2023~2024学年山东省德州市陵城区九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省德州市陵城区九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题4分，共48分）
1. 下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据题意得：
选项中，该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
选项中，该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
选项中，该图是中心对称图形，故本选项符合题意；
选项中，该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选：．
2. 对于抛物线，下列判断正确的是( )
A. 抛物线的开口向上B. 抛物线的顶点坐标是
C. 对称轴为直线D. 当时，
【答案】C
【解析】A、∵，∴抛物线的开口向下，本选项错误，
B、抛物线的顶点为，本选项错误，
C、抛物线的对称轴为：，本选项正确，
D、把代入，
解得：，本选项错误，
故选：C．
3. 点到圆的距离为6，若点在圆外，则圆的半径满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】点在圆外
点到圆的距离大于圆的半径
点到圆的距离为6
故选：A．
4. 绕点O逆时针旋转后得到，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵绕点O逆时针旋转65°得到，
∴，
∵，
∴，
故选C．
5. 二次函数的图象与x轴的交点情况是（ ）
A. 有1个交点B. 有2个交点
C. 无交点D. 无法确定
【答案】B
【解析】令，
，
∵，
∴，
∴，
∴二次函数的图象与x轴有两个交点，
故选：B．
6. 如图,是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，故C正确．
故选：C．
7. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、由一次函数图象，得，由二次函数图象，得，此选项错误，故不符合题意；
B、由一次函数图象，得，由二次函数图象，得，此选项正确，故符合题意；
C、由一次函数图象，得，由二次函数图象，得，此选项错误，故不符合题意；
D、由一次函数图象，得，由二次函数图象，得，此选项错误，故不符合题意，
故选：B．
8. 如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，连接DO，则DE长为（ ）

A. 3B. 4C. 6D. 8
【答案】D
【解析】∵AB＝10，
∴OB=5
OC：OB＝3：5，
∴OC＝3，
在 中，
∵DE⊥AB，∴DE＝2CD＝8，故选：D．
9. 如图，是的内切圆，点、分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为，的长是，则的周长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，将三角形三边以及与圆的切点，分别标为，
是的内切圆，且为的切线，
，，，，
的周长
的周长为，的长是，
的周长的周长．故选：A．
10. 如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】连接，交y轴于点D，如图所示：

当时，则，即，
∵四边形正方形，
∴，，
∴点，∴，解得：，
故选B．
11. 如图，在中，，，，将绕O点旋转后得到，则点的坐标是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】B
【解析】∵在中，，，，
∴当绕点顺时针旋转后得到，如图，
∴，∴；
当绕点逆时针旋转后得到，如图，
∴，
∴，
故选：B．
12. 已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线,下列论中：①;②若点均在该二次函数图象上，则;③若m为任意实数,则;④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为（ ）
A. ①②③B. ①③④C. ②③④D. ①④
【答案】B
【解析】将代入，可得，
故①正确；
二次函数图象的对称轴为直线，
点到对称轴的距离分别为：4，1，3，
，
图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小，
，
故②错误；
二次函数图象的对称轴为直线，
，
又，
，
，
当时，y取最大值，最大值为，
即二次函数的图象的顶点坐标为，
若m为任意实数，则
故③正确；
二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，
与x轴的另一个交点坐标为，
的图象向上平移一个单位长度，即为的图象，
的图象与x轴的两个交点一个在的左侧，另一个在的右侧，
若方程的两实数根为，且，则，
故④正确；
综上可知，正确的有①③④，
故选B．
二、填空题（每小题4分，共24分）
13. 已知点关于原点对称的点为，点关于x轴对称的点为，点在第四象限，那么的取值范围是 __________．
【答案】
【解析】∵点关于原点对称的点为，
∴，
∵点关于x轴对称的点为，∴，
∵点在第四象限，∴，解得：．故答案为：．
14. 将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移________个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．
【答案】2或4
【解析】抛物线向下平移1个单位长度后的解析式为，
令，则，解得，，
∴抛物线与的交点坐标为和，
∴将抛物线向右平移2个单位或4个单位后，新抛物线经过原点．
故答案为：2或4．
15. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，若点恰好落在边上，则点到直线的距离等于__________．
【答案】
【解析】若点恰好落在边上，如图，过作于，
由，，，
∴，
由旋转的性质可知，，则是等边三角形，
∴，
∴，
∴
∴，
∴A到的距离为3，
故答案为：3．
16. 如图，四边形是的内接四边形，对角线过点O，若，则的度数为___________.
【答案】
【解析】∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
17. 如图，在圆内接正六边形中，、交于点，已知半径为3，则的长为__________．

