浙江省G5联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试卷

2024-2025学年浙江省G5联盟高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合A＝{0，5，6}，B＝{4，5，7，18}，则A∪B＝（　　）A．{5} B．{5，7，18} C．{0，4，5，18} D．{0，4，5，6，7，18}2．（5分）“x＞2024”是“”的（　　）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知函数f（x）＝ax﹣2+1（a＞0，a≠1）恒过定点A（t，s），则函数g（x）＝t+xs+1的图象不经过（　　）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（5分）已知，则f（x）的解析式为（　　）A． B． C．f（x）＝x2+2x D．f（x）＝x2+2x（x≥0）5．（5分）关于x的方程x2+（a﹣2）x+5﹣a＝0有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数a的取值范围是（　　）A．{a|a＜﹣5或a＞﹣4} B．{a|﹣5＜a＜﹣4} C．{a|a＜﹣5} D．{a|a＞﹣4}6．（5分）已知函数为奇函数，则g（﹣1）＝（　　）A．﹣e B．﹣e﹣1 C．﹣e﹣2 D．﹣e+27．（5分）若a＝0.50.6，b＝0.60.5，c＝3log62，则a，b，c的大小关系为（　　）A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．a＜c＜b8．（5分）定义在R上且都不恒为零的函数y＝f（x）与y＝g（x）进行下列运算，正确的是（　　）A．若y＝f（x），y＝g（x）均为奇函数，则y＝f（g（x））为奇函数 B．若y＝f（x），y＝g（x）单调性相同，则y＝f（x）•g（x）为增函数 C．若f（g（x））＝f（g（﹣x）），则g（x）＝g（﹣x） D．若＞0，则＞0二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）若2x＝3，y＝log38，则下列等式正确的是（　　）A． B．y2＝8 C．x+y＝3 D．xy＝3（多选）10．（6分）函数，若该函数存在最小值，则m的可能取值是（　　）A． B． C． D．3（多选）11．（6分）已知a，b∈R，对关于x的方程x|x|+ax+b＝0的实数解情况进行讨论，则下列结论中正确的是（　　）A．存在a，b∈R，使该方程无实根 B．对任意a，b∈R，该方程至少有一个实根 C．存在a，b∈R，使该方程有两个实根 D．存在a＜0，b＞0，使该方程有三个实根三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）写出命题“∃a∈R，a+1≤0”的否定 　 　．13．（5分）已知奇函数f（x）在R上单调递减，则不等式（x+1）f（x）＞0的解集是 　 　．14．（5分）已知a＞1，b＞3，3a+b+1＝ab，则的最小值为 　 　．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣12＜0}，集合B＝{x|m﹣3＜x＜m2﹣9}．（1）若m＝5，求B∩（∁RA）；（2）若A∩B＝B，求m的取值范围．16．（15分）设函数f（x）＝ax2+（1﹣a）x+a﹣2（a∈R）．（1）若不等式f（x）≥﹣2对一切实数x恒成立，求a的取值范围；（2）解关于x的不等式：f（x）＜a﹣1．17．（15分）某学校计划在半径为2的半圆形广场规划一等腰梯形绿化，等腰梯形ABCD下底边AB为半圆直径，C、D在圆周上．（1）写出这个梯形周长y与腰长x的函数解析式，并求出它的定义域；（2）当所截梯形的周长最大时，用一条垂直于底边AB（垂足为F）的直线l从左至右移动（与梯形ABCD有公共点）时，直线l把梯形分成两部分，若左边部分的面积为时，求AF的长．