2023~2024学年山东省济宁市曲阜市九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省济宁市曲阜市九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A. 1，1，3B. 1，，3
C. ，1，3D. ，1，
【答案】B
【解析】一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，，3．
故选：B．
2. 许多数学符号蕴含着对称美，下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】点关于原点对称的点的坐标为；
故选：A．
4. 已知一元二次方程x2－4x－1＝0的两根分别为m，n，则m＋n－mn的值是（ ）
A. 5B. 3C. －3D. －4
【答案】A
【解析】∵一元二次方程的两根分别为m，n，
∴，，
∴，
故选：A．
5. 将抛物线向右平移2个单位，得到的抛物线是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由函数图象的平移规则：左加右减，上加下减，
所以抛物线向右平移2个单位，得到的抛物线为：，
故选：B．
6. 如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为（ ）
A. 16B. 14C. 12D. 10
【答案】B
【解析】∵△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝2，
∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE=CF，
∵BE+CE＝BC＝5，
∴BD+CF＝BE+CE =BC＝5，
∴△ABC的周长＝2+2+5+5＝14，
故选：B．
7. 已知是抛物线上的三点，则由小到大依序排列是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵二次函数中，，
∴抛物线开口向上，对称轴为，
∴当时，随的增大而减小；时，随的增大而增大，
∵，
∴、在对称轴右侧，此时，
∵在对称轴左侧，它关于对称轴对称的点为，且，
∴．
故选：D．
8. 如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由图可知，圆锥的底面半径为，母线长为，
则圆锥的侧面积为，
即蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是，
故选：C．
9. 如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置，若四边形的面积为25，，则的长为（ ）

A. 4B. C. 5D.
【答案】B
【解析】把顺时针旋转的位置，
四边形的面积等于正方形的面积等于25，
，
，
在中，．
故选：B．
10. 如图，内接于，是的中点，连接，，，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】连接、，如图：

则，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
11. 2023年4月23是第28个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一，据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
．
故选：C．
12. 如图，抛物线与 x轴交于点,交 y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①；②；③；④（m为任意实数）；⑤一元二次方程有两个不相等的实数根；⑥当为直角三角形时，a的值有2个，其中正确的有（ ）
A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5个
【答案】D
【解析】观察图象得∶抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴位于y轴右侧，
∴，，∴，
∴，故①正确；
∵，
∴抛物线的对称轴是，
∴，
∴，故②正确．
又∵当，，
把化为，
代入得：
＞0，即，故③正确；
又∵当时，，当，，
∵当时，函数值最大，最大值，
∴为任意实数时有，
∴，故④错误；
∵
∴，
∵与有两个交点，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，故⑤正确；
∵抛物线过点，
∴ 解得：，
∴抛物线为，
∴，，
∵，∴
，
当时，，
∴，解得：，（舍去）；
当时，，
∴，解得：，（舍去）
当时，，
∴，方程无解，
∴当为直角三角形时，a的值有2个，故⑥正确；
故选：D
二、填空题：本大题共6小题，每小题2分，共12分．
13. 若关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0有两个实数根，则m的取值范围是________．
【答案】m≥﹣1
【解析】根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）≥0，
解得m≥﹣1．
故答案为m≥﹣1．
14. 如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点，，以第一象限内点C为圆心半径为2的圆经过A、B两点，则点C的坐标为__________．

【答案】
【解析】过点C作于点D，轴于点E，连接，如图所示，

∵二次函数的图象与x轴交于点A，B，
∴由得， ，，
∴A、B两点的坐标分别为，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中， ，
∴点C的纵坐标为 ，
∵轴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴点C的横坐标为2，
∴点C的坐标为，
故答案为：．
15. 如图，将绕着点A顺时针旋转到的位置，使点E首次落在上．已知，，则_________．

【答案】50
【解析】过点A作于F，
根据旋转的性质得：旋转角为，
，
，，
，
，，
．．

故答案为：50．
16. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次不等式的解集为______________________．
【答案】
【解析】由图可知，对称轴为直线，
所以，二次函数图象与x轴的另一个交点坐标为（，0），
由图象可知：函数值大于0的的取值范围为：，
所以，的解集为．
故答案为：．
17. 如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为_____．

