浙江省杭州市大关中学教育集团2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年浙江省杭州市大关中学教育集团八年级（上）期中数学试卷一.选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题意）1．（3分）下列标点符号中，是轴对称图形的是（　　）A． B． C． D．2．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）A．2cm，3cm，5cm B．4cm，6cm，12cm C．3cm，3cm，6cm D．8cm，8cm，15cm3．（3分）下列命题中，是假命题的是（　　）A．直角三角形的两个锐角互余 B．全等三角形的对应边相等 C．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等 D．对顶角相等4．（3分）如果a＞b，下列各式中不正确的是（　　）A．a﹣4＞b﹣4 B．﹣2a＜﹣2b C．﹣1+a＜﹣1+b D．5．（3分）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝（　　）A．90° B．120° C．135° D．150°6．（3分）如图，在数轴上找出表示3的点A，则OA＝3，过点A作直线l垂直OA，在l上取点B，使AB＝2，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C．其中点C表示的实数是（　　）A． B．4 C． D．7．（3分）在同一平面直角坐标系内，已知点A（4，2），B（﹣2，2），下列结论正确的是（　　）A．线段AB＝2 B．直线AB∥x轴 C．点A与点B关于y轴对称 D．线段AB的中点坐标为（2，2）8．（3分）如图，已知点D，E，F分别为AC，BC，BD的中点，若△ABC的面积为20，则四边形ADEF的面积为（　　）A．10 B．9 C．8.5 D．7.59．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若a＝2，b+c＝12，则d为（　　）A．8 B．10 C．12 D．1410．（3分）如图，C为线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，则有以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有（　　）A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤二.填空题（共6小题，每空3分，共18分）11．（3分）等边三角形是轴对称图形，它有 　 　条对称轴．12．（3分）已知等腰三角形的两边长分别是3和6，则第三边长是 　 　．13．（3分）将点P（﹣3，﹣1）向左平移2个单位，向下平移3个单位，后得到点Q（x，y），则平移后点Q的坐标 　 　．14．（3分）关于x的不等式组有且仅有两个整数解，则a的取值范围为 　 　．15．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E、F两动点分别在线段AD、AB上运动，若∠BAC＝40°，则当BE+EF取得最小值时，∠BEF的度数为 　 　．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点，B（0，2），则点B2023的坐标为 　 　．三.解答题（共8小题）17．（6分）解下列不等式（组），并在数轴上表示出来：（1）2x﹣11≥4（x﹣3）+3；（2）．18．（6分）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．（1）请以x轴为对称轴，画出与△ABC对称的△A1B1C1；（2）点P（a+1，b﹣1）与点C关于y轴对称，则a＝ 　 　，b＝ 　 　．（3）如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是 　 　．19．（8分）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，且BF＝AC，DF＝DC．（1）求证：△BDF≌△ADC；（2）已知AF＝6，BC＝12，求AD的长．20．（8分）已知点P（2m﹣6，m+1），试分别根据下列条件直接写出点P的坐标．（1）点P在y轴上；（2）点P的纵坐标比横坐标大5；（3）点P到x轴的距离与到y轴距离相等．21．（10分）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．（1）若BC＝8，求△ADE的周长．（2）若∠BAC＝126°，求∠DAE的度数．22．（10分）今年的巴黎奥运会引发全民乒乓球热．某体育用品店准备购进甲，乙品牌乒乓球两种，若购进甲种乒乓球10个，乙种乒乓球5个，需要100元，若购进甲种乒乓球5个，乙种乒乓球3个，需要55元．