18．（17分）已知函数f（x）＝是奇函数．（1）求a的值；（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义证明；（3）若方程f（9x+4）+f（t×3x+2）＝0在（0，+∞）上恰有两个不相等的实数根，求t的取值范围．19．（17分）定义max，min．（1）写出函数y＝min{x﹣1，﹣2x+1}的表达式；（2）已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣3，g（x）＝x+a，（a∈R），求h（x）＝的最小值；（3）已知函数F（x）＝（b+1）x++b﹣|（b﹣1）x﹣+b|，当x∈[1，4]时，F（x）的最小值为8，求实数b的取值范围．2024-2025学年浙江省G5联盟高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合A＝{0，5，6}，B＝{4，5，7，18}，则A∪B＝（　　）A．{5} B．{5，7，18} C．{0，4，5，18} D．{0，4，5，6，7，18}【答案】D【分析】根据集合的基本运算求解即可．【解答】解：因为集合A＝{0，5，6}，B＝{4，5，7，18}，所以A∪B＝{0，4，5，6，7，18}．故选：D．2．（5分）“x＞2024”是“”的（　　）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由不等式的性质分析即可求得．【解答】解：若x＞2024，则由不等式的性质知，，故充分性成立；若，则，即，解得x＜0或x＞2024，故必要性不成立；所以“x＞2024”是“”的充分不必要条件．故选：A．3．（5分）已知函数f（x）＝ax﹣2+1（a＞0，a≠1）恒过定点A（t，s），则函数g（x）＝t+xs+1的图象不经过（　　）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】由函数f（x）＝ax﹣2+1（a＞0，a≠1）恒过定点A（t，s），列方程组解得t＝2，s＝2，从而g（x）＝t+xs+1＝x3+1，由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）＝ax﹣2+1（a＞0，a≠1）恒过定点A（t，s），∴，解得t＝2，s＝2，∴g（x）＝t+xs+1＝x3+1的图象不经过第四象限．故选：D．4．（5分）已知，则f（x）的解析式为（　　）A． B． C．f（x）＝x2+2x D．f（x）＝x2+2x（x≥0）【答案】D【分析】利用换元法求解即可．【解答】解：，令t＝，则t≥0，所以f（t）＝t2+2t，t≥0，即f（x）的解析式为f（x）＝x2+2x（x≥0）．故选：D．5．（5分）关于x的方程x2+（a﹣2）x+5﹣a＝0有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数a的取值范围是（　　）A．{a|a＜﹣5或a＞﹣4} B．{a|﹣5＜a＜﹣4} C．{a|a＜﹣5} D．{a|a＞﹣4}【答案】C【分析】根据已知条件，得到不等式组，即可求解．【解答】解：设f（x）＝x2+（a﹣2）x+5﹣a，由题意可知，，即，解得a＜﹣5，故实数a的取值范围是{a|a＜﹣5}．故选：C．6．（5分）已知函数为奇函数，则g（﹣1）＝（　　）A．﹣e B．﹣e﹣1 C．﹣e﹣2 D．﹣e+2【答案】C【分析】根据f（x）为奇函数及f（x）的解析式可求出g（x）的解析式，然后即可得解．【解答】解：∵f（x）为奇函数，设x＜0，﹣x＞0，则f（﹣x）＝e﹣x+1＝﹣f（x），∴f（x）＝﹣e﹣x﹣1＝﹣e﹣x﹣2+1＝g（x）+1，∴g（x）＝﹣e﹣x﹣2，g（﹣1）＝﹣e﹣2．故选：C．7．（5分）若a＝0.50.6，b＝0.60.5，c＝3log62，则a，b，c的大小关系为（　　）A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．a＜c＜b【答案】B【分析】利用指数函数，幂函数和对数函数的性质求解．