2025成都石室中学高三上学期期中考试数学含答案

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一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知为单位圆的内接正三角形，则（ ）
A. B. C. 1D.
3. 已知角的终边上一点，则（ ）
A. B. C. D.
4. 巴黎奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量，且.记一天中旅客人数不少于26万人的概率为，则的值约为（ ）
（参考数据：若，有，，）
A. 0.977B. 0.9725C. 0.954D. 0.683
5．已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
6. 关于的方程在上有（ ）个实数根．
A. 1B. 2C. 3D. 4
7. 已知，是定义域为R的函数，且是奇函数，是偶函数，满足
，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 的图象关于直线对称
B. 在上单调递增
C. 是奇函数
D. 将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象
10. 已知为函数的一个零点，则（ ）
A. 的图象关于对称B. 的解集为
C. 时，D. 时，，则的最大值为4
11. 已知函数与及其导函数f'x与的定义域均为.若为奇函数，，，则（ ）
A. B.
C. 曲线y=f'x关于点12,1中心对称D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12. 若复数满足，则__________.
13. 已知某次数学期末试卷中有8道四选一的单选题，学生小万能完整做对其中4道题，在剩下的4道题中，有3道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只能从4个选项中随机选一个答案．若小万从这8个题中任选1题，则他做对的概率为______．
14. 已知数列an满足，，其中为函数的极值点，则______．
四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题13分）为提高学生的数学应用能力和创造力，石室中学打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占70%.
(1)根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表判断，依据小概率值α=0.15的独立性检验，分析学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别是否有关?
(2)若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X，求X的分布列与数学期望
附：，其中.
16．（本小题15分）如图所示，在四棱锥中，，，．
(1)若平面，，证明：
(2)若底面，，，二面角的余弦值为，求的长．
17．（本小题15分）设的内角所对的边分别为，且 .
(1)求
(2)若,求的周长;
(3)如图，点是外一点，设
且，记的面积，求关于的关系式，并求的取值范围.
18．已知抛物线的焦点为，直线过点交于两点，在两点的切线相交于点的中点为，且交于点．当垂直于轴时，长度为4；
(1)求的方程；
(2)若点的横坐标为4，求；
(3)设在点处的切线与分别交于点，求四边形面积的最小值．
19．（本小题17分）已知函数，.
(1)当时，函数恒成立，求实数的最大值；
(2)当时，若，且，求证：；
(3)求证：对任意，都有.
感兴趣
不感兴趣
合计
男生
12
女生
5
合计
30
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828