2023~2024学年山东省德州市禹城市九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省德州市禹城市九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. 民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A．不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
D．是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．
故选：D．
2. 用配方法解方程时，下列配方结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】把方程的常数项移到等号的右边可得：，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到，
配方得．
故选：B．
3. 已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ）
A. 2B. C. 8D.
【答案】C
【解析】一元二次方程的两根为，
，，
，
故选：C．
4. 如图，点A，B，C在⊙O上，∠BOC＝60°，则∠BAC的度数是（ ）
A. 15°B. 30°C. 45°D. 20°
【答案】B
【解析】由圆周角定理得：
故选：B.
5. 抛物线与x轴的两个交点为，，其形状和开口方向与抛物线相同，则抛物线的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意设抛物线的交点式为：，
∵该抛物线的形状和开口与相同，
∴，
∴抛物线的解析式为：，
整理得：，
故选：B．
6. 往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后,截面如图所示,若水面宽，则水的最大深度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，
由垂径定理得：，
∵⊙O的直径为，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴水的最大深度为，
故选：．
7. 已知函数图象与x轴有交点．则的取值范围是( )
A. k<4B. k≤4
C. k<4且k≠3D. k≤4且k≠3
【答案】B
【解析】若此函数与x轴有交点，则，Δ≥0，即4-4(k-3)≥0，解得：k≤4，当k=3时，此函数为一次函数，题目要求仍然成立，故选：B．
8. 在同一坐标中，一次函数与二次函数的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由二次函数得抛物线开口向上，
根据一次函数，得直线与y轴的正半轴相交，交点为，
根据A、C图像可知，抛物线交y轴于负半轴，
∴，
故选：A．
9. 如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为米，则根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设道路的宽应为米，由题意有，
故选：C．
10. 如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥,按如图所示建立坐标系,得到函数，正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 8米
【答案】A
【解析】∵米，
∴当时，，
当水位上升5米时，，
把代入得，，
解得，
此时水面宽米，
故选：A.
11. 对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示,小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ）

A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】①由图象可知：，
∵对称轴为直线：，
∴，
∴，故①正确；
②∵抛物线与轴有两个交点，
∴，
∴，故②正确；
③∵对称轴为直线，则与的函数值相等，
∴当时，，故③错误；
④当时，，
∴，故④正确；
⑤当时，取到最小值，此时，，
而当时，，
所以，
故，即，故⑤正确，
⑥当时，y随的增大而减小，故⑥正确，
综上，正确的是①②④⑤⑥共5个，
故选：C．
12. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接．则线段的最大值是（ ）

A. B. C. 3D.
【答案】D
【解析】连接，
∵抛物线关于y轴对称，
∴，

∵Q是线段的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴当长最大时，长最大，
且当过圆心C时，长最大，
当时，，
∴B的坐标是，
∴，
∵C的坐标是，
∴，
∴，
∵的半径是2，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值是．
故选：D．
二、填空题
13. 已知是方程的一个根，则实数k的值为______．
【答案】
【解析】将代入，得：，
解得：，
故答案为：．
14. 若对称轴为直线的抛物线经过点，则一元二次方程的根是_________．
【答案】，
【解析】∵对称轴为直线的抛物线经过点，
∴点的对称点是：，即，
∴方程的根是，，故答案为：，；
15. 二次函数的最小值为4，则m的值为______．
【答案】8
【解析】由题意可得：，解得：，故答案为：8．
16. 如图，A，B，C，D是圆上的四个点，点是弧的中点，如果，那么___________．

【答案】
【解析】∵四边形内接于，
∴，
∴，
∵点B是优弧的中点，
∴，
∴，
故答案为：．
17. 如图1在线段上找一个点B，B把分成和两段，其中是较小的一段，满足，则B为线段的黄金分割点．黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割．如图2，B为的黄金分割点（)，长度为，则的长度______________；(结果用根号表示)

