湖北省鄂州市部分高中教科研协作体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖北省鄂州市部分高中教科研协作体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知直线l经过点，（﹣2，0），则直线l的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，若＝，＝，＝，点P为A1C1与B1D1的交点，则＝（ ）
A．++B．+﹣C．﹣+D．+﹣
3．（5分）若点P（1，1）在圆C：x2+y2﹣x﹣2y﹣k＝0的外部，则实数k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）B．C．D．
4．（5分）“五道方”是一种民间棋类游戏，甲，乙两人进行“五道方”比赛，约定连胜两场者赢得比赛．若每场比赛，甲胜的概率为，乙胜的概率为，则比赛6场后甲赢得比赛的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）直线ax+y﹣a＝0（a∈R）与圆（x﹣2）2+y2＝4的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．无法确定
6．（5分）已知直线l1：2x﹣y+1＝0，l2：3x+ay+7＝0，l3：bx+2y﹣1＝0，若l1⊥l2且l2∥l3，则a+b的值为（ ）
A．﹣5B．5C．﹣7D．7
7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣4y+3＝0，若直线y＝kx﹣1上存在点P，使以P点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．（5分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD＝SA＝SD＝2AB＝2，P为棱AD的中点，且SP⊥AB，，若点M到平面SBC的距离为，则实数λ的值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）设M，N是两个随机事件，若P（M）＝，P（N）＝，则下列结论正确的是（ ）
A．若N⊆M，则P（M∪N）＝
B．若M∩N＝∅，则P（M+N）＝0
C．若P（M∩N）＝，则M，N相互独立
D．若M，N相互独立，则
（多选）10．（6分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，，则（ ）
A．若x+y＝1，则点P的轨迹为线段AD1
B．若，则点P的轨迹为连接棱AD的中点和棱A1D1中点的线段
C．若x＝y，则三棱锥P﹣A1BC1的体积为定值
D．若，则BP与平面ABCD所成角的余弦值的最大值为
（多选）11．（6分）若点P的坐标是（a，b），圆M：x2+y2+2x﹣4y+3＝0关于直线2ax+by+6＝0对称，Q（m，n）是圆M上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．点P在直线x﹣y﹣3＝0上
B．2m+n的取值范围是
C．以PM为直径的圆过定点R（2，﹣1）
D．若直线PA与圆M切于点A，则|PA|＞4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知向量＝（1，m，﹣1），＝（n，2，﹣2），若∥，则m﹣n＝ ．
13．（5分）若圆C：x2+y2＝r2（r＞0）与曲线y＝|x|﹣2有两个公共点，则r的取值范围为 ．
14．（5分）先后两次掷一枚质地均匀的正方体骰子，记向上的一面点数分别为a，b，则函数f（x）＝x3a﹣2b是定义域为R的偶函数的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）直线l1：x+2y﹣11＝0与直线l2：2x+y﹣10＝0相交于点P，直线l经过点P．
（1）若直线l⊥l2，求直线l的方程；
（2）若直线l在坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
16．（15分）已知圆C：x2+y2﹣4x+2y﹣5＝0和点M（1，﹣5）．
（1）过点M作一条直线与圆C交于A，B两点，且|AB|＝6，求直线AB的方程；
（2）过点M作圆C的两条切线，切点分别为E，F，求EF所在的直线方程．
17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB＝AD＝PD＝CD＝1，PA＝，PC＝，点Q为棱PC上一点．
（1）证明：PA⊥CD；
（2）当二面角P﹣BD﹣Q的余弦值为时，求．
