上海市徐汇区南洋模范中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年上海市徐汇区南洋模范中学八年级（上）期中数学试卷及解析一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分）1．（2分）在下列各式中，是最简二次根式的是（　　）A． B． C． D．2．（2分）根式，，，中，与是同类二次根式的有（　　）个．A．1 B．2 C．3 D．43．（2分）下列关于x的方程中一定有实数解的是（　　）A．x2﹣x+1＝0 B．x2﹣mx﹣1＝0 C． D．x2﹣x﹣m＝04．（2分）下列说法中，正确的是（　　）A．每个命题不一定都有逆命题 B．每个定理都有逆定理 C．真命题的逆命题仍是真命题 D．假命题的逆命题未必是假命题5．（2分）下列命题中是真命题的是（　　）A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 B．两条平行直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相垂直 C．三角形的一个外角等于两个内角的和 D．等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形6．（2分）下列从左到右的变形不一定正确的是（　　）A． B． C．＝ D．＝二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）7．（2分）的一个有理化因式是 　 　．8．（2分）化简：（其中a＞0）＝ 　 　．9．（2分）若，则＝ 　 　．10．（2分）将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式 　 　．11．（2分）若最简二次根式与是同类根式，则a﹣2b＝ 　 　．12．（2分）计算：＝　 　．13．（2分）不等式的解集是 　 　．14．（2分）某木器厂今年二月份生产了课桌500张，从三月份起加强了管理，产量逐月上升，四月份产量达到605张．如果三、四月份的月增长率相同，设这个增长率为x，则根据题意可列方程为 　 　．15．（2分）在实数范围内因式分解：2x2﹣3x﹣7＝ 　 　．16．（2分）将根号外的因式移到根号内得 　 　．17．（2分）若实数a是方程3x2﹣5x﹣1＝0的一个根，则代数式2024+10a﹣6a2的值是 　 　．18．（2分）小明在解方程时采用了下面的方法：由，又有，可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得x＝﹣1，经检验x＝﹣1是原方程的解．请你学习小明的方法，解决下列问题：解方程，得方程的解为 　 　．三、简答题：（本大题共6题，每题5分，满分30分）19．（5分）计算：．20．（5分）计算：2÷•．21．（5分）解方程：9（2x﹣3）2＝（1﹣x）2．22．（5分）解方程：2（x+3）2﹣3＝5（x+3）．23．（5分）解方程：（3x﹣1）（x+2）＝2x+4．24．（5分）当时，化简代数式，并求代数式的值．四．解答题（本大题共4题，第25～27题每题8分，第28题10，满分34分）25．（8分）一个物流公司因为业务拓展，计划建造一个面积为150平方米的矩形仓库，为节约材料，仓库的一边靠墙，墙长18米，另三边用铁栅栏围成，且在与墙平行的一边要开一扇2米宽的门，已知铁栅栏材料的总长为33米，求矩形仓库的长与宽应分别为多少米？26．（8分）已知x1，x2是关于x的方程x2﹣2kx+k2﹣k+37＝0的两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k＜100，且k，x1，x2都是整数，求k的最大值及这种情况下方程的解．27．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝α（0°＜α＜45°）．将线段CA绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，过点D作DE⊥BC，垂足为E．（1）如图1，求证：△ABC≌△CED；（2）如图2，∠ACD的平分线与AB的延长线相交于点F，联结DF，DF的延长线与CB的延长线相交于点P，证明：PC＝PD；（3）在（2）的条件下，联结AP，当α＝ 　 　时△ACP是等腰三角形．28．（10分）已知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数解．