（1）求购进甲，乙两种乒乓球每个各需多少元；（2）若该体育用品店刚好用了购进这两种乒乓球共100个，考虑顾客需求，要求购进甲种乒乓球的数量不少于乙种乒乓球数量的三分之一，且甲种乒乓球数量不多于28个，那么该文具店共有哪几种进货方案？23．（12分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E．（1）如图1，若AB＝AC，求证：△EBC≌△DCB；（2）如图2，点F为BC边上的中点，连接DF、EF、DE，试判断△DEF的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若∠EBC+∠DCB＝60°，DE＝6，求△DEF的周长．24．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝13，BA＝5，点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线C﹣A﹣B运动．设点P的运动时间为t（t＞0）．（1）BC＝　 　．（2）求斜边AC上的高线长．（3）①当P在AB上时，AP的长为 　 　，t的取值范围是 　 　．（用含t的代数式表示）②若点P在∠BCA的角平分线上，则t的值为 　 　．（4）在整个运动过程中，直接写出△PAB是以AB为一腰的等腰三角形时t的值．2024-2025学年浙江省杭州市大关中学教育集团八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题意）1．（3分）下列标点符号中，是轴对称图形的是（　　）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、不是轴对称图形．故选：A．2．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）A．2cm，3cm，5cm B．4cm，6cm，12cm C．3cm，3cm，6cm D．8cm，8cm，15cm【答案】D【分析】根据三角形三条边的关系判断，能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．计算即可．【解答】解：根据三角形三边关系得，A．2cm+3cm＝5cm，不能组成三角形，故本选项错误，不符合题意；B．4cm+6cm＜12cm，不能组成三角形，故本选项错误，不符合题意；C．3cm+3cm＝6cm，不能组成三角形，故本选项错误，不符合题意；D．8cm+8cm＞15cm，能组成三角形，故本选项正确，符合题意；故选：D．3．（3分）下列命题中，是假命题的是（　　）A．直角三角形的两个锐角互余 B．全等三角形的对应边相等 C．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等 D．对顶角相等【答案】C【分析】利用直角三角形的性质、全等三角形的性质、全等三角形的判定及对顶角的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、直角三角形的两个锐角互余，正确，是真命题，不符合题意；B、全等三角形的对应边相等，正确，是真命题，不符合题意；C、两边及夹角分别相等的两个三角形全等，故原命题错误，是假命题，符合题意；D、对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意．故选：C．4．（3分）如果a＞b，下列各式中不正确的是（　　）A．a﹣4＞b﹣4 B．﹣2a＜﹣2b C．﹣1+a＜﹣1+b D．【答案】C【分析】根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A．∵a＞b，∴两边同时减去4，不等号方向不变，正确，故选项A不符合题意；B．∵a＞b，∴两边同时乘以﹣2，不等号方向改变，正确，故选项B不符合题意；C．∵a＞b，∴两边同时减去1，不等号方向不变，错误，故选项C符合题意；D．∵a＞b，∴两边同时除以3，不等号方向不变，正确，故选项D不符合题意．故选：C．5．（3分）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝（　　）A．90° B．120° C．135° D．150°【答案】C【分析】标注字母，利用“边角边”判断出△ABC和△DEA全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠4（或观察图形得到∠1＝∠4），然后求出∠1+∠3＝90°，再判断出∠2＝45°，然后计算即可得解．【解答】解：如图，在△ABC和△DEA中，，∴△ABC≌△DEA（SAS），∴∠1＝∠4（或观察图形得到∠1＝∠4），∵∠3+∠4＝90°，∴∠1+∠3＝90°，又∵∠2＝45°，∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°．