【答案】
【解析】连接、、，

∵六边形是正六边形，
∴经过O点，且O是的中点，
，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：或（舍去）．
故答案为：．
18. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点逆时针旋转45°后得到正方形，继续旋转至2023次得到正方形，则点的坐标是______．

【答案】
【解析】如图，∵四边形是正方形，且，
∴，
连接，由勾股定理可得 ，由旋转的性质得：
将正方形绕点逆时针依次旋转，得：
，
∴，，，，，，，，，…，可发现次一循环，
∵，
∴点的坐标为,故答案为．

三、解答题（7小题，共78分）
19. 按照要求画图：
（1）如图,在平面直角坐标系中,点的坐标分别为，将绕原点顺时针旋转得到，点的对应点为点．画出旋转后的；
（2）下列网格都是由9个相同小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形（画出两种即可）．
解：（1）如下图，即为所求；
（2）在余下的空白小正方形中选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，如下图所示．
20. 已知二次函数
（1）填写表中空格处的数值
（2）根据上表，画出这个二次函数的图象；
（3）根据表格、图象，当时，的取值范围______．
（4）根据图像，当______时，随的增大而增大．
解：（1）
（2）根据上表，画出这个二次函数的图象：
（3）由题意可得：
当时，的取值范围是；
（4）由图可得：当时，随的增大而增大．
21. 如图，隧道的截面由半圆和长方形构成，长方形的BC为12m，宽AB为3m，若该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高8m，宽2.3m，则这辆货运卡车能否通过该隧道？
解：能通过，
如图：在AD上取G，使OG=2.3m，过G作EG⊥BC于F反向延长交半圆E，
则GF=AB=3m,圆半径OE=AD=6m，
由勾股定理，得EG==5.54，
E点与BC的距离为5.54+3=8.54＞8；
所以能通过．
22. 如图，在中，，以为直径的半圆交于点，点是边和半圆的公共点，且满足．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长度．
解：（1）连接，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即：，又为的半径，
为的切线；

（2）设的半径为，
则，
由（1）可知：，
为直角三角形，又，
，，
，，
在中，，，，
为等边三角形，
．
23. 已知：等边，过点作的平行线．点为线段上一个动点（不与点A，重合），将射线绕点顺时针旋转60°交直线于点．如图1，依题意补全图形．
（1）求证：；
（2）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
解：（1）补全图形如图所示，
证明：设交于点E，
∵是等边三角形，
∴，
∵将射线绕点Q顺时针旋转，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）在上取一点P使得，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴
24. 某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子，O恰好在水面中心，安装在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上如图1，建立直角坐标系如图2，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，且时，．

（1）柱子的高度为多少？
（2）求喷出的水流距水平面的最大高度；
（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少m，才能使喷出的水流不至于落在池外？
解：（1）把时，代入得，
解得：，
∴柱子的高度为．
（2）∵，∴顶点是，
故喷出的水流距水面的最大高度是；
（3）解方程，得，，
∴B点坐标为，∴
故不计其他因素，水池的半径至少要，才能使喷出的水流不至于落在水池外．
25. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．

（1）求出抛物线解析式和点的坐标；
（2）在对称轴上找一点，使的值最小，在图中标出点的位置，并求点的坐标．
（3）若为抛物线第一象限内一动点，则：①当的面积为3时求点坐标；②当的面积最大时求点坐标．
解：（1）点的坐标是，抛物线的对称轴是直线，
则点的坐标为：，
设抛物线的表达式为：，
则，则，
故抛物线的表达式为：；
（2）如图1，点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小，

理由：为最小，
由（1）可知点C坐标为设直线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
即直线的表达式为：，
当时，，
即点；
（3）过点作轴的平行线交于点，

设点，则点，
则，
则的面积，
①当，即，
解得：或2，
即点或；
②由知，当时，取得最大值，
此时，点，．
…
0
1
3
…
…
2
…
…
0
1
2
3
…
…
2
3
2
…