（1）根据求根公式可求得x1+x2＝ 　 　，x1•x2＝ 　 　．（用含字母a，b，c的代数式表示）（2）已知x1，x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的两个实数根．①请用含k的代数式表示x1+x2＝　 　；＝ 　 　．②若实数k为整数，且满足的值也为整数，则k＝ 　 　．（3）若a，b，c，d为互不相等的实数，且满足，则＝ 　 　．2024-2025学年上海市徐汇区南洋模范中学八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分）1．（2分）在下列各式中，是最简二次根式的是（　　）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据最简二次根式的定义解答即可．【解答】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；B、，不是最简二次根式，不符合题意；C、，不是最简二次根式，不符合题意；D、是最简二次根式，符合题意，故选：D．2．（2分）根式，，，中，与是同类二次根式的有（　　）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据同类二次根式的定义解答即可．【解答】解：∵与不是同类二次根式；与是同类二次根式；与不是同类二次根式∴只有与是同类二次根式，共1个，故选：A．3．（2分）下列关于x的方程中一定有实数解的是（　　）A．x2﹣x+1＝0 B．x2﹣mx﹣1＝0 C． D．x2﹣x﹣m＝0【答案】B【分析】分别计算△，再根据Δ与0的关系来确定方程有无实数根．【解答】解：A、∵x2﹣x+1＝0，∴Δ＝﹣3＜0，故此方程无实数解，此选项错误；B、∵x2﹣mx﹣1＝0，∴Δ＝m2+4＞0，故此方程有实数解，此选项正确；C、∵x2﹣2x+1＝0，∴Δ＝4﹣4＜0，故此方程无实数解，此选项错误；D、∵x2﹣x﹣m＝0，∴Δ＝1+4m（由于m的值不确定，故1+4m可以≥0，可以＜0），故此方程不一定有实数解，此选项错误．故选：B．4．（2分）下列说法中，正确的是（　　）A．每个命题不一定都有逆命题 B．每个定理都有逆定理 C．真命题的逆命题仍是真命题 D．假命题的逆命题未必是假命题【答案】D【分析】根据命题、逆命题、定理、逆定理的概念判断即可．【解答】解：A、每个命题一定都有逆命题，故本选项说法不正确，不符合题意；B、每个定理不一定都有逆定理，故本选项说法不正确，不符合题意；C、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项说法不正确，不符合题意；D、假命题的逆命题未必是假命题，说法正确，符合题意；故选：D．5．（2分）下列命题中是真命题的是（　　）A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 B．两条平行直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相垂直 C．三角形的一个外角等于两个内角的和 D．等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形【答案】B【分析】利用全等三角形的判定方法对A进行判断；根据平行线的性质和角平分线的定义对B进行判断；根据三角形外角性质对C进行判断；根据等边三角形的性质和中心对称的定义对D进行判断．【解答】解：A、有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，所以A选项为假命题；B、两条平行直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相垂直两直线平行，所以B选项为真命题；C、三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和，所以C选项为假命题；D、等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，所以D选项为假命题．故选：B．6．（2分）下列从左到右的变形不一定正确的是（　　）A． B． C．＝ D．＝【答案】B【分析】利用二次根式的性质，二次根式有意义的条件及二次根式的乘除法则进行逐项判断即可．【解答】解：•＝＝，则A不符合题意；中若a，b都小于0，那么原式＝•，则B符合题意；＝，则C不符合题意；＝，则D不符合题意；故选：B．