故选：C．6．（3分）如图，在数轴上找出表示3的点A，则OA＝3，过点A作直线l垂直OA，在l上取点B，使AB＝2，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C．其中点C表示的实数是（　　）A． B．4 C． D．【答案】D【分析】计算即可求解．【解答】解：由题意得：，故选：D．7．（3分）在同一平面直角坐标系内，已知点A（4，2），B（﹣2，2），下列结论正确的是（　　）A．线段AB＝2 B．直线AB∥x轴 C．点A与点B关于y轴对称 D．线段AB的中点坐标为（2，2）【答案】B【分析】根据平面直角坐标系中点的特点，逐项进行判断即可．【解答】解：A．AB＝4﹣（﹣2）＝6，故选项A错误，不符合题意；B．∵点A（4，2），B（﹣2，2），纵坐标相同，横坐标不同，∴直线AB∥x轴，故选项B正确，符合题意；C．点A关于y轴的对称点坐标为（﹣4，2），故选项C错误，不符合题意；D．线段AB的中点坐标为（1，2），故选项D错误，不符合题意．故选：B．8．（3分）如图，已知点D，E，F分别为AC，BC，BD的中点，若△ABC的面积为20，则四边形ADEF的面积为（　　）A．10 B．9 C．8.5 D．7.5【答案】D【分析】根据三角形一边上的中线，把三角形分成面积相等的两部分，即可求解．【解答】解：∵点D，E，F分别为AC，BC，BD的中点，∴，∴，∴，，∴S四边形ADEF＝S△AFD+S△DEF＝7.5，故选：D．9．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若a＝2，b+c＝12，则d为（　　）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】B【分析】利用勾股定理的几何意义解答．【解答】解：由题意可知：a＝AB2，b＝BC2，c＝CD2，d＝AD2．如图，连接BD，在直角△ABD和△BCD中，BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2，即a+d＝b+c，∵a＝2，b+c＝12，d＝12﹣2＝10．故选：B．10．（3分）如图，C为线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，则有以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有（　　）A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤【答案】C【分析】①根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE，即可判断出AD＝BE．②首先根据全等三角形的判定方法，判断出△ACP≌△BCQ，即可判断出CP＝CQ；然后根据∠PCQ＝60°，可得△PCQ为等边三角形，所以∠PQC＝∠DCE＝60°，据此判断出PQ∥AE即可．③根据全等三角形的判定方法，判断出△ACP≌△BCQ，即可判断出AP＝BQ．④首先根据DC＝DE，∠PCQ＝∠CPQ＝60°，可得∠DPC＞60°，然后判断出DP≠DC，再根据DC＝DE，即可判断出DP≠DE．⑤∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，据此判断即可．【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD≌△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∴结论①正确．∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，又∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠ACP＝∠BCQ＝60°，在△ACP和△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ（AAS），∴CP＝CQ，又∵∠PCQ＝60°，∴△PCQ为等边三角形，∴∠PQC＝∠DCE＝60°，∴PQ∥AE，∴结论②正确．在△ACP和△BCQ中，∴△ACP≌△BCQ（AAS），∴AP＝BQ，∴结论③正确．∵DC＝DE，∠PCQ＝∠CPQ＝60°，∴∠DPC＞60°，∴DP≠DC，又∵DC＝DE，∴DP≠DE，∴结论④不正确．∵∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，∴结论⑤正确．综上，可得正确的结论有4个：①②③⑤．故选：C．二.填空题（共6小题，每空3分，共18分）11．（3分）等边三角形是轴对称图形，它有 　3　条对称轴．【答案】3．【分析】等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，就是三条角平分线．