【答案】4．
【解析】依题意，令得：
∴
得：
解得：（舍去）或
∴即小球从飞出到落地所用的时间为
故答案为4．
18. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；……；按此规律，则的值为______．
【答案】
【解析】将绕点O顺时针旋转到，交x轴于点
∴，，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
同理可得：、、、都是等腰直角三角形，，…，
∴ ，，，
，；
∴，
∴，
故答案为： ．
三、解答题：本大题共7小题，共52分．
19. 解下列方程：
（1）；
（2）
解：（1）∵，
∴，
则，
∴,
；
（2）∵，
∴，
则或，
解得：．
20. 定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
（1）判断一元二次方程是否为黄金方程，并说明理由．
（2）已知是关于x的黄金方程，若a是此黄金方程的一个根，求a的值．
解：（1）一元二次方程是黄金方程，理由如下：
由题意得，，
∴，
∴一元二次方程是黄金方程；
（2）∵是关于x的黄金方程，
∴，
∴，
∴原方程为，
∵a是此黄金方程的一个根，
∴，
即，
∴，
解得或．
21. 在平面直角坐标系中如图所示：

（1）请画出关于原点对称的，并写出，的坐标；
（2）将向右平移个单位得到，请画出；
（3）与关于点成中心对称．请直接写出点坐标．
解：（1）如图：

∴的图形如图所示，，．
（2）如图：

∴的图形如图所示．
（3）连接、，它们的交点即为点，
∵与关于点成中心对称，
∴由图可知，点的坐标为．
22. “阳光玫瑰”葡萄近几年来广受各地消费者青睐，在云南省广泛种植．某水果经销商以每公斤15元的价格购进一批“阳光玫瑰”葡萄，若按每公斤30元的价格销售，平均每天可售出60公斤结合销售记录发现，若售价每降低1元，平均每天的销售量增加10公斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．
（1）若一次降价2元，则每天的销售利润为_________元；
（2）销售单价定为每公斤多少元时，每天销售阳光玫瑰获得的利润w最大？最大利润是多少元？
解：（1）根据题意，降价2元则销售量为（斤），
销售利润为：（元），
所以，若降价2元，则每天的销售利润是1040元；
故答案为：1040；
（2）设每公斤销售单价降价了x元，根据题意得：
，
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为1102.5，
此时，
答：将商品的销售单价定为25.5元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大，最大利润是1102.5元．
23. 如图，已知是等边三角形，在外有一点，连接，，，将绕点按顺时针方向旋转得到，与交于点，．

（1）求的大小；
（2）若，，，求的长．
解：（1）∵将绕点按顺时针方向旋转得到，为等边三角形
∴，，，，
∵，
∴，
∴；
（2）如图，连接，

∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵将绕点按顺时针方向旋转得到，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
24. 如图，AB是⊙O的直径，点F、C在⊙O上且， 连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若， CD=4，求⊙O的半径．
解：（1）连结OC，如图，
∵，∴∠FAC=∠BAC，
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，
∴∠FAC=∠OCA，∴OC∥AF，
∵CD⊥AF，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；
（2）连结BC，如图，
∵AB为直径，∴∠ACB=90°，
∵=，
∴∠BOC=×180°=60°，
∴∠BAC=30°，∴∠DAC=30°，
在Rt△ADC中，CD=4，∴AC=2CD=8，
在Rt△ACB中，BC2+AC2=AB2，即82+（AB）2=AB2 ，
∴AB=，∴⊙O的半径为．
25. 如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．
（1）求出A、B、C三点的坐标；
（2）将抛物线图像x轴上方部分沿x轴向下翻折，保留抛物线与x轴的交点和x轴下方图像，得到的新图像记作M，图像M与直线恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，F，G．若以为直径作圆，该圆记作图像N．
①在图像M上找一点P，使得的面积为3，求出点P的坐标；
②当图像N与x轴相离时，直接写出t的取值范围．
解：（1）当时，，
解得，
∴点，，
当时，，
∴点；
（2）①由（1）可知，，设点P到的距离为h，
∴的面积为，解得，
当时，，即，
解得，
∴点，，
∵抛物线x轴上方部分与x轴下方部分有对称图像，
∴可以得到，，
当时，，即，
解得，
可以得到，，
综上可知，点P的坐标为，，，；
②∵，
∴翻折后得到抛物线下方图像的顶点为，
∵图像M与直线恒有四个交点，
如图，
∴，图像x轴上方部分沿x轴向下翻折得到的部分图像的表达式为，
当时，，即，
∴，，
∴，∴，
∴，
∴，即，∴以为直径作圆的半径为，
∵图像N与x轴相离，即以为直径作的圆与x轴相离，
∴，∴，即，
一元二次方程的解为，，如图，
∴由二次函数的图x可知，
的解集为或，
又∵，
∴．
即t的取值范围为．