二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）7．（2分）的一个有理化因式是 　﹣1　．【答案】见试题解答内容【分析】根据有理化因式的定义进行求解即可．两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．【解答】解：∵（﹣1）（+1）＝﹣1＝x﹣1，∴+1的一个有理化因式为﹣1．故答案为：﹣1．8．（2分）化简：（其中a＞0）＝ 　　．【答案】．【分析】根据二次根式的性质，得b≥0，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案．【解答】解：∵二次根式有意义，∴4ab3≥0，∵a＞0，∴4b3≥0，∴b≥0，∴，故答案为：．9．（2分）若，则＝ 　3　．【答案】3．【分析】由题意易得x﹣3≥0，3﹣x≥0，然后可得x＝3，y＝1，进而问题可求解．【解答】解：由题意得：x﹣3≥0，3﹣x≥0，解得x＝3，把x＝3代入，∴y＝1，∴；故答案为：3．10．（2分）将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式 　如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．　．【答案】见试题解答内容【分析】根据“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论，即可解决问题．【解答】解：命题“同角的余角相等”，可以改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．故答案为如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．11．（2分）若最简二次根式与是同类根式，则a﹣2b＝ 　9　．【答案】9．【分析】先根据题意得出2a﹣4＝2，再根据同类二次根式的定义进行列式计算即可．【解答】解：由题可知，2a﹣4＝2，解得a＝3，又知3a+b＝a﹣b，解得b＝﹣3，故a﹣2b＝3﹣2×（﹣3）＝9故答案为：9．12．（2分）计算：＝　　．【答案】．【分析】先利用的积的乘法和平方差公式进行计算，再根据二次根式的乘法法则进行计算即可．【解答】解：，＝＝＝＝＝，故答案为：．13．（2分）不等式的解集是 　　．【答案】．【分析】按照解不等式的步骤进行即可．【解答】解：移项得：，合并同类项得：，解得：x＞＝3+3，∴；故答案为：．14．（2分）某木器厂今年二月份生产了课桌500张，从三月份起加强了管理，产量逐月上升，四月份产量达到605张．如果三、四月份的月增长率相同，设这个增长率为x，则根据题意可列方程为 　500（1+x）2＝605　．【答案】500（1+x）2＝605．【分析】根据增长率问题直接进行求解．【解答】解：设这个增长率为x，由题意得，500（1+x）2＝605；故答案为500（1+x）2＝605．15．（2分）在实数范围内因式分解：2x2﹣3x﹣7＝ 　　．【答案】．【分析】使2x2﹣3x﹣7＝0，然后根据求根公式可得出方程的根，进而问题可求解．【解答】解：根据题意可知，使2x2﹣3x﹣7＝0，所以Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣7）＝9+56＝65＞0，所以，即，所以2x2﹣3x﹣7＝2（x﹣x1）（x﹣x2）＝2（x﹣）（x﹣）．故答案为：．16．（2分）将根号外的因式移到根号内得 　　．【答案】【分析】根据二次根式的性质，得x＜0，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案．【解答】解：∵有意义，∴，∵﹣6≠0，∴，∴x＜0，∴原式＝﹣＝﹣，故答案为：．17．（2分）若实数a是方程3x2﹣5x﹣1＝0的一个根，则代数式2024+10a﹣6a2的值是 　2022　．【答案】2022．【分析】根据一元二次方程的根的定义，可得3a2﹣5a＝1，再代入2024+10a﹣6a2，即可求解．【解答】解：由条件可知：3a2﹣5a﹣1＝0，∴3a2﹣5a＝1，∴2024+10a﹣6a2＝﹣2（3a2﹣5a）+2024＝﹣2×1+2024＝2022，故答案为：2022．18．（2分）小明在解方程时采用了下面的方法：由，又有，可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得x＝﹣1，经检验x＝﹣1是原方程的解．请你学习小明的方法，解决下列问题：解方程，得方程的解为 　x＝2或x＝6　．