【解答】解：因为函数y＝0.5x在R上单调递减，且0.6＞0.5，所以0.50.6＜0.50.5，因为函数y＝x0.5在（0，+∞）上单调递增，且0.6＞0.5，所以0.60.5＞0.50.5，所以0.50.6＜0.60.5，又因为0.60.5＜0.60＝1，即0＜a＜b＜1，因为函数y＝log6x在（0，+∞）上单调递增，所以c＝3log62＝＝log68＞log66＝1，所以a＜b＜c．故选：B．8．（5分）定义在R上且都不恒为零的函数y＝f（x）与y＝g（x）进行下列运算，正确的是（　　）A．若y＝f（x），y＝g（x）均为奇函数，则y＝f（g（x））为奇函数 B．若y＝f（x），y＝g（x）单调性相同，则y＝f（x）•g（x）为增函数 C．若f（g（x））＝f（g（﹣x）），则g（x）＝g（﹣x） D．若＞0，则＞0【答案】A【分析】根据题意，由奇函数的定义分析A，举出反例可得B、C、D错误，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若y＝f（x），y＝g（x）均为奇函数，则g（﹣x）＝﹣g（x），则f（g（﹣x））＝f（﹣g（x））＝﹣f（g（x）），则函数y＝f（g（x））为奇函数，A正确；对于B，设f（x）＝x，g（x）＝3x，在R上都是增函数，则f（x）•g（x）＝3x2，在R上不具有单调性，B错误；对于C，设f（x）＝x2，g（x）＝3x，满足f（g（x））＝f（g（﹣x）），但g（x）＝g（﹣x）不成立，C错误；对于D，设f（x）＝﹣x3，g（x）＝﹣2x，f（g（x））＝﹣（﹣2x）3＝8x3，f（g（x））在R上递增，满足＞0，但g（x）为减函数，满足＜0，D错误．故选：A．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）若2x＝3，y＝log38，则下列等式正确的是（　　）A． B．y2＝8 C．x+y＝3 D．xy＝3【答案】AD【分析】根据对数和指数的性质即可得，【解答】解：由2x＝3，可得x＝log23，利用换底公式可得，A项正确；y2≠8，选项B错误，x+y＝log23+log38≠3，C项错误；＝3，所以xy＝3，D项正确．故选：AD．（多选）10．（6分）函数，若该函数存在最小值，则m的可能取值是（　　）A． B． C． D．3【答案】AB【分析】结合一次函数、指数函数的性质，分0＜m＜1、m＝1、1＜m＜2、m＝2、m＞2分别求出m的值，即可得答案．【解答】解：因为当x＞2时，f（x）＝2mx﹣1，是指数型函数，所以m＞0且m≠1，当0＜m＜1时，易知函数在（2，+∞）上单调递减，且f（x）∈（0，2m）；此时函数f（x）＝（m﹣2）x+4m+1在（﹣∞，2]单调递减，要使函数有最小值，则f（2）＝2（m﹣2）+4m+1≤0，解得，m≤，所以0＜m≤；当1＜m＜2时，易知函数在（﹣∞，2]上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，且当x＞2时，f（x）＞2m，要使函数有最小值，则f（2）＝2（m﹣2）+4m+1≤2m，解得m≤，不满足1＜m＜2；当m＝1时，f（x）＝，此时函数有最小值2，满足题意；当m＝2时，f（x）＝，不满足题意；当m＞2时，函数在（﹣∞，2]和（2，+∞）上单调递增，不满足题意；综上，0＜m≤或m＝1．故选：AB．（多选）11．（6分）已知a，b∈R，对关于x的方程x|x|+ax+b＝0的实数解情况进行讨论，则下列结论中正确的是（　　）A．存在a，b∈R，使该方程无实根 B．对任意a，b∈R，该方程至少有一个实根 C．存在a，b∈R，使该方程有两个实根 D．存在a＜0，b＞0，使该方程有三个实根【答案】BCD【分析】方程x|x|+ax+b＝0可化为f（x）＝x|x|与y＝﹣ax﹣b的图象个数的问题求解．