2023~2024学年山东省济南市槐荫区九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省济南市槐荫区九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 的值等于（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【解析】由题意可得，，
故选：B．
2. 如图，在中，，，，下列三角函数正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】在中，，，，由勾股定理得，
，
所以，，，，
故选：C．
3. 如图，，若，，，则的长度是（ ）
A. 6B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴，即，
解得，
故选：C
4. 四分仪是一种十分古老的测量仪器.其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点、窥衡杆与四分仪的一边交于点.图中，四分仪为正方形．方井为矩形.若测量员从四分仪中读得AB为，为，实地测得为．则井深为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】A
【解析】依题意，，
∴，
∴，
∵测量员从四分仪中读得AB为，为，实地测得为．
∴
解得：，
∴
故选：A．
5. 如图，在平行四边形中，点是边AD上的一点，且，交对角线BD于点，，则为（ ）
A. 6B. 18C. 4D. 9
【答案】B
【解析】平行四边形中，，
，，
，
，
，
，
，
故选B．
6. 滑雪爱好者小张从山坡滑下，为了得出滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）之间的关系式，测得的一些如下数据（如表），为观察s与t之间的关系，建立坐标系（如图），以t为横坐标，s为纵坐标绘制了如图所示的函数图象.

根据以上信息，可知s与t的函数关系式是（不考虑取值范围）（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】观察函数图象，s与t的关系可近似看成二次函数，
设s关于t的函数关系式为，
将，代入，得
，
解得：，
∴近似地表示s关于t函数关系式为．
故选：D．
7. 如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴的正半轴交于点C．现有下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③2a﹣b＞0；④3a+c＝0，其中，正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】①∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴位于y轴的左侧，
∴a、b同号，即ab＞0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，
故①正确；
②如图，当x＝﹣2时，y＞0，即4a﹣2b+c＞0，
故②正确；
③对称轴为x＝﹣＞﹣1，得2a＜b，即2a﹣b＜0，
故③错误；
④∵当x＝1时，y＝0，
∴0＝a+b+c，
又∵2a﹣b＜0，即b＞2a，
∴0＝a+b+c＞a+2a+c＝3a+c，即3a+c＜0，
故④错误．
综上所述，①②正确，即有2个结论正确．
故选：B．
8. 如图，是边长为6的等边三角形，点D，E在边上，若，，则的长度是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵是等边三角形；
∴；
过点作的垂线，垂足为；
∴；
∴；
∵；
∴；
∵；
；
∴；
在中，
；
在中；；
∴；
∴；
∴；
∴；
∵；
∴；
故选．

9. 阅读材料：余弦定理是这样描述的:在中，、、所对的边分别为a、b、c,则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍.用公式可描述为:;;．已知在中，＝2，＝4，＝，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题可知，需要画出满足条件的，如下图所示；
∵，；∴，；∴在中；；
∵；∴；整理得：；
，（舍）；∴；故选．

10. 定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是（ ）
A. 4，-1B. ，-1
C. 4，0D. ，-1
【答案】D
【解析】由正方形的性质可知：B（2,2）；
若二次函数与正方形有交点,则共有以下四种情况:
当时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当C点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当O点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有，
解得：；
综上可得：的最大值和最小值分别是，．
故选：D．
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．）
11. 已知，则___________．
【答案】
【解析】∵，∴，∴，故答案为：．
12. 拦水坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是，坝高BC=8m，则坡面AB的长度是_______m.
【答案】16
【解析】∵迎水坡的坡比是，坝高，∴，
解得：，则（m）．故答案为：16．
13. 中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂，如图所示是中国象棋的棋盘（各个小正方形的边长均相等），根据“马走日”的规则，“马”应该落在位置___处，能使“马”，“炮”，“兵”所在位置的格点构成的三角形与“帅”，“车”，“相”所在位置的格点构成的三角形相似．
【答案】②
【解析】由图可知：“帅”、“车”、“相”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为4，2，，“兵”、“炮”之间的距离为2，“炮”与②之间的距离为1，“兵”与②之间的距离为，
马应该落在②的位置，故答案为：②．
14. 槐荫区某校举办了建校70周年校庆活动，节目展演环节主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台的长为，点C为的一个黄金分割点，则的长为_______．
【答案】或
【解析】∵点为的一个黄金分割点，，
∴当时，；
当时，，
则；
综上所述：的长为或，
故答案为：或．
15. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，东汉末年数学家刘徽在为《九章算术》作注中依据割补术而创造了勾股定理的无字证明“青朱出入图”，移动几个图形就直观地证明了勾股定理，如图，若，则_______．
【答案】
【解析】∵四边形均为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形，关于原点O位似，其中点都在x轴上，点在上，在上，依此方式，继续作正方形，若点坐标为，则点的坐标为_______．