18．（17分）有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，分别计算下列事件的概率．
（1）恰有两名同学拿对了书包；
（2）至少有两名同学拿对了书包；
（3）书包都拿错了．
19．（17分）球面几何在研究球体定位等问题有重要的基础作用．球面上的线是弯曲的，不存在直线，连接球面上任意两点有无数条曲线，它们长短不一，其中这两点在球面上的最短路径的长度称为两点间的球面距离．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图1，球O的半径为R，A，B，C为球面上三点，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形．若设二面角C﹣OA﹣B，A﹣OB﹣C，B﹣OC﹣A分别为α，β，γ，则球面三角形ABC的面积为．
（1）若平面OAB，平面OAC，平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积；
（2）将图1中四面体OABC截出得到图2，若平面三角形ABC为直角三角形，AC⊥BC，设∠AOC＝θ1，∠BOC＝θ2，∠AOB＝θ3．
①证明：csθ1+csθ2﹣csθ3＝1；
②延长AO与球O交于点D，连接BD，CD，若直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，，且，λ∈（0，1]，S为AC的中点，T为BC的中点，设平面OBC与平面EST的夹角为θ，求sinθ的最小值．
2024-2025学年湖北省鄂州市部分高中教科研协作体高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知直线l经过点，（﹣2，0），则直线l的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，设直线l的倾斜角为θ，先求出直线的斜率，结合直线的斜率与倾斜角的关系，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设直线l的倾斜角为θ，
直线l经过点，（﹣2，0），则直线l的斜率k＝＝，
则有tanθ＝k＝，
而0≤θ＜π，则有θ＝．
故选：A．
2．（5分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，若＝，＝，＝，点P为A1C1与B1D1的交点，则＝（ ）
A．++B．+﹣C．﹣+D．+﹣
【答案】C
【分析】在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，各面均为平行四边形，由此找出共线的向量，再线性计算即可．
【解答】解：在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，＝＝，＝＝，＝＝＝，
∵P是A1C1与B1D1的交点，在平行四边形A1B1C1D1中，P为A1C1与B1D1的中点，
∴＝+＝+＝+（+）＝﹣+．
故选：C．
3．（5分）若点P（1，1）在圆C：x2+y2﹣x﹣2y﹣k＝0的外部，则实数k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）B．C．D．
【答案】B
【分析】根据点在圆外以及圆满足的条件列出对应的不等式组，即可求解结论．
【解答】解：由点P（1，1）在圆C：x2+y2﹣x﹣2y﹣k＝0的外部，
可得，
解得．
故选：B．
4．（5分）“五道方”是一种民间棋类游戏，甲，乙两人进行“五道方”比赛，约定连胜两场者赢得比赛．若每场比赛，甲胜的概率为，乙胜的概率为，则比赛6场后甲赢得比赛的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用独立事件的概率乘法公式求解．
【解答】解：因为约定连胜两场者赢得比赛，
所以比赛6场后甲赢得比赛的情况为：第一场甲胜，第二场乙胜，第三场甲胜，第四场乙胜，第五场甲胜，第六场甲胜，
所以所求概率为＝．
故选：C．
5．（5分）直线ax+y﹣a＝0（a∈R）与圆（x﹣2）2+y2＝4的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．无法确定
【答案】B
【分析】直线ax+y﹣a＝0恒过定点（1，0），判断出点在圆的内部，即可判断直线与圆的位置关系．
【解答】解：直线ax+y﹣a＝0恒过定点（1，0），
因为（1﹣2）2+02＜4，所以点（1，0）在圆（x﹣2）2+y2＝4的内部，
所以直线ax+y﹣a＝0与圆（x﹣2）2+y2＝4相交．
故选：B．