【解答】解：由题意知：x的方程x|x|+ax+b＝0的实数解，即为函数f（x）＝x|x|与y＝﹣ax﹣b的图象交点的横坐标，f（x）＝，做出其图象如下：显然直线y＝﹣ax﹣b一定会与f（x）的图象有交点，A错误，B正确；当直线位于位置①时，直线与f（x）的图象有两个公共点，C正确；当a＜0，b＞0时，直线位于位置②，此时直线f（x）的图象有三个交点，D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）写出命题“∃a∈R，a+1≤0”的否定 　∀a∈R，a+1＞0　．【答案】∀a∈R，a+1＞0．【分析】存在改任意，将结论取反，即可求解．【解答】解：“∃a∈R，a+1≤0”的否定：∀a∈R，a+1＞0．故答案为：∀a∈R，a+1＞0．13．（5分）已知奇函数f（x）在R上单调递减，则不等式（x+1）f（x）＞0的解集是 　{x|﹣1＜x＜0}　．【答案】{x|﹣1＜x＜0}．【分析】由已知结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式．【解答】解：因为奇函数f（x）在R上单调递减，故f（0）＝0，x＞0时，f（x）＜0，x＜0时，f（x）＞0，则不等式（x+1）f（x）＞0可化为或，即或0，所以﹣1＜x＜0．故答案为：{x|﹣1＜x＜0}．14．（5分）已知a＞1，b＞3，3a+b+1＝ab，则的最小值为 　7　．【答案】7．【分析】由3a+b+1＝ab得（a﹣1）（b﹣3）＝4，+＝++4，利用基本不等式求最小值即可．【解答】解：因为a＞1，b＞3，3a+b+1＝ab，所以（a﹣1）（b﹣3）＝4，且a﹣1＞0，b﹣3＞0；所以+＝+＝++4≥2+4＝2+4＝7，当且仅当＝时等号成立，此时a＝，b＝9；所以+的最小值为7．故答案为：7．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣12＜0}，集合B＝{x|m﹣3＜x＜m2﹣9}．（1）若m＝5，求B∩（∁RA）；（2）若A∩B＝B，求m的取值范围．【答案】（1）{x|6≤x＜16}；（2）{m|﹣2}．【分析】（1）根据已知条件，结合补集、交集的定义，即可求解；（2）结合交集的定义，并分类讨论，即可求解．【解答】解：（1）m＝5，则B＝{x|2＜x＜16}，集合A＝{x|x2﹣4x﹣12＜0}＝{x|﹣2＜x＜6}，则∁RA＝{x|x≥6或x≤﹣2}，故B∩（∁RA）＝{x|6≤x＜16}；（2）A∩B＝B，则B⊆A，当B＝∅时，m﹣3≥m2﹣9，解得﹣2≤m≤3，当B≠∅时，则，解得3＜m≤，综上所述，m的取值范围为{m|﹣2}．16．（15分）设函数f（x）＝ax2+（1﹣a）x+a﹣2（a∈R）．（1）若不等式f（x）≥﹣2对一切实数x恒成立，求a的取值范围；（2）解关于x的不等式：f（x）＜a﹣1．【答案】（1）；（2）答案见解析．【分析】（1）对a是否为零进行讨论，再结合二次函数的性质即可求解．（2）不等式化简为ax2+（1﹣a）x﹣1＜0，根据一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解．【解答】解：（1）f（x）≥﹣2对一切实数x恒成立，等价于∀x∈R，ax2+（1﹣a）x+a≥0恒成立．当a＝0时，不等式可化为x≥0，不满足题意．当a≠0，有，即，解得，所以a的取值范围是．（2）依题意，f（x）＜a﹣1等价于ax2+（1﹣a）x﹣1＜0，当a＜0时，不等式化为（ax+1）（x﹣1）＜0，①当a＝﹣1时，，不等式的解集为{x|x≠1}；②当﹣1＜a＜0时，，不等式的解集为；③当a＜﹣1时，，不等式的解集为；当a＝0时，不等式可化为x＜1，所以不等式的解集为{x|x＜1}．当a＞0时，不等式化为（ax+1）（x﹣1）＜0，此时，所以不等式的解集为．综上，当a＜﹣1时，原不等式的解集为；当a＝﹣1时，原不等式的解集为{x|x≠1}；当﹣1＜a＜0时，原不等式的解集为；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＜1}；当a＞0时，原不等式的解集为．17．（15分）某学校计划在半径为2的半圆形广场规划一等腰梯形绿化，等腰梯形ABCD下底边AB为半圆直径，C、D在圆周上．