2023~2024学年山东省威海市文登区(五四学制)九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省威海市文登区(五四学制)九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共13页。试卷主要包含了 分式的最简公分母是， 一组数据的方差计算公式为等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A．选项的右边不是积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
B．选项的右边不是整式，不是因式分解，故不符合题意；
C．选项的右边不是积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
D．选项的右边是整式积的形式，是因式分解，故符合题意，
故选：D．
2. 分式的最简公分母是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，，
故最简公分母为：
故选：C
3. 下列各式中，能用公式法分解因式的有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】①原式，它无法利用公式法因式分解；
②原式，它可以利用平方差公式因式分解；
③无法因式分解；
④原式，它可以利用完全平方公式因式分解；
⑤原式，它可以利用完全平方公式因式分解；
综上，能用公式法分解因式的有3个，
故选：B．
4. 下面是马小虎的答卷，他的得分应是（ ）
A. 40分B. 60分C. 80分D. 100分
【答案】B
【解析】代数式，是分式．马小虎判断正确；得20分，
当时，分式无意义．马小虎判断错误，不得分；
是最简分式．马小虎判断正确；得20分，
若分式的值为0，则的值为．马小虎判断错误，不得分；
分式中x，y的值均扩大为原来的2倍，分式的值扩大2倍．马小虎判断正确；得20分，
故选B
5. 一组数据的方差计算公式为：，下列关于这组数据的说法错误的是（ ）
A. 平均数是7B. 中位数是6.5
C. 众数是6D. 方差是1
【答案】D
【解析】由方差的计算公式可知，这组数据为，
这组数据的平均数为，
中位数为：，
众数是6，
方差，
故选：D．
6. 试卷上一个正确的式子被莹莹不小心滴上墨汁，被墨汁遮住的部分的代数式是（ ）​
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得：被墨汁遮住部分的代数式是，
，
故选：D．
7. 为迎接中国共产党建党101周年，某班40名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计表如下，其中有两个数据被遮盖．下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）
A. 平均数，方差B. 中位数，方差
C. 平均数，众数D. 中位数，众数
【答案】D
【解析】∵一共有40名同学，
∴被遮住成绩的人数为名，
∵众数是一组数据中出现次数最多的数据，
∴这40名学生的成绩的众数为98，出现10次，远大于3，与被遮盖的数据无关，
∵中位数是一组数据中处在最中间的那个数据或处在最中间的两个数据的平均数，
∴把这40名学生的成绩从小到大排列，第20名和第21名的成绩分别为97，97，
∴这40名学生的成绩的中位数为，与被遮盖的数据无关，
而平均数和方差都与被遮住的数据有关，
故选D．
8. 一项工程，甲独做需m小时完成，若与乙合作小时完成，则乙单独完成需要的时间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意设工作总量为1，则甲的工效为，甲乙合作的工效是，
所以乙的工效为：，
乙单独完成需要的时间为：
故选：A
9. 某校初二年级的同学乘坐大巴车去北京展览馆参观“砥砺奋进的五年”大型成就展．北京展览馆距离该校12千米．1号车出发3分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达．已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.2倍，求2号车的平均速度，设1号车的平均速度为xkm/h，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设1号车的平均速度为x千米/时，则2号车的平均速度是1.2x千米/时，根据题意可得：
故选A．
10. 已知a、b、c是的三边长，且满足，那么据此判断的形状是（ ）
A. 等边三角形B. 直角三角形
C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故是等边三角形，
故选A．
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 分解因式，甲看错了值，分解结果是，乙看错了值，分解的结果是，那么分解因式正确的结果应该是________．
【答案】(x+1)(x-6)
【解析】分解因式,甲看错了a值,分解的结果是,
,
b= - 6,
乙看错了b值,分解的结果是,
,
a= - 5,
.
故答案为:.
12. 如果一组数据3，5，x，6，8的众数为3，那么这组数据的方差为 _____．
【答案】
【解析】因为一组数据3，5，x,6，8的众数为3，
所以x=3，
该组数据的平均数为：，
方差，
故答案为：．
13. 关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为_______．
【答案】且
【解析】，
方程两边同乘以，得
，
去括号，得
，
移项及合并同类项，得
，
关于的分式方程的解为非负数，，
，解得，且，
故答案为且．
14. 对于a，b，c，d，规定一种运算 =ad-bc,如 =1×4-2×3=-2,那么因式分解 的结果是_________.
【答案】(x-3)2
【解析】
=x(x-6)-3×(-3)
=x2-6x+9
=(x-3)2.