6．（5分）已知直线l1：2x﹣y+1＝0，l2：3x+ay+7＝0，l3：bx+2y﹣1＝0，若l1⊥l2且l2∥l3，则a+b的值为（ ）
A．﹣5B．5C．﹣7D．7
【答案】D
【分析】根据题意，由直线平行、垂直的判断方法求出a、b的值，进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，直线l1：2x﹣y+1＝0，l2：3x+ay+7＝0，l3：bx+2y﹣1＝0，
若l1⊥l2，则有2×3+（﹣1）×a＝0，解可得a＝6，
则l2：3x+6y+7＝0
若l2∥l3，则有3×2＝6×b，解可得b＝1，
故a+b＝7．
故选：D．
7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣4y+3＝0，若直线y＝kx﹣1上存在点P，使以P点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由圆与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式求解．
【解答】解：圆C的方程化为标准方程为x2+（y﹣2）2＝1，
所以圆C是以（0，2）为圆心，1为半径的圆，
又直线y＝kx﹣1上存在点P，使以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，
所以只需圆C'：x2+（y﹣2）2＝4与直线y＝kx﹣1有公共点即可，
由，
解得或．
故选：B．
8．（5分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD＝SA＝SD＝2AB＝2，P为棱AD的中点，且SP⊥AB，，若点M到平面SBC的距离为，则实数λ的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先证明SP⊥平面ABCD，以点P为原点，，的方向分别为x，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用点到面的距离可求解．
【解答】解：由题意得：因为SA＝SD，P为AD中点，所以SP⊥AD，
又SP⊥AB，AB与AD交于点A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以SP⊥平面ABCD，
以点P为原点，，的方向分别为x，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则P（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（﹣1，1，0），S（0，0，），
故＝（0，﹣1，0），＝（﹣1，0，），
所以＝λ＝（﹣λ，0，λ），（0≤λ≤1），
所以＝+＝（﹣λ，﹣1，），
又＝（1，1，﹣），＝（2，0，0），
设平面SBC的法向量＝（x，y，z），则，令z＝1，则x＝0，y＝，所以＝（0，，1），
点M到平面SBC的距离为d＝＝＝，
解得或（舍去）．
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）设M，N是两个随机事件，若P（M）＝，P（N）＝，则下列结论正确的是（ ）
A．若N⊆M，则P（M∪N）＝
B．若M∩N＝∅，则P（M+N）＝0
C．若P（M∩N）＝，则M，N相互独立
D．若M，N相互独立，则
【答案】ACD
【分析】由N⊆M可得，可得A正确；由互斥事件的概率和可得B错误；由独立事件的概率之积可得C正确；由对立事件和独立事件的概率和可得D错误．
【解答】解：对于A，若N⊆M，则，故A正确；
对于B，若M∩N＝∅，则M，N事件互斥，所以，故B错误；
对于C，因为，，
所以，则M，N相互独立，故C正确；
对于D，若M，N相互独立，则，相互独立，且，，
所以P（）＝P（）+P（）﹣P（）＝＝，故D正确．
故选：ACD．
（多选）10．（6分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，，则（ ）
A．若x+y＝1，则点P的轨迹为线段AD1
B．若，则点P的轨迹为连接棱AD的中点和棱A1D1中点的线段
C．若x＝y，则三棱锥P﹣A1BC1的体积为定值
D．若，则BP与平面ABCD所成角的余弦值的最大值为
【答案】BC
【分析】以点A为坐标原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出点P的坐标，可判断AB选项；利用空间向量法可判断CD选项．
【解答】解：以点A为坐标原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0）、B（2，0，0）、C（2，2，0）、D（0，2，0）、A1（0，0，2）、B1（2，0，2）、C1（2，2，2）、D1（0，2，2），