【解答】解：等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，就是三条角平分线．故答案为：3．12．（3分）已知等腰三角形的两边长分别是3和6，则第三边长是 　6　．【答案】见试题解答内容【分析】分两种情况：当等腰三角形的腰长为3，底边长为6时；当等腰三角形的腰长为6，底边长为3时；然后分别进行计算即可解答．【解答】解：分两种情况：当等腰三角形的腰长为3，底边长为6时，∵3+3＝6，∴不能组成三角形；当等腰三角形的腰长为6，底边长为3时，∵3+6＝9＞6，∴能组成三角形；综上所述：第三边长是6，故答案为：6．13．（3分）将点P（﹣3，﹣1）向左平移2个单位，向下平移3个单位，后得到点Q（x，y），则平移后点Q的坐标 　（﹣5，﹣4）　．【答案】见试题解答内容【分析】根据向左平移时，点的纵坐标不变，横坐标减小；向下平移时，点的横坐标不变，纵坐标减小即可解决问题．【解答】解：由题知，将点P（﹣3，﹣1）向左平移2个单位后，所得点的坐标为（﹣5，﹣1），再将所得点向下平移3个单位后，所得点的坐标为（﹣5，﹣4），即点Q的坐标为（﹣5，﹣4）．故答案为：（﹣5，﹣4）．14．（3分）关于x的不等式组有且仅有两个整数解，则a的取值范围为 　﹣1≤a＜0　．【答案】﹣1≤a＜0．【分析】先根据不等式的性质求解，根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”得到解决，再根据仅有两个整数解进行判定，即可求解．【解答】解：由不等式组可得：x＜2，x＞a，原不等式组仅有两个整数解，∴a的取值范围为：﹣1≤a＜0，故答案为：﹣1≤a＜0．15．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E、F两动点分别在线段AD、AB上运动，若∠BAC＝40°，则当BE+EF取得最小值时，∠BEF的度数为 　40°　．【答案】见试题解答内容【分析】依据题意，连接CE，先证明△CDE≌△BDE（SAS），得到CE＝BE，从而推出当C、E、F三点共线且CF⊥AB时CE+EF最小，即此时BE+EF最小，由三线合一定理得到∠BAD＝∠BAC＝20°，则∠ABD＝70°，故当BE+EF最小时，∠CF′B＝90°，∠BCF′＝20°，同理可得CE′＝BE′，则∠CBE′＝∠BCE′＝20°，利用三角形外角的性质即可得到答案．【解答】解：如图所示，连接CE，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∠ADC＝∠ADB＝90°，又∵DE＝DE，∴△CDE≌△BDE（SAS），∴CE＝BE，∴BE+EF＝CE+EF，∴当C、E、F三点共线且CF⊥AB时CE+EF最小，即此时BE+EF最小，∵∠BAC＝40°，∴∠BAD＝∠BAC＝20°，同理可得CE′＝BE′，则∠CBE′＝∠BCE′＝20°，∴∠BE′F′＝∠CBE′+∠BCE′＝40°，∴当BE+EF取得最小值时，∠BEF的度数为40°，故答案为：40°．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点，B（0，2），则点B2023的坐标为 　（6070，0）　．【答案】见试题解答内容【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B1、B3…，由图象可知点B2023在x轴上，OB1＝4，B1B3＝B3B5＝6，根据这个规律可以求得B2023的坐标．【解答】解：由图象可知点B2023在x轴上，∵，OB＝2，∠AOB＝90°，∴，∴B1（4，0），B3（10，0），B5（16，0），…，∴OB1＝4，B1B3＝B3B5＝6，∵（2023﹣1）÷2＝1011，∴1011×6+4＝6070，∴B2023（6070，0）．故答案为：（6070，0）．三.解答题（共8小题）17．（6分）解下列不等式（组），并在数轴上表示出来：（1）2x﹣11≥4（x﹣3）+3；（2）．【答案】（1）x≤﹣1，见解析；（2）1＜x＜5，见解析．【分析】（1）去括号、移项、合并同类项，系数化为1即可求解；（2）首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：（1）去括号，得：2x﹣11≥4x﹣12+3，移项，得：2x﹣4x≥﹣12+3+11，合并同类项，得：﹣2x≥2，系数化为1，得：x≤﹣1，在数轴上表示为：；（2），解①得：x＞1，解②得：x＜5，将解集在数轴上表示为：∴原不等式组的解集为1＜x＜5．18．（6分）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．（1）请以x轴为对称轴，画出与△ABC对称的△A1B1C1；（2）点P（a+1，b﹣1）与点C关于y轴对称，则a＝ 　﹣5　，b＝ 　0　．