江苏省连云港市东海县2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含解析

2024～2025学年第一学期期中考试高一数学试题用时：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据集合交集运算的定义求出即可.【详解】由题意得，因为，，所以根据交集运算的定义，两集合的公共元素为，所以，故答案选：D.2. 若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出的最小值即可得．【详解】，的最小值是，因此，故选：B．3. 定义在上的偶函数，在区间上单调递减，下列判断正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，对函数值比较大小即可.【详解】∵在0,+∞单调递减，∴，故B错误；又是偶函数，所以在上单调递增，∴，故C错误；而由是偶函数以及其单调性可得，∴，故A正确，D错误；故选：A．4. 已知函数图象如右图所示，则的图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据与的图象关于轴对称，再将的图象向右平移1个单位即可求解.【详解】将与的图象关于轴对称，再将的图象向右平移1个单位得到，因此D符合，故选：D5. 设正数，满足，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式求出最小值.【详解】正数，满足，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故选：A6. 设，则“”的充要条件是（ ）A. a，b不都为1 B. a，b都不为0C. a，b中至多有一个是1 D. a，b都不为1【答案】D【解析】【分析】由，求得且，即可求解.【详解】由，可得，所以且，所以“”的充要条件是“都不为”.故选：D.7. 已知函数，，则函数的值域为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据解析式和函数定义域，可由定义法先求出函数的单调性，再根据单调性求出函数值域.【详解】由题意得，设，且，则，因为，所以，又因为，若，则，此时，所以在上为减函数；若，则，此时，所以在上为增函数；综上所述，函数在上为减函数，在上为增函数，所以，因为，所以，所以函数，的值域为，故答案选：B.8. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由绝对值定义化简函数式，结合单调性求解．【详解】，，则，解得，故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若，则下列各式中，成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】根据对数运算法则、换底公式判断．【详解】，A错；，B正确；由换底公式知C正确；，D错，故选：BC．10. 已知是定义在R上的奇函数，当时，fx=x2−2x，则下列说法正确的是（ ）A. B. 当x∈0,+∞时，C. 在定义域R上为减函数 D. 不等式的解集为【答案】AC【解析】【分析】利用奇函数的定义求解在给定区间外的函数表达式，然后分析函数的单调性，最后求解不等式即可【详解】利用奇函数的性质，对于所有，，因为是奇函数，对于所有，，因此，所以A正确；B错误；当，函数的导数为，在时，，所以函数在内是减函数，当，的导数为，在时，，所以函数在内是减函数，故在整个定义域R上是减函数；故C正确；若， 当时，，即因为在整个定义域R上是减函数，解得，即，所以选项D错误；故选：AC.11. 关于的方程的两实根为，，且，，则（ ）A. B. 的最小值为4C. 的最小值为 D. 的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】根据韦达定理可得，即可代入求解A，根据基本不等式即可求解B，利用，结合基本不等式即可求解CD.【详解】由的两实根为，可得，故，或，对于A，，A正确，对于B，由，，可得，故，当且仅当时取等号，故B正确，对于C，由可得，故，当且仅当，即取等号，故C错误，对于D，由可得，故，当且仅当，即时取等号，故D正确，故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 函数的定义域是_________．【答案】【解析】【分析】根据二次根式有意义即可求得定义域.【详解】解：由解析式可知，故函数的定义域为：13. 若集合，则______.【答案】1【解析】分析】利用集合相等，分和两种情况求解.【详解】当时，，即，则；当时，，解得，此时，即，则，综上：.故答案为：114. 若，则的最小值是________.【答案】【解析】【分析】用反证法证明的最小值不小于，再确定能等于，即可得．详解】由题意，若存在使得，则，因此，但，因此假设错误，不存在使得，所以的最小值不小于，又时，，所以的最小值为，故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. （1）化简求值：；（2）已知，求的值.【答案】（1）11；（2）【解析】【分析】（1）根据指数幂以及对数的运算性质即可求解，（2）根据指数幂的性质可得，即可利用立方差公式求解.【详解】（1）原式=.（2）因为，两边平方得，所以.16. 设为实数，集合，.（1）若，求的取值范围；（2）若，求的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先化简集合A，再由得到求解；（2）分和时，由求解.【小问1详解】解：由得，则.若，则，所以，解得.【小问2详解】当时，有，则；当时，则，或，解得或.综上，实数的取值范围是17. 定义在的函数满足，且当时，.（1）证明：函数是奇函数；（2）判断函数在上的单调性并证明.【答案】（1）证明见解析 （2）函数在上单调递减，证明见解析【解析】【分析】（1）利用函数奇偶性的定义证明；（2）利用函数的单调性的定义证明.【小问1详解】证明：函数的定义域为R，令，得：，，再令，则，即f−x=−fx，所以函数在R上是奇函数.【小问2详解】在R上是单调递减函数，证明如下：任取，，且，则，则，因为当时，，所以，所以，即，所以函数在R上单调递减.18. 已知二次函数fx=ax2+bx+c的两个零点为和，且.（1）求的解析式；（2）当时，求的最小值；（3）解关于的不等式.【答案】（1） （2） （3）答案见解析【解析】【分析】（1）由函数的零点性质可设，代入求解即可；（2）由二次函数的性质讨论对称轴与区间的关系即可；（3）讨论与零和12的关系，结合一元二次不等式解法求解即可；【小问1详解】因为二次函数fx=ax2+bx+c的两个零点为和，可设，又，所以，解得，所以.【小问2详解】因为的对称轴为，当时，在上单调递增，；当，即时，；当，即时，在上单调递减，；综上，.【小问3详解】由题意可得，即，①当时，不等式的解集为，②当时，不等式可化为，不等式的解集为或.③当时，不等式可化为，当，即时，不等式的解集为，当，即时，不等式的解集为，当，即时，不等式的解集为.综上，当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.19. 设函数的定义域为，若存在常数满足，且对任意的，总存在，使得，称函数为函数.（1）求证：函数是函数；（2）若函数是函数，求实数；（3）若函数是函数，求实数.【答案】（1）证明见解析 （2） （3）【解析】【分析】（1）利用函数为函数的定义求解.（2）法一：根据函数是函数，先由不成立，得到或；再根据函数的新定义，由，转化为，令，根据在单调递减，由求解；法二：根据函数是函数及在是增函数，由求解；（3）法一：由，得到，从而，再由函数是函数，化简得到，由求解；法二：同上，由求解.【小问1详解】解：任取，总存在，使得，所以是函数.【小问2详解】法一：因为函数是函数，若，则当时，，此时不存在，使得，所以或；若任取，存在，使得，所以，化简得，令，因为在单调递减，所以当时，得，当时，得，综上所述.法二：因为函数是函数，若，则当时，，此时不存在，使得，所以或；若任取，存在，使得，只需满足即可，因为在是增函数，故有，即，解得.【小问3详解】法一：因为，所以，所以，又所以函数为增函数；函数函数，所以任取，存在，使得，化简得，，得，所以.法二：因为，所以，所以，又所以函数为上的增函数；又函数是函数，所以任取，存在，使得，等价于，即，即，解得.【点睛】方法点睛：对任意，存在，使得，由而得解.