因为＝x+y＝x（0，2，0）+y（0，0，2）＝（0，2x，2y）（x，y∈[0，1]），
对于A选项，当x+y＝1时，则点P的轨迹为线段A1D，A错；
对于B选项，若，即点P（0，1，2y），
此时，点P的轨迹为连接棱AD的中点和棱A1D1中点的线段，B对；
对于C选项，若x＝y，即点P（0，2x，2x），其中0≤x≤1，
，＝（2，2，0），设平面A1BC1的法向量为，
则，取x1＝1，可得＝（1，﹣1，1），
＝（﹣2，2x，2x），则点P到平面A1BC1的距离为，
因为△A1BC1的面积为定值，故三棱锥P﹣A1BC1的体积为定值，C对；
对于D选项，若，则，其中0≤x≤1，
易知平面ABCD的一个法向量为＝（0，0，1），
设直线BP与平面ABCD所成的角为θ，
，
当x＝1时，sinθ取最小值，此时csθ取最大值，且sinθ＝，则csθ＝＝，
因此，当时，则BP与平面ABCD所成角的余弦值的最大值为，D错误．
故选：BC．
（多选）11．（6分）若点P的坐标是（a，b），圆M：x2+y2+2x﹣4y+3＝0关于直线2ax+by+6＝0对称，Q（m，n）是圆M上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．点P在直线x﹣y﹣3＝0上
B．2m+n的取值范围是
C．以PM为直径的圆过定点R（2，﹣1）
D．若直线PA与圆M切于点A，则|PA|＞4
【答案】AC
【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心在直线2ax+by+6＝0上，即可求出点P的轨迹方程，从而判断A；令2m+n＝t，利用圆心到直线的距离不小于半径求出t的取值范围，即可判断B；判断kMR＝﹣1，且点P、R都在直线x﹣y﹣3＝0上，即可判断C；求出|PM|min，即可求出|PA|min，即可判断D．
【解答】解：圆M：x2+y2+2x﹣4y+3＝0即（x+1）2+（y﹣2）2＝2，则圆心M（﹣1，2），半径，
由题意可知，圆心M（﹣1，2）在直线2ax+by+6＝0上，
所以﹣2a+2b+6＝0，即a﹣b﹣3＝0，所以点P（a，b）在直线x﹣y﹣3＝0上，故A正确；
令2m+n＝t，因为Q（m，n）是圆M上的动点，所以，
解得，所以2m+n的取值范围是，故B错误；
因为，且点R（2，﹣1）的坐标满足方程x﹣y﹣3＝0，
即点P、R都在直线x﹣y﹣3＝0上，当P、R不重合时，kPR＝1，所以kPR•kMR＝﹣1，
则以PM为直径的圆过定点R（2，﹣1），当P、R重合时，也满足题意，
故以PM为直径的圆过定点R（2，﹣1），故C正确；
圆M：x2+y2+2x﹣4y+3＝0即（x+1）2+（y﹣2）2＝2，半径，
则|AM|＝2，
由直线PA与圆M相切，所以，
所以要使|PA|取最小，只要|PM|最小，
又|PM|的最小值就是点M到直线x﹣y﹣3＝0的距离，
所以，即|PA|≥4，故D错误．
故选：AC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知向量＝（1，m，﹣1），＝（n，2，﹣2），若∥，则m﹣n＝ ﹣1 ．
【答案】﹣1．
【分析】直接利用向量坐标运算求出结果．
【解答】解：向量＝（1，m，﹣1），＝（n，2，﹣2），若∥，
故，
故n＝2，m＝1．
故m﹣n＝﹣1．
故答案为：﹣1．
13．（5分）若圆C：x2+y2＝r2（r＞0）与曲线y＝|x|﹣2有两个公共点，则r的取值范围为 ．
【答案】．
【分析】根据圆的标准方程、曲线y＝|x|﹣2的对称性，可知射线y＝x﹣2（x≥0）与圆C：x2+y2＝r2（r＞0）只有一个公共点，然后分相切与相交两种情况加以计算，即可得到本题的答案．
【解答】解：根据题意，圆C：x2+y2＝r2（r＞0）的圆心为O（0，0），关于y轴对称，
因为曲线y＝|x|﹣2的图象也关于y轴对称，
所以射线y＝x﹣2（x≥0）与圆C：x2+y2＝r2（r＞0）只有一个公共点．
①当y＝x﹣2（x≥0）与圆C：x2+y2＝r2（r＞0）相切时，可知；
②当y＝x﹣2（x≥0）与圆C：x2+y2＝r2（r＞0）相交时（只有一个交点），可知r＞2．
综上所述，半径r的取值范围为．
故答案为：．
14．（5分）先后两次掷一枚质地均匀的正方体骰子，记向上的一面点数分别为a，b，则函数f（x）＝x3a﹣2b是定义域为R的偶函数的概率为 ．
【答案】．
【分析】根据题意，由分步计数原理分析（a，b）的可能情况，由幂函数的性质分析满足“函数f（x）＝x3a﹣2b是定义域为R的偶函数”的（a，b）的数目，由古典概型公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，先后两次掷一枚质地均匀的正方体骰子，记向上的一面点数分别为a，b，
