江苏省南京市第一中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

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命题人: 童欣 校对人：汪倩倩 审核人: 汪倩倩
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．已知集合，，若，则a等于
A．或3B．0或C．3D．
【答案】C
【分析】依题意可得，求出的值，再检验即可.
【详解】因为，且，
即，解得或，
当时，不满足集合元素的互异性，故舍去，
当时，，符合题意.
故选：C
2．若扇形的弧长是8，面积是16，则这个扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】利用扇形的面积、弧长公式求圆心角的弧度即可.
【详解】令扇形的圆心角的弧度数为，半径为，则，即，
又，故.
故选：A
3．已知函数，则的值为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分段函数的解析式，即可根据自变量的范围代入求值.
【详解】，,
故，
故选：C.
已知函数（其中，为常数，且），若的图象如右图所示，则函数的图象是（ ）
B．
C．D．
【答案】A
【分析】由图可得，计算出并结合指数函数性质即可得解.
【详解】由图可得，
则有，且该函数为单调递减函数，
故B、C、D错误，A正确.
故选：A.
5．计算（ ）
A．＋1 B．1C．－1D．－+1
【答案】A
【分析】利用诱导公式和特殊角的函数值求解即可.
【详解】原式.
故答案为：.
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据对数函数和指数函数的单调性，结合中间量法即可得解.
【详解】因为，
所以.
故选：A.
7．沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.现有一个沙漏（如图）上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过时剩余的细沙量为，且（b为常数），经过时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依题意有，解得，，由此能得出结果．
【详解】依题意有，即，
两边取对数得，所以，得到，
当容器中只有开始时的时，则有，所以，
两边取对数得，所以，
故选：C．
8．已知函数，.若对于，，使得成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把，，成立，转化为，逐步求解，即可得到本题答案.
【详解】因为，所以，
所以.
设，因为，即
所以在单调递增，最小值为，
因为，，，即，
所以，
令，易得，所以，即，
显然在的最小值为0，所以，即的取值范围为.
故选：B
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分．
9．若角的终边上有一点，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据三角函数的定义计算，注意分类讨论．
【详解】若的终边上有一点，
则，
，
所以.
故选：AD.
10．下列说法不正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．函数是减函数
C．函数的图象关于点成中心对称
D．幂函数在上为减函数，则的值为1或2
【答案】ABD
【分析】对于A：根据抽象函数的定义域分析求解；对于B：根据反比例函数的单调性；对于C：根据反比例函数的对称性结合函数平移分析判断；对于D：根据幂函数的定义和性质列式求解.
【详解】对于A，函数的定义域为，由得，
则函数的定义域为，A错误；
对于B，函数在和上是减函数，在整个定义域内不为减函数，B错误；
对于C，函数的图象的对称中心为，
将函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到函数的图象，
所以函数的对称中心为，C正确；
对于D，因为函数为幂函数且在上为减函数，
所以，解得，D错误．
故选：ABD．
11．已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．是奇函数
C．若，则
D．若当时，，则在单调递减
【答案】ABD
【分析】对于A选项，令即可；
对于B选项，令，令即可；
对于C选项， 令，即可；
对于D选项，由得，根据函数单调性定义即可.
【详解】因为，
所以令，得，故A正确；
令，得，所以，
令，得，
所以，令，得，又，
所以，又因为定义域为，所以函数是奇函数，故正确；
令，得，
又，所以，故C错误；
当时，由，
可得，又，
，在上任取，不妨设，
，
，
故，在单调递减，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于对和准确的赋值以及对单调性定义计算的精简.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
12．计算：=eq \(▲,________)．
【答案】
【分析】根据指数幂运算性质以及对数运算性质求解出结果.
【详解】原式
，
故答案为：.
13．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是eq \(▲,________)．
【答案】
【分析】令，由题设易知在上为增函数且恒大于零，根据二次函数的性质列不等式组求的取值范围.
【详解】由题设，令，而为增函数，
∴要使在上是增函数，即在上为增函数且恒大于零，
，可得，
∴的取值范围是.
故答案为：
14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：.已知函数，则函数的值域是eq \(▲,________)．
【答案】
【分析】依题意可得，再根据指数函数的性质讨论，和时，函数的单调性与值域，即可得出答案.
【详解】因为，定义域为，
因为在定义域上单调递增，则在定义域上单调递减，
所以在定义域上单调递减，
当时，；
当时，，即；
当时，；
所以，当时，则，于是；
当时，则，于是；
当时，.