（1）写出这个梯形周长y与腰长x的函数解析式，并求出它的定义域；（2）当所截梯形的周长最大时，用一条垂直于底边AB（垂足为F）的直线l从左至右移动（与梯形ABCD有公共点）时，直线l把梯形分成两部分，若左边部分的面积为时，求AF的长．【答案】（1），；（2）．【分析】（1）过D作DE⊥AB于E，设OE＝t，由OD2﹣OE2＝AD2﹣AE2，得，则，可得梯形周长y与腰长x的函数解析式；（2）令AF＝m，得出左边部分的面积的函数解析式，由左边部分的面积为，可得求AF的长．【解答】解：（1）过D作DE⊥AB于E，设OE＝t，则OD2﹣OE2＝AD2﹣AE2，即22﹣t2＝x2﹣（2﹣t）2，所以，则，所以，由于x＞0，，所以．故所求函数为，；（2）令AF＝m，则当x＝2时，周长最大，此时等腰梯形的底角为60°，所以，因为，所以，得，此时．18．（17分）已知函数f（x）＝是奇函数．（1）求a的值；（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义证明；（3）若方程f（9x+4）+f（t×3x+2）＝0在（0，+∞）上恰有两个不相等的实数根，求t的取值范围．【答案】（1）3；（2）f（x）在（0，+∞）上单调递减，证明见解答；（3）（﹣，﹣）．【分析】（1）由奇函数的定义即可求解a的值；（2）利用定义即可证明单调性；（3）利用函数的单调性与奇偶性将等式脱去“f”，利用换元法，结合二次函数的图象与性质即可求解t的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，因为f（x）＝是奇函数，所以f（﹣x）+f（x）＝+＝+＝3﹣a＝0，解得a＝3；（2）由（1）的结论，f（x）＝＝+3，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，证明如下：任取0＜x1＜x2，所以f（x1）﹣f（x2）＝+3﹣（+3）＝﹣＝，由0＜x1＜x2，可得，＞1，＞1，所以＞0，﹣1＞0，﹣1＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上单调递减．（3）方程f（9x+4）+f（t×3x+2）＝0等价于f（9x+4）＝﹣f（t×3x+2）＝f（﹣t×3x+2），因为方程f（9x+4）+f（t×3x+2）＝0在（0，+∞）上恰有两个不相等的实数根，且f（x）在（0，+∞）上单调递减，所以9x+4＝﹣t×3x+2在（0，+∞）上恰有两个不相等的实数根，令m＝3x＞1，则方程转化为m2+9tm+4＝0在（1，+∞）上恰有两个不相等的实数根，由二次函数的图象与性质可得，解得﹣＜t＜﹣，所以t的取值范围是（﹣，﹣）．19．（17分）定义max，min．（1）写出函数y＝min{x﹣1，﹣2x+1}的表达式；（2）已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣3，g（x）＝x+a，（a∈R），求h（x）＝的最小值；（3）已知函数F（x）＝（b+1）x++b﹣|（b﹣1）x﹣+b|，当x∈[1，4]时，F（x）的最小值为8，求实数b的取值范围．【答案】（1）．（2）．（3）b∈[2，+∞）．【分析】（1）根据新函数的定义，写出表达式．（2）由题意可知h（x）＝max{f（x），g（x）}＝max{x2﹣2x﹣3，x+a}，再分类求出h（x）的最小值．（3）由（2）知F（x）可能是两函数的取大或取小型，利用假设法求出，再用新定义求解．【解答】解：（1）根据已知min．可得y＝min{x﹣1，﹣2x+1}＝．化简得y＝．（2）h（x）＝max{f（x），g（x）}＝max{x2﹣2x﹣3，x+a}．（i）当直线过点（1，﹣4）是临界位置，即a＞﹣5时，所以．（ii）当a≤﹣5时，所以h（x）＝x2﹣2x﹣3，所以h（x）min＝h（1）＝﹣4．综上．（3），令，解得，所以F（x）＝min{2a（x+1），2（x+）}，因为1≤x≤4，所以2n（x）min＝2n（2）＝8．因为F（x）min＝8，y＝2b（x+1）恒过定点（﹣1，0），所以2b≥4，所以b∈[2，+∞）．