（3）如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是 　（2，﹣1）或（2，﹣7）或（4，﹣7）　．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．（2）根据轴对称的性质列方程组计算即可．（3）根据全等三角形的性质先作图，结合图形写出点D的坐标即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）∵点P（a+1，b﹣1）与点C关于y轴对称，∴，解得：．故答案为：﹣5，0．（3）如图，△ABD与△ABC全等，则点D的坐标是（2，﹣1）或（2，﹣7）或（4，﹣7），故答案为：（2，﹣1）或（2，﹣7）或（4，﹣7）．19．（8分）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，且BF＝AC，DF＝DC．（1）求证：△BDF≌△ADC；（2）已知AF＝6，BC＝12，求AD的长．【答案】（1）证明见解答过程；（2）9．【分析】（1）根据HL即可证明三角形全等；（2）根据全等三角形的性质及线段的和差即可得出答案．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△BDF和Rt△ADC中，，∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）；（2）解：∵Rt△BDF≌Rt△ADC，∴BD＝AD，∵BC＝BD+CD＝12，∴AD+CD＝12，∴AF+DF+DC＝12，∵DF＝CD，∴AF+2DF＝12，∵AF＝6，∵DF＝3，∴AD＝AF+DF＝9．20．（8分）已知点P（2m﹣6，m+1），试分别根据下列条件直接写出点P的坐标．（1）点P在y轴上；（2）点P的纵坐标比横坐标大5；（3）点P到x轴的距离与到y轴距离相等．【答案】见试题解答内容【分析】（1）y轴上的点的横坐标为0，从而可求得m的值，则问题可解；（2）根据纵坐标与横坐标的关系列方程求出m的值，再求解即可；（3）根据题意列方程解答即可．【解答】解：（1）∵点P在y轴上，∴2m﹣6＝0，∴m＝3，∴m+1＝4，∴P（0，4）；（2）∵点P的纵坐标比横坐标大5，∴m+1﹣（2m﹣6）＝5，解得m＝2，∴2m﹣6＝﹣2，m+1＝3，∴点P的坐标为（﹣2，3）；（3）∵点P到x轴的距离与到y轴距离相等，∴|2m﹣6|＝|m+1|，∴2m﹣6＝m+1或2m﹣6＝﹣m﹣1，解得m＝7或m＝，当m＝7时，2m﹣6＝8，m+1＝8，即点P的坐标为（8，8）；当m＝时，2m﹣6＝﹣，m+1＝，即点P的坐标为（﹣，）．故点P的坐标为（8，8）或（﹣，）．21．（10分）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．（1）若BC＝8，求△ADE的周长．（2）若∠BAC＝126°，求∠DAE的度数．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；（2）根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，计算即可．【解答】解：（1）∵边AB的垂直平分线交BC于D，∴AD＝BD，∵边AC的垂直平分线交BC于E，∴AE＝EC，∴△ADE的周长＝ AD+DE+AE＝ BD+DE+EC＝BC＝8；（2）∵AD＝BD，AE＝EC，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，∴∠B+∠C＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣∠BAC＝180°﹣126°＝54°，∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝126°﹣54°＝72°．22．（10分）今年的巴黎奥运会引发全民乒乓球热．某体育用品店准备购进甲，乙品牌乒乓球两种，若购进甲种乒乓球10个，乙种乒乓球5个，需要100元，若购进甲种乒乓球5个，乙种乒乓球3个，需要55元．（1）求购进甲，乙两种乒乓球每个各需多少元；（2）若该体育用品店刚好用了购进这两种乒乓球共100个，考虑顾客需求，要求购进甲种乒乓球的数量不少于乙种乒乓球数量的三分之一，且甲种乒乓球数量不多于28个，那么该文具店共有哪几种进货方案？【答案】见试题解答内容【分析】（1）设购进每个甲种乒乓球需要x元，购进每个乙种乒乓球需要y元，根据“若购进甲种乒乓球10个，乙种乒乓球5个，需要100元，若购进甲种乒乓球5个，乙种乒乓球3个，需要55元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设该文具店购进a个乙种乒乓球，则购进（100﹣a）个甲种乒乓球，根据题意，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，再结合a为正整数即可得出各进货方案．