2023~2024学年山东省德州市庆云县九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省德州市庆云县九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（每题4分，共计48分）
1. 围棋起源于中国，距今已有4000多年的历史，2017年5月，柯洁与人工智能机器人AlphaG进行了围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A.符合中心对称图形的定义，故此项符合题意；
B.不符合中心对称图形定义，故此项不符合题意；
C.不符合中心对称图形的定义，故此项不符合题意；
D.不符合中心对称图形的定义，故此项不符合题意；
故选：A．
2. 若是一元二次方程，则m的值为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知，
解，得，
解，得，
因此m的值为，故选：B．
3. 已知半径为5，，则点在（ ）
A. 圆内B. 圆上C. 圆外D. 不确定
【答案】A
【解析】∵的半径为，，
∴,
∴点在圆内．
故选A．
4. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 对称轴为直线B. 函数的最大值是3
C. 抛物线开口向上D. 顶点坐标为
【答案】D
【解析】，
对称轴为直线，最大值为，顶点坐标为，
∵，
∴开口向下，
故D正确，符合题意；
故选：D．
5. 已知点、点关于原点对称，则的值为（ ）
A. 3B. C. D. 1
【答案】B
【解析】点、点关于原点对称，
，，
．
故选：B．
6. 在一幅长，宽的景观区域的四周铺设一条观光小道，如图所示，如果要使观光小道的总面积是，设观光小道的宽为，那么满足的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据题意，得
，
即．
故选：C．
7. 如图，在中，弦相交于点P，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
，
，
，
故选：A．
8. 下列命题正确的是（ ）
A. 在一个三角形中至多有两个锐角
B. 在圆中，垂直于弦的直径平分弦
C. 如果两个角互余，那么它们的补角也互余
D. 两条直线被第三条直线所截，同位角一定相等
【答案】B
【解析】A、由于三角形内角和为，故内角中最多有一个钝角，即在一个三角形中至少有两个锐角，A错误；
B、根据垂径定理知在圆中，垂直于弦的直径平分弦，B正确；
C、举例两个角分别取和互余，它们的补角为和，这两角不互余，C错误；
D、两条平行直线被第三条直线所截，同位角一定相等，两条不平行的直线被第三条直线所截，同位角不相等，D错误．
故选：B．
9. 已知抛物线经过点，则下列结论正确的是（ ）
A. 抛物线的开口向下
B. 抛物线的对称轴是
C. 抛物线与轴没有交点
D. 当时，关于一元二次方程有实根
【答案】B
【解析】将点代入得：，解得，
∴，
∴抛物线的开口向上，抛物线的对称轴是，选项A错误，选项B正确；
∵方程的根的判别式，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴抛物线与轴有两个交点，选项C错误；
由二次函数的性质可知，这个抛物线的开口向上，且当时，取得最小值，
∴当时，与没有交点，
∴当时，关于的一元二次方程没有实根，选项D错误；
故选：B．
10. 下列函数图象中，能反映的值始终随值的增大而增大的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由图可知：
A、函数值具有对称性．在对称轴的左侧y的值随x值的增大而增大，对称轴的右侧y的值随x值的增大而减小，该选项不符合题意；
B、增减性需要限定在各个象限内，该选项不符合题意；
C、图象是函数y的值随x值的增大而增大，该选项符合题意；
D、图象在原点左侧是函数y的值随x值的增大而减小，该选项不符合题意；
故选：C．
11. 发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图．图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点是直线与的交点；当点A运动到时，点到达；当点A运动到时，点到达．若，则下列结论正确的是（ ）

A.
B.
C. 当与相切时，
D. 当时，
【答案】C
【解析】如图，由题意可得：

∴，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
如图，当AB与⊙O相切时，

∴，
∴，
∴，故C符合题意；
如图：当时，

∴
∴，，
∴，故D不符合题意；
故选：C．
12. 定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论：
①点，都是点的“倍增点”；
②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点的坐标为；
③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
④若点是点的“倍增点”，则的最小值是．
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】①∵，，
∴，
∴，则是点的“倍增点”；
∵，，
∴，
∴，则是点的“倍增点”；
故①正确，符合题意；
②设点，
∵点A是点的“倍增点”，
∴，
解得：，
∴，
故②不正确，不符合题意；
③设抛物线上点是点的“倍增点”，
∴，整理得：，
∵，
∴方程有两个不相等实根，即抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
故③正确，符合题意；
④设点，
∵点是点的“倍增点”，
∴，
∵，，
∴
，
∵，
∴的最小值为，
∴的最小值是，
故④正确，符合题意；
综上：正确的有①③④，共3个．
故选：C．
二、填空题（每题4分，共计24分）
13. 关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是_________（写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
即，
解得：，
∴的值可以是．
故答案为：（答案不唯一）．
14. 如果将抛物线向左平移2个单位，再向上平移4个单位，那么平移后的抛物线解析式是________．
【答案】
【解析】依题意，得
，
故答案为：．
15. 银杏是著名的活化石植物，其叶有细长的叶柄，呈扇形．如图是一片银杏叶标本，叶片上两点B，C的坐标分别为，将银杏叶绕原点顺时针旋转后，叶柄上点A对应点的坐标为___________．