故答案为(x-3)2
15. 关于x的分式方程无解，则m的值为_______．
【答案】1或6或
【解析】，
，
，
，
当时，显然方程无解，
又原方程的增根为：，
当时，，
，
当时，，
，
综上当或或时，原方程无解．
故答案为：1或6或．
16. 某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，所求得的平均数为83，则实际平均数是_______．
【答案】86
【解析】，故答案为：86．
三．解答题（共8大题，总分72分）
17. 把下列各式分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
18. 计算
（1）
（2）；
（3）
解：（1）原式；
（2）原式
；
（3）原式
．
19. 解方程：
（1）-=
（2）+=-1．
解：（1）去分母得：x-3+2x+6=12，
移项合并得：3x=9，
解得：x=3，
经检验x=3增根，分式方程无解；
（2）去分母得：4-（x+1）（x+2）=-x2+1，
解得：x=，经检验x=是分式方程的解．
20. 先化简，然后从的范围内选择一个合适的整数作为x的值代入求值．
解：
＝
=
=，
当a＝0时，原式＝1．
21. 为了加强心理健康教育，某校组织七年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．
（1）填好表格中所缺的数据：
（2）从表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀．
解：（1）由题意知，（1）班和（2）班人数相等，为：（人），
则（2）班学生中测试成绩为分的人数为：（人），
根据加权平均数公式可得，（2）班的平均数是：（分），
∵，∴9分出现的最多，则（2）班的众数是9分，
∵，∴（1）班第25、26个数在8分里，
∴（1）的中位数是（分），
故答案为：8，8，9；
（2）∵，
∴（1）班的成绩更均匀．
22. 为应对新冠疫情，某药店到厂家选购A、B两种品牌医用外科口罩，B品牌口罩每个进价比A品牌口罩每个进价多0.7元，若用7200元购进A品牌数量是用5000元购进B品牌数量的2倍．
（1）求A、B两种品牌的口罩每个进价分别为多少元？
（2）若A品牌口罩每个售价为2元，B品牌口罩每个售价为3元，药店老板决定一次性购进A、B两种品牌口罩共6000个，在这批口罩全部出售后所获利润不低于1800元．则最少购进B品牌口罩多少个？
解：（1）设A种品牌的口罩每个进价为x元，则B品牌口罩每个进价为（x+0.7）元，依题意得：，解得x=1.8，经检验x=1.8是原方程的解，x+1.8=2.5（元），
答：A种品牌的口罩每个的进价为1.8元，B种品牌的口罩每个的进价为2.5元．
（2）设购进B种品牌的口罩m个，则A品牌口罩购进（6000-m）个，根据题意得，
（2-1.8）（6000-m）+（3-2.5）m≥1800，解得m≥2000，
∵m为整数，∴m的最小值为2000．答：最少购进种B品牌的口罩2000个．
23. 【阅读学习】阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．
例1：如图1，可得等式：．
例2：由图2，可得等式：．
借助几何图形，利用几何直观的方法在解决整式运算问题时经常采用．


（1）如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形.利用不同的形式可表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来为_________________________；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，．求的值；
（3）利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积．如图4，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，、、三点在同一直线上，连接和，若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积．
解：（1）正方形面积为，小块四边形面积总和为，
由面积相等可得：，
故结论是：；
（2）由（1）可知，
，，
，
故值为45；
（3），，
，，
，
，
．
故阴影部分的面积是20．
24. 【建构模型】
对于两个不等的非零实数，，若分式的值为零，则或．因为,所以,关于的方程的两个解分别为：，．
【应用模型】
利用上面建构的模型，解决下列问题：
（1）若方程的两个解分别为，．则___，___；（直接写结论）
（2）已知关于的方程的两个解分别为，.求的值．
解：（1）∵方程 的两个解分别为： ，
∴p=-1×4=-4，q=-1+4=3，
故答案为：-4，3．
（2）由，可得
．
∴．
故，解得．
或，解得．
∵，
∴，．
∴．
姓名 马小虎 得分 ？
判断题（每小题20分，共100分）
（1）代数式，是分式．（√）
（2）当时，分式无意义．（×）
（3）不是最简分式．（×）
（4）若分式的值为0，则的值为．（√）
（5）分式中x，y的值均扩大为原来的2倍，分式的值保持不变．（×）
成绩
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
人数
1
3
2
3
5
5
8
10
■
■
统计量
平均数
众数
中位数
方差
（1）班
8
8
（2）班
8
统计量
平均数
众数
中位数
方差
（1）班
8
8
8
（2）班
8
9
8