人银行储蓄卡密码.
（1）求密码中两个1不相邻的概率；
（2）若密码的前三位出现1的次数为X，求X的分布列和数学期望.
18.（17分）
在四棱锥中，底面是梯形，，，平面平面，，.
（1）求证：；
（2）求与平面所成角的正弦值；
（3）若线段上存在一点E，使得截面将四棱锥分成体积之比为5：7的上下两部分，求点P到截面的距离.
19.（17分）
已知函数及其导函数的定义域都为，设直线：是曲线的任意一条切线，切点横坐标为，若，当且仅当时“=”成立，则称函数满足“性质P”.
（1）判断是否满足“性质P”，并说明理由：
（2）若是单调增函数，证明：满足“性质P”：
（3）若函数满足“性质P”，求实数a的取值范围。