则a、b都有6种情况，故（a，b）的可能情况有6×6＝36种，
若函数f（x）＝x3a﹣2b是定义域为R的偶函数，则3a﹣2b为正偶数，
则符合题意的（a，b）有（2，1），（2，2），（4，1），（4，2），（4，3），
（4，4），（4，5），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共13种情况，
故要求概率P＝．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）直线l1：x+2y﹣11＝0与直线l2：2x+y﹣10＝0相交于点P，直线l经过点P．
（1）若直线l⊥l2，求直线l的方程；
（2）若直线l在坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）联立，解得交点P，根据l⊥l2，不妨设直线l的方程为x﹣2y+λ＝0，将点P坐标代入上述方程解得λ，即可得出直线l的方程．
（2）分类讨论：当直线l经过坐标原点时，直接得出直线l的方程；当直线l不经过坐标原点时，设直线l的方程为，将点P（3，4）代入解得a，即可得出直线l的方程．
【解答】解：（1）联立，解得，即P（3，4）．
∵l⊥l2，不妨设直线l的方程为x﹣2y+λ＝0，
将点P（3，4）代入x﹣2y+λ＝0，得λ＝5，
∴直线l的方程为x﹣2y+5＝0．
（2）当直线l经过坐标原点时，直线l的方程是，即4x﹣3y＝0；
当直线l不经过坐标原点时，设直线l的方程为，
将点P（3，4）代入，得a＝7，
∴直线l的方程为，即x+y﹣7＝0．
综上所述，直线l的方程是4x﹣3y＝0或x+y﹣7＝0．
16．（15分）已知圆C：x2+y2﹣4x+2y﹣5＝0和点M（1，﹣5）．
（1）过点M作一条直线与圆C交于A，B两点，且|AB|＝6，求直线AB的方程；
（2）过点M作圆C的两条切线，切点分别为E，F，求EF所在的直线方程．
【答案】（1）x＝1或15x﹣8y﹣55＝0；
（2）x+4y+12＝0．
【分析】（1）计算出圆心C到直线AB的距离，对直线AB的斜率是否存在进行分类讨论，在直线AB的斜率不存在时，直接检验即可；在直线AB的斜率存在时，设出直线AB的方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线AB的方程；
（2）求出以点M为圆心，半径为|ME|的圆的方程，将该圆方程与圆C的方程作差，即可得出直线EF的方程．
【解答】解：（1）圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y+1）2＝10，圆心为C（2，﹣1），半径为，
所以圆心C到直线AB的距离为，
当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝1，
此时圆心C到直线AB的距离为|2﹣1|＝1，符合题意；
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y+5＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣5＝0，
由题意可得，解得，
此时直线AB的方程为，即15x﹣8y﹣55＝0，
综上所述，直线AB的方程为x＝1或15x﹣8y﹣55＝0；
（2）因为，则，
所以以点M为圆心，|ME|为半径为圆的方程为（x﹣1）2+（y+5）2＝7，
联立，两式相减整理可得：x+4y+12＝0，
即EF所在的直线方程为x+4y+12＝0．
17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB＝AD＝PD＝CD＝1，PA＝，PC＝，点Q为棱PC上一点．
（1）证明：PA⊥CD；
（2）当二面角P﹣BD﹣Q的余弦值为时，求．
【答案】（1）证明见解答；（2）．
【分析】（1）先证CD⊥平面PAD，再利用线面垂直的性质定理即可得证；
（2）建立空间直角坐标系D﹣xyz，分别求出平面BDQ和平面BDP的一个法向量，利用向量法求解即可．
【解答】解：（1）证明：因为，
所以PD2+CD2＝PC2，
所以CD⊥PD，
又CD⊥AD，且AD∩PD＝D，AD，PD⊂平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，
又PA⊂平面PAD，
所以PA⊥CD．
（2）因为，所以AD2+PD2＝PA2，
则PD⊥AD，
由（1）可知PD，AD，DC两两垂直，以D为原点，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，