综上所述，的值域为.
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15．设全集，，．
(1)当a＝1时，求A∩B，(CUA)∪B；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；或x≥0
(2)
【分析】（1）解不等式可得集合，将代入解出集合，根据集合基本运算即可求得结果；
（2）根据题意可得集合是集合的真子集，根据集合间的基本关系即可求得实数a的取值范围．
【详解】（1）令可得，解得，…………2分
所以，或
当时，，
所以，…………4分
或x≥0.…………6分
（2）由“”是“”的充分不必要条件可得，集合是集合的真子集，…………8分
又，
所以，…………11分
解得，故实数a的取值范围为．…………13分
16．已知角满足.
(1)若，求的值；
(2)若角的终边与角的终边关于轴对称，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）确定，根据，结合角度范围解得答案.
（2）确定，，，变换，计算得到答案.
【详解】（1），即，又，
故，，-----------------3分
又，故，------------------5分
. ------------------------7分
（2）角的终边与角的终边关于轴对称，则，----------9分
，-----------11分
，---------13分
故.-----------------15分
17．如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过点C，已知AB长为4米，AD长为3米，设米．
(1)要使矩形花坛AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内；
(2)要使矩形花坛AMPN的扩建部分铺上大理石，则AN的长度是多少时，用料最省？
【答案】(1)
(2)米时，用料最省．
【分析】（1）由，取得，得到AMPN面积等于，结合一元二次不等式的解法，即可求解；
（2）求得到扩建部分面积，令，可得，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）解：由，可得，则，则，…2分
花坛AMPN面积等于，…………3分
由题意，…………4分
可得，即，
解得或，所以AN的长应在范围内.…………7分
（2）解：根据题意，可得扩建部分面积，…………10分
令，可得，…………14分
当且仅当时，即时，等号成立，即米时，用料最省．…………15分

18．已知函数是偶函数，其中为实数.
(1)求的值；
(2)若函数，是否存在实数，使得的最小值为0？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)存在.
【分析】（1）根据偶函数性质得到恒等式，求参数值即可；
（2）由题设有，应用换元法，令且，结合二次函数性质，讨论对称轴与区间的位置研究最小值，即可得参数值.
【详解】（1）因函数（）是偶函数，
故
，-----------2分
因x∈R且不恒为0，故，得.-------------5分
（2）由（1），得，-----------7分
则，--------9分
设，因，则，，其对称轴为，---------10分
当时，在区间上单调递减，则，解得，不符题意，舍去；---------------12分
当时，在区间上先减后增，故，解得，故；----------------------14分
当时，在区间上单调递增，则，解得，不符题意，舍去.------------------------------16分
故存在，使得的最小值为0.-----------------17分
19．对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，其中k为整数，则称函数为定义域上的“k阶局部奇函数”.
（1）已知函数，试判断是否为上的“2阶局部奇函数”？并说明理由；
（2）若是上的“1阶局部奇函数”，求实数m的取值范围；
（3）若，对任意的实数，函数恒为上的“k阶局部奇函数”，求整数k取值的集合.
【答案】（1）是，理由见解析；（2）；（3）
【分析】（1）根据题意，为上的“2阶局部奇函数”等价于关于x的方程在上有解，列出方程，解方程即可；
（2）由“1阶局部奇函数”的定义，列出方程，讨论方程成立并有解时参数的取值范围；
（3）根据“k阶局部奇函数”的定义，转化对任意的实数，函数恒为上的“k阶局部奇函数”，为对任意的实数恒成立问题，讨论二次项系数是否为零，不为零时讨论Δ≥0恒成立，再令，求解，即可.
【详解】（1）为上的“2阶局部奇函数”等价于关于x的方程在上有解，即：，…………2分
化简得：，
解得：…………4分
所以是上的“2阶局部奇函数”.…………5分
（2）由是上的“1阶局部奇函数”，
且要满足，所以.…………7分
因为是上的“1阶局部奇函数”，等价于关于x的方程
在有解，即，化简得：，………9分
所以，
又，所以.…………11分
（3）因为恒为R上的“k阶局部奇函数”等价于关于x的方程恒有解.
即，化简得：，
当时，解得，所以满足题意；…………13分
当时，Δ≥0，即：对任意的实数恒成立，
即对任意的实数恒成立，
令，是关于t的一次函数且为上的增函数
则，即：，解得：且…………16分
综上，整数k取值的集合为{-5,-4,-3,-2,-1}.…………17分