【答案】x＝2或x＝6．【分析】先计算，然后得，则可以求出，再平方，最后解一元二次方程并检验即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【解答】解：，又由，可得，将这两式相加可得，∴3x2+20x﹣3＝（3+2x）2，∴x2﹣8x+12＝0，∴x＝2或x＝6，经验x＝2或x＝6是原方程的解，故答案为：x＝2或x＝6．三、简答题：（本大题共6题，每题5分，满分30分）19．（5分）计算：．【答案】【分析】因此此题可先对二次根式进行化简，分母有理化，然后再进行求解即可．【解答】解：＝＝＝．20．（5分）计算：2÷•．【答案】见试题解答内容【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简求出答案．【解答】解：原式＝2×6＝12＝8．21．（5分）解方程：9（2x﹣3）2＝（1﹣x）2．【答案】．【分析】此题可根据因式分解进行求解即可．【解答】解：9（2x﹣3）2＝（1﹣x）2，[3（2x﹣3）﹣（1﹣x）][3（2x﹣3）﹣（x﹣1）]＝0，∴3（2x﹣3）＝1﹣x或3（2x﹣3）＝x﹣1，解得：．22．（5分）解方程：2（x+3）2﹣3＝5（x+3）．【答案】．【分析】此题可先对方程进行化简，然后再因式分解进行求解方程即可．【解答】解：2（x+3）2﹣3＝5（x+3）整理得：2x2+7x＝0，∴x（2x+7）＝0，解得：．23．（5分）解方程：（3x﹣1）（x+2）＝2x+4．【答案】x1＝1，x2＝﹣2．【分析】先移项，再根据因式分解法求解即可．【解答】解：（3x﹣1）（x+2）＝2x+4，（3x﹣1）（x+2）﹣2（x+2）＝0，（3x﹣1﹣2）（x+2）＝0，（3x﹣3）（x+2）＝0，∴3x﹣3＝0或x+2＝0，∴x1＝1，x2＝﹣2．24．（5分）当时，化简代数式，并求代数式的值．【答案】，．【分析】首先判断出a﹣3＜0，然后对二次根式进行化简，代入数值计算即可解答．【解答】解：∵，∴0＜a＜1，∴a﹣3＜0，原式＝＝＝＝＝，当时，原式＝．四．解答题（本大题共4题，第25～27题每题8分，第28题10，满分34分）25．（8分）一个物流公司因为业务拓展，计划建造一个面积为150平方米的矩形仓库，为节约材料，仓库的一边靠墙，墙长18米，另三边用铁栅栏围成，且在与墙平行的一边要开一扇2米宽的门，已知铁栅栏材料的总长为33米，求矩形仓库的长与宽应分别为多少米？【答案】仓库的长为15米，宽为10米．【分析】设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（33﹣2x+2）米，根据矩形面积公式可列出方程，求出答案．【解答】解：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（33﹣2x+2）米，根据矩形面积公式得，x•（33﹣2x+2）＝150，整理，得2x2﹣35x+150＝0，解得：x1＝10，x2＝7.5，所以当垂直于墙的边长为7.5米，则平行于墙的长度为33﹣15+2＝20（米）＞18米，舍去；当垂直于墙的边长为10米，则平行于墙的长度为33﹣20+2＝15（米）；答：仓库的长为15米，宽为10米．26．（8分）已知x1，x2是关于x的方程x2﹣2kx+k2﹣k+37＝0的两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k＜100，且k，x1，x2都是整数，求k的最大值及这种情况下方程的解．【答案】（1）k＞37；（2）k的最大值为86，此时方程的解为x1＝93，x2＝79．【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得Δ＝4k2﹣4（k2﹣k+37）＞0，然后进行求解即可；（2）由（1）及题意可得37＜k＜100，则方程可变形为（x﹣k）2＝k﹣37，然后可得k﹣37为开方数，进而问题可求解．【解答】解：（1）∵x1，x2是关于x的方程x2﹣2kx+k2﹣k+37＝0的两个不相等的实数根，∴＝b2﹣4ac＝4k2﹣4（k2﹣k+37）＞0，解得k＞37；（2）由（1）得，k＞37，∵k＜100，∴37＜k＜100，由x2﹣2kx+k2﹣k+37＝0可得：（x﹣k）2＝k﹣37，∵k，x1，x2都是整数，∴k﹣37为开方数，∴k＝38或41或46或53或62或73或86，∴k的最大值为86，此时方程为（x﹣86）2＝49，解得：x1＝93，x2＝79．27．