【答案】
【解析】∵B，C的坐标分别为，
∴坐标系的位置如图所示：

∴点的坐标为：，
连接，将绕点顺时针旋转后，如图，叶柄上点A对应点的坐标为；
故答案为：.
16. 如图，是正方形内一点，将绕点顺时针方向旋转后与重合，若，则______．
【答案】
【解析】由题可知：，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17. 如图，是的弦，半径于点，连接并延长，交于点连接．若，则的面积为______．

【答案】
【解析】∵是的直径，
∴，
∵，是的半径，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴在中，由勾股定理得，，即，解得；或（舍去）
∴．
故答案为：．
18. 若实数分别满足下列条件：（1）；（2）．试判断点所在的象限为______．
【答案】第一或第二象限
【解析】∵，
∴或，
∵，
∴，
当时：，，
∴点在第二象限；
当时，，，
∴点在第一象限；
综上：点在第一或第二象限；
故答案为：第一或第二象限．
三、解答题（共计78分）
19. 解方程：
（1）
（2）
解：（1）
,
,所以，．
（2）
,所以．
20. 如图，的顶点坐标分别为，，．

（1）画出与关于点成中心对称的图形；
（2）①画出绕原点逆时针旋转的；
②在①基础上，若点为边上的任意一点，则旋转后对应点的坐标为 ．
解：（1）如图，为所作；

（2）①画如图，为所作；

②绕原点逆时针旋转后，旋转后对应点坐标的横坐标为的点纵坐标的负值，纵坐标为的横坐标，旋转后对应点的坐标为，故答案为：．
21. 已知：二次函数．

（1）求出该函数图象的顶点坐标；
（2）在所提供的网格中画出该函数的大致范围；
（3）求当时，函数y的取值范围？
解：（1），∴该函数图象的顶点坐标为：；
（2）函数图象如图所示；

（3）∵函数图象的顶点坐标在之间，
∴当时，最小值为，
当时，，
当时，，
∴当时，函数y的取值范围为：．
22. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在上，连接．

（1）若，求的度数；
（2）若,，求的长．
解：（1）在中，，，
∴，
∵将绕着点B逆时针旋转得到，
∴，，
∴；
（2）∵，,，
∴，
∵将绕着点B逆时针旋转得到，
∴，，，
∴，
∵，
∴在中，．
23. 今年4月，多国禽流感大暴发，大量蛋鸡被扑杀，导致世界级的“鸡蛋荒”，若某国有一只蛋鸡患有禽流感，经过两轮感染后共有64只蛋鸡患病．
（1）每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了几只健康的蛋鸡？
（2）如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的蛋鸡会不会超过500只？
解：（1）设每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了x只健康的蛋鸡，则第一轮中有x只健康的蛋鸡被传染，第二轮中有只健康的蛋鸡被传染，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了7只健康的蛋鸡；
（2）
（只），
∵，
∴如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的蛋鸡会超过500只．
24. 在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：
如图1，中，．点D是边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接．
（1）求证：A，E，B，D四点共圆；
（2）如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线．
解：（1）由旋转的性质，得，，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴A，E，B，D四点共圆；
（2）如图所示，连接，
∵，，
∴，
∵是四边形的外接圆，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线．
25. 如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．

（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值；
（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线经过两点，
∴，解得：，
∴；
（2）∵，∴，
设直线，则：，解得：，
∴，当时，，∴；
作点关于轴的对称点，连接，
则：，，
∴当三点共线时，有最小值为的长，

∵，，∴，
即：的最小值为：；
（3）存在；∵，
∴对称轴为直线，
设，，当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时：
①为对角线时：，

∴，
当时，，
∴，
∴；
②当对角线时：，

∴，
当时，，
∴，
∴；
③当为对角线时：，

∴，
当时，，
∴，
∴；
综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或．