【答案】
【解析】设的长度为，
∵长度为，
∴，
又∵图2中点B为的黄金分割点（)，
∴，即，整理得：，
解得：，（舍去），
即的长度为．
故答案为：．
18. 如图，已知A（1，1），B（3，9）是抛物线y＝上的两点，在y轴上有一动点P，当△PAB的周长最小时，则此时△PAB的面积为 _____．
【答案】6
【解析】如图，作出B关于y轴的对称点，则⊥y轴于点H，连接交y轴于P，
则点P就是使△PAB的周长最小时的位置．
∵抛物线y＝的对称轴是y轴，B、关于y轴对称，
∴点P在抛物线y＝上，且，
∴，
∴此时△PAB的周长最小，
∵B（3，9），
∴（﹣3，9），
∴＝6，点H的坐标是（0，9），
∵A（1，1），
∴点A到的距离为9－1＝8，
设直线A的直线方程为y＝kx+b，把点A和点的坐标代入后得到，
∴，
解得，
∴直线A的解析式为y＝﹣2x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴P点的坐标为（0，3）,
∴PH＝OH－OP＝6，
此时，
即△PAB的面积为6，
故答案为：6．
三、解答题
19. 用合适的方法解下列方程：
（1）
（2）．
解：（1），
，
∴或
∴，；
（2），
，
∴或
∴，．
20. 受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，某市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计2017年利润为2亿元，2019年利润为3.38亿元．
（1）求该企业从2017年到2019年利润的年平均增长率；
（2）若2020年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2020年的利润能否超过4亿元？
解：设该企业从2017年到2019年利润的年平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：该企业从2017年到2019年利润的年平均增长率为30%；
（2）若2020年保持前两年利润的年平均增长率不变，
那么该企业2020年的利润为：3.38×（1＋30%）＝4.394＞4，
故该企业2020年的利润能超过4亿元．
21. 如图，三个顶点的坐标分别为，，．

（1）作出向下平移4个单位长度后得到的；
（2）作出关于原点对称的，
（3）作出绕着点O逆时针旋转后的，并写出的坐标．
解：（1）如图，即为所求；

（2）如图，即为所求；
（3）如图，即为所求，则．
22. 如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸……”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整．如图2所示；在车轮上取A，B两点，设所在圆的圆心为O，半径为．

（1）作弦的垂线,D为垂足,则______,经测量,,,则______；用含r的代数式表示______．
（2）在中，由勾股定理可列出关于r的方程；__________．解得_________．通过换算，车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为________之轮．（填“兵车”或“田车”）
解：（1）根据垂直弦的直径平分弦可知：，
∵，
∴，；
（2）在中，根据勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴此车轮为：兵车之轮；
故答案为：，，，，75，兵车．
23. 某超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y千克与销售单价x（元）（x≥30）存在如图所示的一次函数关系．
（1）试求出y与x的函数关系式；
（2）设超市销售该绿色食品每天获得利润W元，
①求出W与x的函数关系式；
②当销售单价x为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
解：（1）设，由图象可知，
，
解之，得，
与的函数关系式为：；
（2）①
，
与的函数关系式为：；
②，
有最大值．
当时，．
当销售单价为35元千克时，每天可获得最大利润4500元．
24. 如图，连函数都是爱你的形状，“爱心”图案是由抛物线的一部分及其关于直线的对称图形组成，点A、B是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点C、D、E、F是图案与坐标轴的交点，且．
（1）求k的值及的长；
（2）在y轴左侧的抛物线的图像上是否存在一点P，使与的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）把代入可得，
解得，
∴抛物线解析式为：，
∴，
∴,
∵“爱心”图案是由抛物线的一部分及其关于直线的对称图形组成，
∴，
∴；
（2）联立，
解得或，∴，
∵与的面积相等
∴，∴点P的纵坐标为，
令可得，，
解得，
∴．∴存在一点，使与的面积相等．
25. 某班数学兴趣小组对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围取足全体实数，x与y的几组对应值列表如下：其中 ．
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，现在画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出函数的一条性质 ；
（4）进一步探究函数图象解决问题：
①方程有 个实数根；
②在（2）问的平面直角坐标系中画出直线，根据图象写出方程的一个正数根约为 ．（精确到0.1）
解：（1）把代入，
得，即，故答案为：1.25；
（2）把表中的剩余数对，，，，作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点，而后顺次连接格点，得到函数图象的另一部分，如图所示；
（3）由函数的图象看出：当时，y随x的增大而减小；
故答案为：当时，y随x的增大而减小；
（4）①由函数图象看出：函数的图象与直线有4个交点，
∴对应的方程有4个实数根；
故答案为：4；
②如图，由函数的图象与直线的交点看出，方程的一个正数根约为0.4，故答案为：0.4．

x
……
0
0.5
1
15
2
2.5
3
……
y
……
3
m
0
0.75
1
0.75
0
1.25
3
……