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝α（0°＜α＜45°）．将线段CA绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，过点D作DE⊥BC，垂足为E．（1）如图1，求证：△ABC≌△CED；（2）如图2，∠ACD的平分线与AB的延长线相交于点F，联结DF，DF的延长线与CB的延长线相交于点P，证明：PC＝PD；（3）在（2）的条件下，联结AP，当α＝ 　15°或30°　时△ACP是等腰三角形．【答案】（1）（2）证明过程详见解析；（3）15°或30°．【分析】（1）可证得∠D+∠DCE＝90°，∠DCE+∠ACB＝90°，从而∠ACB＝∠D，进而证得△ABC≌△CED；（2）可证得△ACF≌△DCF，从而∠A＝∠PDC，进而证得∠PDC＝∠DCE，从而得出PC＝PD；（3）由题意可分①当AC＝PC时，②当AP＝AC时，③当AP＝PC时，（此种情况不成立），然后分类进行求解即可．【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∴∠D+∠DCE＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABC＝∠DEC，∵线段CA绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，∴∠ACD＝90°，AC＝CD，∴∠DCE+∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠D，∴△ABC≌△CED（AAS）；（2）证明：∵CF是∠ACD的平分线，∴∠ACF＝∠DCF，由（1）知，AC＝CD，△ABC≌△CED，∴∠A＝∠DCE，∵CF＝CF，∴△ACF≌△DCF（SAS），∴∠A＝∠PDC，∴∠PDC＝∠DCE，∴PC＝PD；（3）解：由题意可分：①当△ACP是以AC＝PC的等腰三角形时，则有：AC＝PC＝PD＝CD，∴△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝60°，∴∠ACB＝90°﹣∠PCD＝30°＝α；②当△ACP是以AP＝AC的等腰三角形时，如图所示：∴∠ACB＝∠APB＝α，CB＝PB，∴AF垂直平分PC，∴PF＝CF，∵CF平分∠ACD，∴∠ACF＝∠DCF＝45°，∵AF＝AF，∴△ACF≌△APF（SSS），∴∠ACF＝∠APF＝45°，∴∠PCF＝∠CPF＝45°﹣α，∵PC＝PD，∴，∴，解得：α＝15°；③当AP＝PC时，则∠ACB＝∠CAP＝α（0°＜α＜45°），∴∠APC＝180°﹣2α＞90°，∵∠ABC＝90°，且点P在CB的延长线上，∴此种情况是不成立的；综上所述：当α＝15°或30°时，△ACP是等腰三角形；故答案为：15°或30°．28．（10分）已知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数解．（1）根据求根公式可求得x1+x2＝ 　﹣　，x1•x2＝ 　　．（用含字母a，b，c的代数式表示）（2）已知x1，x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的两个实数根．①请用含k的代数式表示x1+x2＝　1　；＝ 　　．②若实数k为整数，且满足的值也为整数，则k＝ 　﹣2或﹣3或﹣5　．（3）若a，b，c，d为互不相等的实数，且满足，则＝ 　　．【答案】（1），；（2）①1，；②﹣2或﹣3或﹣5；（3）．【分析】（1）根据求根公式，即可求解；（2）①根据（1）中结果，，代入即可求解；②结合（1）并结合分式的加减运算、完全平方公式可得，再根据为整数，可得k+1＝±1或±2或±4，最后结合k＜0即可解答．（3）根据题意可知a2，b2是方程的两根，结合（1）中结果即可求解．【解答】解：（1）∵x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数解，根据求根公式可得，∴，∴，，故答案为：，．（2）①∵x1，x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的两个实数根，∴，①∴，故答案为：1，．②＝＝＝，∵的值为整数，∴k+1＝±1或±2或±4，∵方程有两个实数根，∴Δ＝（﹣4k）2﹣4•4k（k+1）＞0，解得：k＜0，∴k＝﹣2或﹣3或﹣5．（3）∵a，b，c，d为互不相等的实数，且满足，由此可知a2，b2是方程的两根，即的两根，∴，∴，故答案为：．