则D（0，0，0），B（1，1，0），P（0，0，1），C（0，2，0），
由，
设，
则，
设平面BDQ的一个法向量，
则，则，即，
令y1＝1﹣λ，解得x1＝λ﹣1，z1＝﹣2λ，
故，
设平面BDP的一个法向量为，
则，则，得，
令y2＝﹣1，解得x2＝1，z2＝0，
故，
所以，
即，
整理，得8λ2+2λ﹣1＝0，
解得或（舍去），
故．
18．（17分）有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，分别计算下列事件的概率．
（1）恰有两名同学拿对了书包；
（2）至少有两名同学拿对了书包；
（3）书包都拿错了．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据题意列出全部事件，再从中找出恰有两名同学拿对了书包的基本事件即可；
（2）根据题意列出全部事件，再从中找出至少有两名同学拿对了书包的基本事件即可；
（3）根据题意列出全部事件，再从中找出书包都拿错了的基本事件即可．
【解答】解：根据题意，设四名同学的书包为A，B，C，D，则全部基本事件有：
（A，B，C，D），（A，B，D，C），（A，C，B，D），（A，C，D，B），（A，D，B，C），（A，D，C，B），（B，A，C，D），（B，A，D，C），
（B，C，A，D），（B，C，D，A），（B，D，A，C），（B，D，C，A），（C，A，B，D），（C，A，D，B），（C，B，A，D），（C，B，D，A），
（C，D，A，B），（C，D，B，A），（D，A，B，C），（D，A，C，B），（D，B，A，C），（D，B，C，A），（D，C，A，B），（D，C，B，A），共24种，
（1）其中恰有两名同学拿对了书包有6种，则恰有两名同学拿对了书包的概率为；
（2）至少有两名同学拿对了书包有7种，则至少有两名同学拿对了书包的概率为；
（3）书包都拿错了有9种，则书包都拿错了的概率为．
19．（17分）球面几何在研究球体定位等问题有重要的基础作用．球面上的线是弯曲的，不存在直线，连接球面上任意两点有无数条曲线，它们长短不一，其中这两点在球面上的最短路径的长度称为两点间的球面距离．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图1，球O的半径为R，A，B，C为球面上三点，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形．若设二面角C﹣OA﹣B，A﹣OB﹣C，B﹣OC﹣A分别为α，β，γ，则球面三角形ABC的面积为．
（1）若平面OAB，平面OAC，平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积；
（2）将图1中四面体OABC截出得到图2，若平面三角形ABC为直角三角形，AC⊥BC，设∠AOC＝θ1，∠BOC＝θ2，∠AOB＝θ3．
①证明：csθ1+csθ2﹣csθ3＝1；
②延长AO与球O交于点D，连接BD，CD，若直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，，且，λ∈（0，1]，S为AC的中点，T为BC的中点，设平面OBC与平面EST的夹角为θ，求sinθ的最小值．
【答案】（1）；（2）①证明见解析；②．
【分析】（1）根据题意结合相应公式分析求解即可；
（2）①根据题意结合余弦定理分析证明；②建系，利用空间向量求线面夹角，利用基本不等式可求正弦值的最小值．
【解答】解：（1）若平面OAB，平面OAC，平面OBC两两垂直，有，
所以球球面三角ABC的面积为；
（2）①证明：由余弦定理有：，且AC2+BC2＝AB2，
消掉R2，可得csθ1+csθ2﹣csθ3＝1；
②由AD是球的直径，则AB⊥BD，AC⊥CD，
且AC⊥BC，CD∩BC＝C，CD，BC⊂平面BCD，
所以AC⊥平面BCD，且BD⊂平面BCD，则AC⊥BD，
且AB∩AC＝A，AB，AC⊂平面ABC，可得BD⊥平面ABC，
由直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，，
所以，
不妨先令，则，
由AC⊥BC，AC⊥BD，BC⊥BD，
以C为坐标原点，以CB，CA所在直线分别为x，y轴，过点C作BD的平行线为z轴，建立如图空间直角坐标系，设，
则，
可得，
则，
设平面OBC的一个法向量为，
则，即，取z＝﹣2，则，
可得平面OBC的一个法向量为，
设平面EST法向量为，
则，即，取，则b＝t，c＝﹣1，
可得平面EST法向量为，
要使sinθ取最小值，则|csθ|取最大值，
因为，
＝，
令，则，
可得，
当且仅当取等号，
则|csθ|取最大值，为最小值