2023~2024学年山东省潍坊市寿光市九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省潍坊市寿光市九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题选对得4分，共32分，多选、不选、错选均记0分）
1. 在中，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴的度数是；
故选A．
2. 方程的解为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
x+1=±2
∴x+1=2或x+1=-2
解得
故选D．
3. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，
，
，
，
故选：D．
4. 如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是( )

A. 25°B. 35°C. 40°D. 50°
【答案】C
【解析】，∠ABC＝25°，
，
AB是⊙O的直径，
，
．
故选C．
5. 已知点在第四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 无法确定
【答案】C
【解析】∵点在第四象限，
∴，，∴，
关于的一元二次方程的判别式为：，
∵，∴，∴，
∴一元二次方程有两个不等的实数根．故选：C．
6. 如图，已知所在圆的半径为5，弦的长8，点P是的中点，将绕点A逆时针旋转后得到，两位同学提出了相关结论：
小明：点P到的距离为2；
小刚：点P走过的路线长为．下列结论正确的是（ ）

A. 小明错，小刚错B. 小明对，小刚错
C. 小明错，小刚对D. 小明对，小刚对
【答案】D
【解析】设所在圆的圆心为，连接，交于点，连接，

点是的中点，
，，
，
，
点到的距离为，故小明对，
，
∴点P走过的路线长为，故小刚对．
故选D．
7. 现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，嘉琪发现风景区C在A地的北偏东15°方向，那么B，C两地的距离为（ ）
A. 千米B. 千米C. 千米D. 5千米
【答案】A
【解析】如图所示，过点B作于D，
由题意得，，∴，
∵，∴，
∴，∴千米，，
∴千米，∴千米，
故选A．
8. 如图，中，，，点D是边上一个动点，以为直径作，分别交于点E，F，若弦长度的最小值为6，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，连接，，过点作，垂足为，

∴．
∵在中，，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵当为的边上的高时，直径最短，即最小，则最小，
∴，
∴．
故选：B．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9. 如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中等于的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在中，，
在中，，
∵，，
∴，
在， ，
故选：B．
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 三点确定一个圆B. 任意三角形有且只有一个内切圆
C. 平分弦的直径垂直于这条弦D. 三角形的外心是三边中线的交点
【答案】B
【解析】A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故该选项错误，不符合题意；
B、任意三角形有且只有一个内切圆，故该选正确，符合题意；
C、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故该选项错误，不符合题意；
D、三角形任意两边的垂直平分线的交点是三角形的外心，不符合题意；
故选：B．
11.已知方程的解是,,则给出另一个方程，它的解是（ ）
A. 或B. 或C. 或D. 或
【答案】C
【解析】方程的解是，，
由于方程与已知方程的形式完全相同，
，，
，，
，，
故选：C．
12. 如图，在锐角中，，，以为弦的交于点D，与交于点E，若与相切，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵，与相切，,
∴,,
∴,,
∴,，
故A正确，不符合题意；
∵，
∴,
∵，
∴，
故B正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，
连接，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴
故D正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故C错误，符合题意，
故选C．
三、填空题（本大题共4小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得5分）
13. 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度，则AC的长度是_____cm．
【答案】210
【解析】过点B作BD⊥AC于D，
根据题意得：AD=2×30=60（cm），BD=18×3=54（cm），
∵斜坡BC的坡度i=1：5，
∴BD：CD=1：5，
∴CD=5BD=5×54=270（cm），
∴AC=CD-AD=270-60=210（cm）．
故答案为：210
14. 已知m、n是关于x的方程的根，则的值为________．
【答案】2020
【解析】由题意，得：，，
∴，
∴
；
故答案为：2020
15. 已知的面积为，则的内接正六边形的面积是____．
【答案】6
【解析】∵的面积为4π，
∴的半径为2，
过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，
∴AH=AB，
∵∠AOB= 360° =60°，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA=2，
∴AH=OA=1，
∴OH=AH=，
∴正六边形ABCDEF的面积=6S△OAB= 62=6，
故答案为：6．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；……；按此规律，则的值为______．
【答案】
【解析】将绕点O顺时针旋转到，交x轴于点
∴，，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
同理可得：、、、都是等腰直角三角形，，…，
∴ ，，，
，；
∴，
∴，
故答案： ．
四、解答题（本大题共7小题，共78分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算：；
（2）用配方法解方程：．
解：（1）
．
（2）∵，
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
解得．
18. 已知关于x的方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别是，，且，求m的值．
解：（1）∵方程，，
∴，
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵的两个实数根分别是，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
19. 为了办人民满意的教育,某校大门口建造了供家长休息的凉亭（如图1）．图2是抽象出的平面几何图形,已知点D，A，E在同一水平线上，测得，，米，米．求凉亭最高点B到地面的距离的长．（，，，，结果精确到0.01米）

解：过点C作于点E，于点F，

∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵米，
∴米
∵米，
∴米，
∴米，
∴米，
故凉亭最高点B到地面的距离的长米．
20. 中国是世界上机械发展最早的国家之一，如图1是一辆明代的运输板车，该车沿用宋元制式和包镶式结构，车身选材厚重、纹理精美，低重心的物理结构兼顾了承重性和安全性．如图2是板车侧面的部分示意图，为车轮的直径，过圆心O的车架AC一端点C着地时，地面与车轮相切于点D，连接，．

（1）求证：．
（2）图2，若测得，，求车轮的半径长．
解：（1）连接，如图所示．

∵是的切线，
∴．
∵是的直径，
∴．
∵，
∴．
∵是的外角，
∴．
又∵，
∴．
（2）∵，

∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为．
21. 第19届杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，杭州亚运会秉持“绿色、智能、节俭、文明”的办会理念，且亚运会的一套吉祥物是“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”．

（1）据市场调研发现，某工厂今年8月份共生产5万套“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增长率相同，10月份该工厂生产了7.2万套吉祥物，求该工厂平均每月生产量增长率是多少？
（2）已知某商店吉祥物平均每天可销售20套，每套盈利40元，在每套吉祥物降价幅度不超过10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10套．如果每天要盈利1440元，则每套吉祥物应降价多少元？
解：（1）设该工厂平均每月生产量增长率是，由题意，得：
，
解得：或（舍去）；
答：该工厂平均每月生产量增长率是．
（2）设每套吉祥物应降价元，由题意，得：，
解得：或（不合题意，舍去）；
答：每套吉祥物应降价4元．
22. 请阅读下面材料，并根据提供的解题思路求解问题：
如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，和相交于点P，求的值．

【解题思路】
要求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中不在直角三角形中，我们可以利用网格画平行线等方法解获此类问题，比如连接格点M，N，可发现，则，连接，那么就变换到中，进而求出答案．
【解决问题】
（1）根据上述方法归纳，请求图1中的值；
（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，与相交于点P，求的值．
解：（1）∵网格都是小正方形，根据正方形的性质，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）如图2中，取格点D，连接，
∵，

∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
23. 如图，，是的两条直径，，点E是劣弧上一动点（点E不与B，D重合）．连接，，分别交，于点F，G，连接．设的半径为r，．
（1） （用含a的代数式表示）；
（2）当时，求；
（3）判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
解：（1），，，，
，
；故答案为: ．
（2）过点作于点，
，
，
，，
，
,
，
,
设，则，
，
，
；
（3）是定值，，理由如下：
连接，

由题意知，，，
，
，
又，
，
，，
，
即．