【答案】
【解析】∵点坐标为，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴点的坐标为，
∵正方形关于原点位似，
∴正方形与的相似比为，
同理可得：正方形与正方形的相似比为，
∴正方形与正方形的相似比为，
∴正方形与正方形的相似比为，
∴点的坐标为，即，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. 计算：．
解：
．
18. 如图，在中，，，．

（1）求的长；
（2）求的值．
解：（1）在中，，，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴根据勾股定理可得，
（2）在中，，
∴．
19. 已知点E是矩形的边上一点，于点F，求证：．

证明：∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∴．
20. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为．

（1）以坐标原点为位似中心，在轴上方作与的位似比为的位似图形．
（2）顶点的坐标为 ，与的面积之比为 ．
解：（1）如图所示：

即为所求；
（2）由（1）中所作图形可得顶点的坐标为；由相似三角形性质可知，与的面积之比为；
故答案为：；．
21. 黄河是中华文明最主要的发源地，中国人称其为“母亲河”，1855年8月，黄河改道山东大清河入渤海，自此与泉城济南结下了不解之缘．黄河在济南流经7个区县，绵延300余里，哺育了济南儿女，润泽了泉城大地，为落实黄河文化的传承弘扬，某校组织学生到黄河某段流域进行研学旅行．某兴趣小组在只有米尺和测角仪的情况下，想要求出黄河某处的宽度（不能到达对岸）如图，已知该段河对岸岸边有一点A，兴趣小组以A为参照点在河这边沿河边任取两点B、C，测得，量得的长为300m．求河的宽度．（结果精确到1m，参考数据）

解：如图，过点A作于点D，

由图可知，，
设，在中，
∵，∴，
在中，∵，∴，
∵，∴，∴，
答：河的宽度约为204m．
22. 如图所示，和均等腰直角三角形，，＝，，、、三点共线，线段、交于点．
（1）求线段、之间的数量关系；
（2）求的度数．
解：（1）∵和均为等腰直角三角形，
∴＝＝，
∵，
∴，
和中，
，
，
，
，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）∵、、三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
23. 在篮球运动中，跳投是进攻队员面对防守队员或摆脱防守队员后投篮的方法，跳投能出其不意地甩开防守人员的防守，也能有效避免被对方封盖，如图，一位篮球运动员在距离篮圈中心B水平距离4m处跳起投篮，出手点为C，蓝球沿一条抛物线运动，当蓝球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮筐内（穿过篮圈中心B），已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，试解答下列问题：

（1）建立如图所示的平面直角坐标系，其中A为抛物线与y轴的交点，求抛物线所对应的函数表达式．
（2）这次跳投时，球出手点离地面多高？
解：（1）由题意可得，抛物线顶点坐标为，
篮圈中心横坐标为，
篮圈中心坐标为，
抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
可设抛物线的函数关系式为，
篮圈中心在抛物线上，将它的坐标代入上式，
得，，．
（2）设这次跳投时，球出手处离地面hm，
可知出手处C的坐标为，
(1)中求得，当时，
（m）
这次跳投时，球出手处离地面2.25m．
24. 如图，在中，，于点D．点P从点D出发，沿线段向点C运动，点Q从点C出发，沿线段向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．
（1）求线段的长；
（2）当t为何值时，与相似？
解：（1）∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴，
∵与相似，
∴只存在和两种情况，
当时，
∴，即，
解得；
当时，
∴，即，
解得；
综上所述，当t的值为3或时，与相似．
25. 【问题背景】
中，，，P为上的动点，小熙拿含角的透明三角板，使角的顶点落在点P，三角板可绕P点旋转．
【用数学的眼光观察】
（1）如图1，当三角板的两边分别交AB、于点E、F时，以下结论正确的是：_____;
①；②；③；④.
【用数学的思维思考】
（2）将三角板绕点P旋转到图2情形时，三角板的两边分别交的延长线、边于点E、F．与相似吗？请说明理由；
【用数学的语言表达】
（3）在（2）的条件下，动点P运动到什么位置时，？说明理由．

解：（1）∵，，
∴，
又∵
∴，
又∵，
∴，故③正确；
∴，故②正确；
∴，故④正确；
故答案为：②③④ ．
（2）；
理由：∵在中，，
∴．
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（3）动点P运动到中点位置时，与相似，
证明：同（1），可证，
得，
而，
因此 ．
又∵，
∴．
26. 如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为h（单位：m)，如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到l的距离为d（单位：m)．
（1）若，．
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
（2）若，要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．
解：（1）①如图1，时，，
由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设，
又∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴上边缘抛物线的函数解析式为，
当时，，
解得，（舍去），
∴喷出水最大射程为；
②对称轴为直线，
∴点的对称点为，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴点的坐标为；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点、恰好分别在两条抛物线上，
可知过D点的抛物线为过F点的抛物线经过向左平移得到，
∴过F的抛物线为，
∴过D的抛物线为，
设点，
∵，
∴，
解得，
∴点的纵坐标为，
∵，
∴h的最小值为．
滑行时间t/s
0
1
2
3
4
滑行距离s/m
0
4.5
14
28.5
48