【解答】解：（1）设购进每个甲种乒乓球需要x元，购进每个乙种乒乓球需要y元，依题意，得：，解得：．答：购进每个甲种乒乓球需要5元，每个乙种乒乓球需要10元．（2）设该文具店购进a个甲种乒乓球，则购进（100﹣a）个乙种乒乓球，依题意，得：，解得：25≤a≤28，又∵a为正整数，∴a可以取25，26，27，28；该文具店共有4种进货方案．方案1：购进25个甲种乒乓球，75个乙种乒乓球；方案2：购进26个甲种乒乓球，74个乙种乒乓球；方案3：购进27个甲种乒乓球，73个乙种乒乓球；方案4：购进28个甲种乒乓球，72个乙种乒乓球．23．（12分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E．（1）如图1，若AB＝AC，求证：△EBC≌△DCB；（2）如图2，点F为BC边上的中点，连接DF、EF、DE，试判断△DEF的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若∠EBC+∠DCB＝60°，DE＝6，求△DEF的周长．【答案】（1）证明见解析；（2）△DEF是等腰三角形，理由见解析；（3）18．【分析】（1）直接根据AAS证明两三角形全等即可得证；（2）根据直角三角形斜边上的中线即可得证；（3）根据三角形的外角性质得出∠DGF＝∠DGB+∠BGF＝（∠3+∠4）+（∠2+∠5），即可证明△DEF是等边三角形，即可求解．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BEC＝∠CDB＝90°，∵AB＝AC，∴∠ECB＝∠DBC，在△EBC与△DCB中，，∴△EBC≌△DCB（AAS）；（2）解：△DEF是等腰三角形；理由如下：∵点F为BC边上的中点，∴在Rt△EBC与Rt△DCB中，DF＝BC，EF＝BC，∴BF＝FC，∴△DEF是等腰三角形；（3）解：如图2，∵DF＝BC，EF＝BC，∴∠1＝∠4，∠3＝∠2，∵∠EBC+∠DCB＝60°，即∠3+∠4＝60°，∴∠1+∠2＝60°，∵∠BGF＝∠2+∠5，∠DGB＝∠3+∠4，∠DGF＝∠DGB+∠BGF＝（∠3+∠4）+（∠2+∠5），在△DGF中，∠1+∠6+∠DGF＝∠1+∠6+∠2+∠5+∠3+∠4＝180°，∴∠5+∠6＝60°，即∠DFE＝60°，∵BF＝FC，∴△DEF是等边三角形，∵DE＝6，∴△DEF的周长是6×3＝18．24．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝13，BA＝5，点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线C﹣A﹣B运动．设点P的运动时间为t（t＞0）．（1）BC＝　12　．（2）求斜边AC上的高线长．（3）①当P在AB上时，AP的长为 　3t﹣13　，t的取值范围是 　　．（用含t的代数式表示）②若点P在∠BCA的角平分线上，则t的值为 　　．（4）在整个运动过程中，直接写出△PAB是以AB为一腰的等腰三角形时t的值．【答案】（1）12；（2）；（3）①3t﹣13；；②；（4）或．【分析】（1）利用勾股定理求解；（2）过点B作BD⊥AC于点D，利用面积法求解；（3）①根据点P的运动路径及速度可解；②过点P作PE⊥AC于E，利用角平分线的性质可知PB＝PE，再证Rt△BCP≌Rt△ECP（HL），推出EC＝BC＝12，最后利用勾股定理解Rt△AEP即可；（4）分AB＝AP＝5和AB＝BP＝5两种情况，利用等腰三角形的性质、勾股定理分别求解即可．【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝5，∴；故答案为：12；（2）如图1所示，过点B作BD⊥AC于点D，∵，∴，∴斜边AC上的高线长为；（3）①∵点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线C﹣A﹣B运动，∴AP＝3t﹣AC＝3t﹣13，∴，即，∴；故答案为：3t﹣13，；②点P在∠BCA的角平分线上时，过点P作PE⊥AC于E，∵CP平分∠BCA，∠B＝90°，∴PB＝PE，又∵PC＝PC，∴Rt△BCP≌Rt△ECP（HL），∴EC＝BC＝12，则AE＝AC﹣CE＝13﹣12＝1，由（2）知AP＝3t﹣13，∴BP＝AB﹣AP＝5﹣（3t﹣13）＝18﹣3t，∴PE＝18﹣3t，在Rt△AEP中，AP2＝AE2+EP2，即（3t﹣13）2＝12+（18﹣3t）2，解得，∴点P在∠BAC的角平分线上时，；故答案为：；（4）△PAB是以AB为一腰的等腰三角形时，有两种情况：当AB＝AP＝5时，则CP＝AC﹣AP＝13﹣5＝8，∴；当AB＝BP＝5时，过点B作BD⊥AC于点D，由（2）知，∴，∵AB＝BP，BD⊥AC，∴，∴，∴，故△PAB是以AB为一腰的等腰三角形时t的值为或．